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15.2 分式的运算
第3课时 同分母分式的加减
第十五章 分式
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1．同分母分式相加减，分母________，把分子________，即
＝________.
不变
相加减
A．
B．
C．1
D．x＋1
A
3．(中考·宁德)下面的分式化简，对于所列的每一步运算，依据错误的是( )
··
A．①：同分母分式的加减法法则
B．②：合并同类项法则
C．③：提公因式法
D．④：等式的基本性质
【答案】D
C
A．－1
B．－2
C．－3
D．任意实数
B
A．0
B．2
C．－2
D．2或－2
【答案】D
8．下列运算正确的是( )
A．(2a2)3＝6a6
B．－a2b2·3ab3＝－3a2b5
C.
D.
C
B
10．下列计算正确的是( )
D
12．计算：
13．有这样一道题：“求
的值，其中a＝2
023”，“小马虎”不小心把a＝2
023错抄成a＝2
003，但他的计算结果却是正确的，请说明理由．
∴算式的值与a无关．
∴“小马虎”不小心把a＝2
023错抄成a＝2
003，但他的计算结果却是正确的．
14．(2019·宜昌)已知：x≠y，y＝－x＋8，求式子
的值．
15．已知M＝
，N＝
，P＝
，用“＋”或“－”连接M，N，P有多种不同的形式，如：M＋N－P.请你任选一种进行计算，并化简求值，其中x∶y＝5∶2.
16．已知abc≠0且a＋b＋c＝0，求
的值．
【点拨】解法一巧用a＋b＋c＝0这一条件，将所求式子化为含有a＋b＋c的形式．(共24张PPT)
15.2 分式的运算
第2课时 分式的乘方
第十五章 分式
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1．分式乘方要把分子、分母分别________，即
＝________.
乘方
2．下列计算中，正确的是( )
D
3．(中考·曲靖)下列计算正确的是( )
A．a2·a＝a2
B．a6÷a2＝a3
C．a2b－2ba2＝－a2b
D.
C
4．(中考·山西)下列运算错误的是( )
B
··
5．下列计算中，错误的是( )
C
6．(1)若是分式的乘除混合运算，则颠倒其中的除式的分子、分母位置，统一成________运算，如：
＝a·________·b·________·c·________；
乘法
(2)若是含乘方、乘除的混合运算，则先算________，再算________，如：
＝________÷
·________.
b
c
d
乘方
乘除
D
B
B
B
上述过程是否有错，若有错，是从第几步开始出错的？并写出正确的计算过程．
12．计算：
16．阅读下面的解题过程：
【点拨】在求分式的值时，当分母中次数最高项的次数大于分子中次数最高项的次数且直接求值难度较大时，可用“取倒数”这一妙法求值，即先求原分式的倒数的值，再取倒数得原分式的值，这种求值的方法叫做倒数求值法．(共24张PPT)
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全章热门考点整合专训
第十五章 分式
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②④⑤
B
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D
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1．下列说法中，正确的是( )
A．分式的分子中一定含有字母
B．当B＝0时，分式
无意义
C．分数一定是分式
D．分式的分子、分母乘(或除以)同一个整式，分式的值不变
B
2．(2020·金华)分式
的值是零，则x的值为( )
A．2
B．5
C．－2
D．－5
D
②④⑤
A．x＝6
B．x＝5
C．x＝4
D．x＝3
B
5．已知方程
有增根x＝1，求k的值．
解：方程两边同乘x2－1，
得2(x－1)＋k(x＋1)＝6.
整理得(2＋k)x＋k－8＝0.
∵原方程有增根x＝1，
∴2＋k＋k－8＝0，解得k＝3.
6．不改变下列分式的值，将分式的分子和分母中的各项的系数化为整数：
7．(2020·山西)下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．
任务一：①以上化简步骤中，第________步是进行分式的通分，通分的依据是________________．或填为_____________________________________________________________；
②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________________________________________；
三
分式的基本性质
分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变
五
括号前是
“－”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号
任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
答案不唯一，如：最后结果应化为最简分式或整式．
8．(中考·贺州)解分式方程：
解：去分母，得4＋x2－1＝x2－2x＋1.
解得x＝－1.
经检验，x＝－1是增根，故原分式方程无解．
9．小明解方程
＝1的过程如下：
解：方程两边同乘x，得1－(x－2)＝1.……①
去括号，得1－x－2＝1.……②
合并同类项，得－x－1＝1.……③
移项，得－x＝2.……④
解得x＝－2.……⑤
∴原方程的解为x＝－2.……⑥
请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．
解：步骤①去分母时，没有在等号右边乘x；
步骤②去括号时，有一项没有变号；步骤⑥前没有检验．
正确的解答过程如下：
解：方程两边同乘x，得1－(x－2)＝x.
去括号，得1－x＋2＝x.
移项、合并同类项，得－2x＝－3.
10．(2019·济宁)世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G基站布设，“孔夫子家”自此有了5G网络.5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是( )
A
11．某学校花2
000元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要．第二批购买的消毒液的单价每瓶下降了2元，第二批花1
600元购买到的数量与第一批购买到的数量相等，求第一批购买的消毒液的单价．
解：设第一批购买的消毒液的单价为x元，则第二批购买的消毒液的单价为(x－2)元．
依题意，得
，解得x＝10.
经检验，x＝10是分式方程的解，且符合题意．
答：第一批购买的消毒液的单价为10元．
12．(2020·济宁)已知m＋n＝－3，则分式
的值是________．
13．已知2x－3y＋z＝0，3x－2y－6z＝0，且z≠0，求
的值．
14．解下列分式方程：
(1)请完成上面的填空；
0
1
2
3
(2)根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解；
(3)请你用一个含正整数n的方程表示上述规律，并写出它的解．
用含正整数n的方程表示为
，方程的解为x＝n－1.(共29张PPT)
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15.2 分式的运算
第5课时 整数指数幂及其性质
第十五章 分式
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(1)am＋n (2)amn (3)anbn (4)am－n
10
A
B
B
②③
A
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C
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－3
1．一般地，当n是正整数时，a－n＝________(a≠0)．
这就是说，a－n(a≠0)是an的________．
倒数
2．若(x－3)0－2(3x－6)－2有意义，则x的取值范围是( )
A．x＞3
B．x≠3且x≠2
C．x≠3或x≠2
D．x＜2
B
3．下列算式：
①0.0010＝1；
②10－3＝0.001；
③10－5＝－0.000
01；
④(6－3×2)0＝1.
其中正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
4．下列计算正确的是( )
B
5．(2020·福建)下列运算正确的是( )
A．3a2－a2＝3
B．(a＋b)2＝a2＋b2
C．(－3ab2)2＝－6a2b4
D．a·a－1＝1(a≠0)
D
6．若102a＝25，则10－a等于( )
A
【点拨】根据负整数指数幂及幂的乘方法则进行计算即可．
∵102a＝25＝52，∴(10a)2＝52，
∴10a＝5(正数的任何次幂都是正数，故－5舍去)，
7．(中考·济宁)计算(a2)3＋a2·a3－a2÷a－3，结果是( )
A．2a5－a
B．2a5－
C．a5
D．a6
D
8.若2－n＋2－n＋2－n＋2－n＝2，则n＝( )
A．1
B．2
C．0
D.
A
【点拨】2－n＋2－n＋2－n＋2－n＝4×2－n＝22×2－n＝22－n＝2，
∴2－n＝1，解得n＝1.
9．整数指数幂的运算性质：
(1)am·an＝________(m，n是整数)；
(2)(am)n＝________(m，n是整数)；
(3)(ab)n＝________(n是整数)；
(4)am÷an＝________(m，n是整数)．
am＋n
amn
anbn
am－n
10．设a≠0，①(a3)2÷a＝a4；②a3÷a－2＝a5；
③(－a)5÷a0＝－a5；④(－a)－2÷a＝a－1中，
运算结果正确的有________．(填序号)
②③
11．(2019·河北)若7－2×7－1×70＝7p，则p的值为________．
－3
【点拨】∵7－2×7－1×70＝7p，
∴－2－1＋0＝p，
∴p＝－3.
12．(2020·泰安)下列运算正确的是( )
A．3xy－xy＝2
B．x3·x4＝x12
C．x－10÷x2＝x－5
D．(－x3)2＝x6
D
13．计算x3y·(x－1y)－2的结果为( )
A
C
A．m
B．mC．pD．pB
16．(1)观察下列各式：
①24÷23＝24－3＝21；
②24÷22＝24－2＝22；
③24÷2＝24－1＝23；
④24÷20＝24－0＝24.
由此可猜想：
24÷2－1＝____________________；
24÷2－2＝____________________.
24－(－1)＝25
24－(－2)＝26
(2)由(1)可知在am÷an中，m，n除了可以表示正整数外，还可以表示____________．
(3)利用上面的结论计算：
①33÷3－7＝____________________；
零和负整数
33－(－7)＝310
17．计算：
解：原式＝4＋(－2)×1－16＝－14；
原式＝2＋9－1×4＋6＝13；
18．化简下列各式，并把结果化为含有正整数指数幂的形式：
(1)(2xy2)－2·(x－2y－1)－2；
(2)a－3b2·(a2b－2)－4÷(a－2b－1)2；
19．课堂上老师出了一道题：已知(2x－3)x＋3－1＝0，求x的值．小明同学的解答过程如下：
∵(2x－3)x＋3－1＝0，
∴(2x－3)x＋3＝1.
∵(2x－3)0＝1，∴x＋3＝0.
∴x＝－3.
请问小明的解答过程正确吗？如果不正确，请求出正确的x的值．
解：不正确．正确的解答过程如下：
∵(2x－3)x＋3－1＝0，
∴(2x－3)x＋3＝1.
∴x＋3＝0，且2x－3≠0或2x－3＝1或2x－3＝－1，且x＋3为偶数．
解得x＝－3或x＝2或x＝1.
20．阅读下面的材料：
求1＋2－1＋2－2＋…＋2－2
024的值．
解：设S＝1＋2－1＋2－2＋…＋2－2
024，①
则2S＝2＋1＋2－1＋…＋2－2
023.②
②－①，得S＝2－2－2
024，
即原式＝2－2－2
024.
请你仿此计算：
【思路点拨】对于负整数指数幂的计算，可以用类比法将其看成具有同样特征的正整数指数幂的计算．
(1)1＋3－1＋3－2＋…＋3－2
024；
解：设M＝1＋3－1＋3－2＋…＋3－2
024，①
则3M＝3＋1＋3－1＋…＋3－2
023.②
(2)1＋3－1＋3－2＋…＋3－n(n为大于1的正整数)．
解：设N＝1＋3－1＋3－2＋…＋3－n，①
则3N＝3＋1＋3－1＋…＋3－n＋1.②(共7张PPT)
阶段技巧专训
分式方程的解在求字母的值或取值范围中的四种常用技巧
第十五章 分式
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2．若关于x的方程
＋2有解，求m的取值范围．
解：去分母并整理，得x＋m－4＝0，解得x＝4－m.
∵分式方程有解，∴x＝4－m不能为增根．
又∵原分式方程若有增根，则增根为x＝3，
∴4－m≠3，解得m≠1.
∴当m≠1时，原分式方程有解．
3．解关于x的方程
时产生了增根，请求出所有满足条件的k的值．
解：方程去分母后整理得(k＋2)x＝－3.
分以下两种情况：
令x＝1，则k＋2＝－3，∴k＝－5；
4．已知关于x的方程
－m－4＝
无解，求m的值．
解：原方程可化为(m＋3)x＝4m＋8.由于原方程无解，故有以下两种情形：
(1)若整式方程无实根，则m＋3＝0且4m＋8≠0，此时m＝－3.
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15.3 分式方程
第3课时 分式方程的应用
第十五章 分式
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1．一辆汽车开往距离出发地180
km的目的地，按原计划的速度匀速行驶60
km后，再按原计划速度的1.5倍匀速行驶，结果比原计划提前40
min到达目的地．求原计划的行驶速度．
(1)审：审清题意，找出已知量和未知量．
(2)设：设未知数，设原计划的行驶速度为x
km/h，则行驶60
km后的速度为_________．
1.5x
km/h
(3)列：根据等量关系，列分式方程为____________________．
(4)解：解分式方程，得x＝________．
(5)验：检验所求得的解是否为分式方程的解，并检验分式方程的解是否符合问题的实际意义．
经检验：________是原分式方程的解，且符合题意．
(6)答：写出答案(不要忘记单位)．
答：原计划的行驶速度为________．
60
x＝60
60
km/h
2．(2020·广东)某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的
.
(1)求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米．
解：设每个B类摊位占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为(x＋2)平方米．
根据题意，得
解得x＝3.
经检验，x＝3是分式方程的解，且符合题意，∴x＋2＝5.
答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位占地面积为3平方米．
解：设建A类摊位a个，则建B类摊位(90－a)个．
由题意得90－a≥3a，解得a≤22.5.
设建造这90个摊位的费用为y元，
则y＝40×5a＋30×3(90－a)＝110a＋8
100.
∵y随a的增大而增大，∴当a＝22时，y取得最大值，最大值为110×22＋8
100＝10
520.
答：建造这90个摊位的最大费用是10
520元．
(2)该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．
3．(中考·宁夏)某工厂计划生产一种创新产品，若生产一件这种产品需A种原料1.2千克、B种原料1千克．已知A种原料每千克的价格比B种原料每千克的价格多10元．
(1)为使每件产品的成本价不超过34元，那么购入的B种原料每千克的价格最高不超过多少元？
解：设B种原料每千克的价格为x元，则A种原料每千克的价格为(x＋10)元．
根据题意，得1.2(x＋10)＋x≤34，解得x≤10.
答：购入的B种原料每千克的价格最高不超过10元．
(2)将这种产品投放市场批发销售一段时间后，为拓展销路又开展了零售业务，每件产品的零售价比批发价多30元．现用10
000元通过批发价购买该产品的件数与用16
000元通过零售价购买该产品的件数相同，那么这种产品的批发价是多少元？
解：设这种产品的批发价为a元，则零售价为(a＋30)元．
根据题意，得
解得a＝50.
经检验，a＝50是原方程的根，且符合实际．
答：这种产品的批发价为50元．
4．(2020·黔西南州)随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，这给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车，去年销售总额为8万元，今年该型自行车每辆售价比去年降低200元．若今年该型自行车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%.
(1)A型自行车去年每辆售价为多少元？
解：设A型自行车去年每辆售价为x元，则今年每辆售价为(x－200)元．
由题意得
解得x＝2
000.
经检验，x＝2
000是分式方程的解，且符合题意．
答：A型自行车去年每辆售价为2
000元．
(2)该车行今年计划新进一批A型自行车和新款B型自行车共60辆，且B型自行车的进货数量不超过A型自行车进货数量的2倍．已知A型自行车和B型自行车的进货价格每辆分别为1
500元和1
800元，计划B型自行车销售价格为每辆2
400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？
解：设今年新进A型自行车a辆，获利y元，则新进B型自行车(60－a)辆．
由题意得y＝(2
000－200－1
500)a＋(2
400－1
800)(60－a)＝－300a＋36
000.
∵B型自行车的进货数量不超过A型自行车进货数量的2倍，
∴60－a≤2a，解得a≥20.
∵y＝－300a＋36
000，∴y随a的增大而减小．
∴当a＝20时，y取得最大值．此时60－a＝40.
答：当新进A型自行车20辆、B型自行车40辆时，才能使这批自行车销售获利最多．
5.(2020·泰安)中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化.2020年5月21日以“茶和世界
共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4
000元购进A种茶叶若干盒，用8
400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．
(1)A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？
解：设A种茶叶每盒进价为x元，则B种茶叶每盒进价为1.4x元．
依题意，得
解得x＝200.
经检验，x＝200是分式方程的解，且符合题意，
∴1.4x＝280.
答：A种茶叶每盒进价为200元，B种茶叶每盒进价为280元．
(2)第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒(进价不变)，A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5
800元(不考虑其他因素)，求本次购进A，B两种茶叶各多少盒．
6．(2020·德州)小刚去超市购买画笔，第一次花60元买了若干支A型画笔，第二次超市推荐了B型画笔，但B型画笔比A型画笔的单价贵2元，他又花100元买了相同支数的B型画笔．
(1)超市B型画笔单价为多少元？
解：设超市B型画笔单价为a元，则A型画笔单价为(a－2)元．
根据题意，得
解得a＝5.
经检验，a＝5是分式方程的解，且符合题意．
答：超市B型画笔单价为5元．
(2)小刚使用两种画笔后，决定以后使用B型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后，超市给出以下优惠方案：一次购买不超过20支，则每支B型画笔打九折；若一次购买超过20支，则前20支打九折，超过的部分打八折．设小刚购买的B型画笔x支，购买费用为y元，请写出y关于x的关系式．
解：由题意知：当小刚购买的B型画笔支数x≤20时，费用为y＝0.9×5x＝4.5x；
当小刚购买的B型画笔支数x＞20时，费用为y＝0.9×5×20＋0.8×5(x－20)＝4x＋10.
(3)在(2)的优惠方案下，若小刚计划用270元购买B型画笔，则能购买多少支B型画笔？
解：当4.5x＝270时，解得x＝60，
∵60＞20，∴x＝60不符合题意，舍去；
当4x＋10＝270时，解得x＝65，符合题意．
答：能购买65支B型画笔．
7．(2020·云南)某地为了响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”的发展理念，开展了“美化绿色城市”活动，绿化升级改造了总面积为360万平方米的区域．实际施工中，由于采用了新技术，实际平均每年绿化升级改造的面积是原计划平均每年绿化升级改造的面积的2倍，所以比原计划提前4年完成了上述绿化升级改造任务．实际平均每年绿化升级改造的面积是多少万平方米？
解：设原计划平均每年绿化升级改造的面积是x万平方米，则实际平均每年绿化升级改造的面积是2x万平方米．
根据题意，得
解得x＝45.
经检验，x＝45是分式方程的解，且符合题意，
则2x＝2×45＝90.
答：实际平均每年绿化升级改造的面积是90万平方米．
8．(2019·云南)为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围，推进平安校园建设，甲、乙两所学校各租用一辆大巴车组织部分师生，分别从距目的地240千米和270千米的两地同时出发，前往“研学教育”基地开展扫黑除恶教育活动．已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均速度的1.5倍，甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地，分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度．
解：设甲校师生所乘大巴车的平均速度为x千米/时，则乙校师生所乘大巴车的平均速度为1.5x千米/时，
由题意得
解得x＝60.
经检验，x＝60是分式方程的解，且符合题意．
则1.5x＝90.
答：甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度分别为60千米/时、90千米/时．(共11张PPT)
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八年级上
15.2 分式的运算
第6课时 科学记数法
第十五章 分式
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1
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4
A
5
C
6
7
8
9
见习题
见习题
见习题
D
C
a×10n；1≤|a|<10；正整数；位数；负整数
B
1．对于一些绝对值较大的数或较小的数N，我们都可以用科学记数法将它们表示为____________的形式，其中____________．当|N|≥10时，n为__________且等于N的整数_______减1；当0<|N|<1时，n为________且n的绝对值等于N的第一个非零数字前0的个数．
a×10n
1≤|a|<10
正整数
位数
负整数
2．(中考·资阳)－0.000
35用科学记数法表示为( )
A．－3.5×10－4
B．－3.5×104
C．3.5×10－4
D．－3.5×10－3
A
3．(2019·河北)一次抽奖活动特等奖的中奖率为
，把
用科学记数法表示为( )
A．5×10－4
B．5×10－5
C．2×10－4
D．2×10－5
D
4．(2020·赤峰)2020年6月23日9时43分，我国成功发射了北斗系统第55颗导航卫星，其授时精度为世界之最，不超过0.000
000
009
9秒．数据“0.000
000
009
9”用科学记数法表示为( )
A．99×10－10
B．9.9×10－10
C．9.9×10－9
D．99×10－8
C
5．把6.12×10－3用小数表示为( )
A．0.061
2
B．6
120
C．0.006
12
D．612
000
C
6．(中考·曲靖)截至2018年5月末，中国人民银行公布的数据显示，我国外汇的储备规模约为3.11×104亿美元，则3.11×104亿表示的原数为( )
A．311
000亿
B．31
100亿
C．3
110亿
D．311亿
B
7．已知1
cm3的氢气的质量用科学记数法表示约为9×10－5
g，一块橡皮的质量为45
g.
(1)用小数表示1
cm3的氢气质量．
解：9×10－5
g＝0.000
09
g.
(2)这块橡皮的质量是1
cm3的氢气质量的多少倍？
45÷0.000
09＝500
000＝5×105.
所以这块橡皮的质量是1
cm3的氢气质量的5×105倍．
8．已知22＝4，0.22＝0.04，0.022＝0.000
4，….
(1)猜想：0.000
22＝________________，用科学记数法表示为____________；
0.000
000
04
解：有2n个数字．
(2)发现规律：如果一个数的小数点后有n个数字，那么这个数的平方的小数点后有多少个数字？
4×10－8
9．某农科所要在一块长1.2×105
cm，宽2.4×104
cm的试验基地上培育新品种粮食，现培育每种新品种粮食需要边长为1.2×104
cm的正方形试验田，这块试验基地最多能培育几种新品种粮食？
解：2.4×104÷(1.2×104)＝2，
1.2×105÷(1.2×104)＝10，
2×10＝20(种)．
所以这块试验基地最多能培育20种新品种粮食．(共13张PPT)
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15.1 分式
第3课时 通分
第十五章 分式
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B
5
相等
6
7
8
9
最高次幂
见习题
见习题
D
D
D
C
1．各分母的所有因式的____________的积叫做最简公分母．
最高次幂
A．12abc
B．12a2bc
C．24abc
D．24a2bc
B
3．下列说法错误的是( )
D
··
D
5．根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式__________的同分母的分式，叫做分式的通分．
相等
C
【答案】D
8．通分：
9．已知分式
，其中m是这两个分式中分母的公因式，n是这两个分式的最简公分母．求x的值．
返回(共12张PPT)
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15.3 分式方程
第1课时 分式方程
第十五章 分式
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C
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B
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A
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D
(2)等量关系
未知数；方程；分母
A
1．分母中含________的方程叫做分式方程；分式方程的识别标准：一是______，二是______中含未知数．
未知数
方程
分母
2.下列关于x的方程中，不是分式方程的是( )
【点拨】本题中指明关于x的方程，因此可把除x以外的字母看成已知数．
··
C
其中是分式方程的是( )
A．①②
B．②③
C．③④
D．②③④
D
4．列分式方程的步骤：
(1)审清题意，明确题目中的未知数；
(2)根据题意找____________，列出分式方程．
等量关系
5．(2020·长沙)随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得( )
B
6．(2020·十堰)某厂计划加工180万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的1.5倍生产，结果比原计划提前一周完成任务．若设原计划每周生产x万个口罩，则可列方程为( )
A
7．(中考·临沂)新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱，各种品牌相继投放市场．一汽贸公司经销某品牌新能源汽车，去年销售总额为5
000万元，今年1～5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元，销售数量与去年一整年的相同，销售总额比去年一整年的少20%，今年1～5月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年1～5月份每辆车的销售价格为x万元，根据题意，列方程正确的是( )
【答案】A(共12张PPT)
阶段题型专训
分式及其运算的八种常见题型
第十五章 分式
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见习题
6
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见习题
见习题
见习题
见习题
见习题
见习题
见习题
1．从a－1，3＋π，2，x2＋5中任选2个构成分式，共有________个．
6
2．x取何值时，下列分式有意义？
根据题意得x2＋1≠0.
∵x2＋1＞0，∴x取全体实数．
∴当x取全体实数时，分式有意义．
解：根据题意得|x|＋2≠0，∴|x|≠－2.
∵|x|≥0，∴x取全体实数．
∴当x取全体实数时，分式有意义．
根据题意得x2－9≠0，∴x≠±3.
∴当x≠±3时，分式有意义．
3．下列各式中x为何值时，分式的值为零？
4．已知分式
，问x取何值时，分式的值为正数？
5．不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项系数都化为整数，且使分子和分母不含公因式．
6．先化简，再求值：
，其中x＝5，y＝－10.
7．(2020·泰安)化简：
8．(2020·黔东南州)先化简，再求值：
，其中a从－1，2，3中取一个你认为合适的数代入求值．
＝－a－1.
要使原式有意义，a只能取3.
当a＝3时，原式＝－3－1＝－4.(共26张PPT)
15.1 分式
第1课时 从分数到分式
第十五章 分式
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C
5
(1)B≠0 (2)B＝0
6
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9
(2)整式；字母
B
A＝0；B≠0
10
D
B
D
A
B
11
12
13
C
14
15
见习题
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见习题
见习题
见习题
17
见习题
A
1．判断一个式子是否为分式，要明确两点：
(1)从“形”去看，看是否为“
”这种形式；
(2)从“意义”去看，A为________，且B为含有________的非零整式．
整式
字母
2．(中考·贺州)下列式子中，是分式的是( )
C
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
B
4.(2019·攀枝花)一辆货车送货上山，并按原路下山，上山速度为a千米/时，下山速度为b千米/时，则货车上、下山的平均速度为( )千米/时．
【答案】D
B≠0
B＝0
6．(2020·衡阳)要使分式
有意义，则x的取值范围是( )
A．x>1
B．x≠1
C．x＝1
D．x≠0
B
7．已知分式
，当x＝6时，分式无意义，则m的值为( )
A．12
B．－12
C．±12
D．不确定
B
8．(2020·菏泽)函数y＝
的自变量x的取值范围是( )
A．x≠5
B．x＞2且x≠5
C．x≥2
D．x≥2且x≠5
D
9．对于分式
，当______且______时，分式的值为零．
A＝0
B≠0
10.(中考·金华)若分式
的值为0，则x的值为 ( )
A．3
B．－3
C．3或－3
D．0
A
11．(2020·雅安)分式
＝0，则x的值是( )
A．1
B．－1
C．±1
D．0
A
【答案】C
13．下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
解：∵当x＝1时，分式无意义，
∴1－a＝0，a＝1.
∵当x＝4时，分式的值为0，
∴4＋2b＝0，b＝－2.
∴a＋b＝1－2＝－1.
14．已知分式
，当x＝1时，分式无意义；当x＝4时，分式的值为0.求a＋b的值．
(1)请你完成这道题．
(2)做完这道题后，聪明的王鑫发现：无论x取何值时，上述分式都有意义．你知道这是为什么吗？
【思路点拨】要说明分式有意义，只需说明无论x取何值时，分母不为零即可．
解：∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，
无论x为何值，都有(x－1)2≥0，
∴(x－1)2＋2≠0，即x2－2x＋3≠0.
(3)如果分式
不论x取何实数总有意义，你能求出m的取值范围吗？(共26张PPT)
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15.3 分式方程
第2课时 解分式方程
第十五章 分式
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1
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3
4
5
最简公分母；最简公分母
6
7
8
9
D
0；整式方程；整式方程；最简公分母
10
B
A
B
(1)最简公分母；整式 (2)整式
(3)验根
B
D
11
12
13
D
14
15
见习题
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16
见习题
见习题
见习题
B
17
见习题
1．分式方程的解法：(1)去分母，在方程两边都乘____________，化为________方程；(2)解这个________方程；(3)________．
最简公分母
整式
整式
验根
A．方程两边各分式的最简公分母是(x－1)(x＋1)
B．方程两边都乘(x－1)(x＋1)，得整式方程2(x－1)＋3(x＋1)＝6
C．解B中的整式方程，得x＝1
D．原方程的解为x＝1
D
A．y2－2y＋1＝0
B．y2＋2y＋1＝0
C．y2＋y＋2＝0
D．y2＋y－2＝0
A
A．－1
B．－2
C．－3
D．0
【点拨】不等式组整理得
由解集为x≥5，得2＋a＜5，即a＜3.
分式方程去分母得y－a＝－y＋2，即2y＝a＋2，解得y＝
＋1.
由y为非负整数，且y≠2，及a为整数，且a＜3，
得a＝0或a＝－2，则0＋(－2)＝－2.故选B.
【答案】B
5.解分式方程检验时，将整式方程的解代入___________，如果____________的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．
最简公分母
最简公分母
6．(2020·成都)已知x＝2是分式方程
＝1的解，那么实数k的值为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
B
7．(中考·齐齐哈尔)关于x的分式方程
有解，则字母a的取值范围是
( )
A．a＝5或a＝0
B．a≠0
C．a≠5
D．a≠5且a≠0
D
8．(2020·泸州)已知关于x的分式方程
的解为非负数，则正整数m的所有个数为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
D
【点拨】解分式方程，得x＝
∵分式方程的解为非负数，∴
解得m≤5且m≠3.
∴正整数m的值有1，2，4，5，共4个．
9．在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使原分式方程的分母为________，则这个根叫做原分式方程的增根，但它是去分母后的_________的根；若分式方程无解，则说明去分母后的__________无解或解这个整式方程得到的解使原分式方程的____________等于0.
0
整式方程
整式方程
最简公分母
10.(中考·齐齐哈尔)若关于x的方程
无解，则m的值为______________．
11．若方程
＝1有增根，则该方程的增根是( )
A．0
B．1
C．－1
D．1和－1
B
12．(2020·遂宁)关于x的分式方程
＝1有增根，则m的值为( )
A．2
B．1
C．3
D．－3
【点拨】去分母，得m＋3＝x－2.
由分式方程有增根，得x－2＝0，即x＝2.
把x＝2代入整式方程，得m＋3＝0，解得m＝－3.
D
13．解下列方程：
解：去分母，得2x－3＝3x－6，
解得x＝3.
经检验，x＝3是分式方程的解．
解：方程两边都乘(x－1)(x＋2)，得
x(x＋2)－3＝(x－1)(x＋2)，
∴x2＋2x－3＝x2＋x－2，
∴x＝1.
经检验，x＝1是分式方程的增根，
∴原分式方程无解．
解：方程
的两边同时乘y2－9，
得y－(y＋3)＝3(y－3)．
解这个一元一次方程，得y＝2.
经检验，y＝2是原分式方程的解．∴k＝2.
去分母，得3(x＋3)＝2(x＋2)－6.
去括号，得3x＋9＝2x＋4－6.
移项，得3x－2x＝4－6－9.
合并同类项，得x＝－11.
解：方程两边同时乘(x＋2)(x－2)，得2(x＋2)＋ax＝3(x－2)．
整理，得(1－a)x＝10.
若方程产生增根，则增根为x＝2或x＝－2，且增根一定是整式方程(1－a)x＝10的解．
∴将x＝2代入整式方程(1－a)x＝10，可得a＝－4；将x＝－2代入整式方程(1－a)x＝10，可得a＝6.
∴当a＝－4或a＝6时，原方程会产生增根．
16．已知点A，B在数轴上，它们所表示的数分别是－4和
，且它们关于原点对称．求x的值．
解：由题意得
＋(－4)＝0.
去分母，得x＋2－4(3x－5)＝0，
解得x＝2.
经检验，x＝2是分式方程的解．
∴x的值为2.
(1)若分式方程的增根为x＝1，求m的值；
解：方程两边同时乘(x＋2)(x－1)，得2(x＋2)＋mx＝x－1，
整理得(m＋1)x＝－5.
∵x＝1是分式方程的增根，
∴1＋m＝－5，解得m＝－6.
(2)若分式方程有增根，求m的值；
【思路点拨】分式方程有增根，可根据分式方程的最简公分母等于0求出增根；
解：∵原分式方程有增根，∴(x＋2)(x－1)＝0，
解得x＝－2或x＝1.
当x＝－2时，m＝
当x＝1时，m＝－6.
(3)若分式方程无解，求m的值．
【思路点拨】分式方程无解，包括去分母后的整式方程无解和求出的解使分式方程的最简公分母为0两种情况．
解：当m＋1＝0时，整式方程无解，此时m＝－1；
当m＋1≠0时，要使原分式方程无解，
由(2)得m＝－6或m＝
综上，m的值为－1或－6或(共26张PPT)
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15.1 分式
第2课时 分式的基本性质
第十五章 分式
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D
5
D
6
7
8
9
不等于0；C；C
B
10
D
C
D
公因式；分式的基本性质；公因式
两；不变
11
12
13
C
14
15
见习题
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16
D
见习题
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17
见习题
18
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19
见习题
B
1．分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个________的整式，分式的值不变．
用式子表示为
(C≠0，其中A，B，C是整式)．
不等于0
C
C
2．下列各式从左到右的变形一定正确的是( )
D
3．下列各式从左到右的变形一定正确的是( )
C
4．(2020·河北)若a≠b，则下列分式化简正确的是( )
D
D
两
不变
7．不改变分式的值，使分式的分子、分母中不含负号：
D
9.下列分式：
A．①②
B．③④
C．②③
D．①②③④
【答案】B
10．把一个分式的分子与分母的________约去，叫做分式的约分，其依据是________________．分子与分母没有__________的分式，叫做最简分式．
公因式
分式的基本性质
公因式
A．4ab
B．2ab
C．4a2b2
D．2a2b2
B
12．下列各分式中，是最简分式的为( )
C
D
解：原式＝a－b－(a＋b)＝a－b－a－b＝－2b.
15．不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项系数都化为整数，且使分子和分母不含公因式．
请判断甲、乙两名同学的解法是否正确，若不正确，请说明理由．
解：甲同学的解法正确，乙同学的解法不正确．
理由：乙同学在进行分式的变形时，分子、分母同乘a－b，而a－b可能为0，∴乙同学的解法不正确．
18．阅读理解：
(1)回答下列问题：
①第一步运用了________的性质．
②第二步的解题过程运用了__________的方法；
由得
，是对分式进行了________．
等式
代入消元
约分
(2)模仿上述方法解题：
【思路点拨】利用分式的基本性质将待求式进行转化，利用整体代入法求解．(共28张PPT)
15.2 分式的运算
第4课时 异分母分式的加减
第十五章 分式
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1
2
3
4
5
C
6
7
8
9
乘方；乘除；加减
B
10
D
A
B
A
整体；因式分解
11
12
13
见习题
14
15
见习题
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16
见习题
见习题
见习题
B
17
见习题
1．异分母分式相加减，先________，变为________的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算，即
＝________±________＝__________.
通分
同分母
2．(中考·自贡)化简
的结果是____________．
3．(2020·临沂)计算
的结果为( )
A
B
5．学完分式的加减法后，老师出了一道题：
小亮的做法：
原式＝(x＋3)(x－2)＋(2－x)＝x2＋x－6＋2－x＝x2－4；
小芳的做法：
原式＝
其中做法正确的是( )
A．小明
B．小亮
C．小芳
D．没有正确的
C
6．在进行分式加减运算时，若分子是多项式，应看成一个________，常常需要添括号；若分母是多项式，一般需要____________．
整体
因式分解
7．分式的混合运算顺序与实数相同，即先________，再________，然后________．
乘方
乘除
加减
8．(2020·包头)下列计算结果正确的是( )
A．(a3)2＝a5
B．(－bc)4÷(－bc)2＝－b2c2
D
B
A
A．段①
B．段②
C．段③
D．段④
【答案】B
【点拨】根据分式的乘除法法则把原式化简，根据非负数的性质分别求出x，y的值，再代入计算即可．
【点拨】运用待定系数法求值时，应先将等式左边化成与右边相同的形式，再由各同项的系数也相同求解．
【点拨】巧妙地运用ab＝1将式子进行变形是解此题的关键．
17．(2020·青海)先化简，再求值：
，其中a2－a－1＝0.
【思路点拨】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后把a2＝a＋1代入计算即可．(共24张PPT)
15.2 分式的运算
第1课时 分式的乘除
第十五章 分式
人教版
八年级上
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D
A
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B
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1．分式乘分式，用分子的积作为____________，分母的积作为__________，即
＝________.
积的分子
积的分母
A
A
4．下列计算正确的是( )
D
5．分式除以分式，把除式的__________颠倒位置后，与被除式_______，即
________．
分子、分母
相乘
B
A．x≠3且x≠2
B．x≠3且x≠－1
C．x≠2且x≠－2
D．x≠－1，x≠2且x≠3
【答案】D
D
A．1
B．x＋y
C．－1
D．x－y
A
10．阅读下列解题过程，然后回答问题．
(1)上述计算过程中，第一步使用的公式用字母表示为________________________________________；
(2)第二步使用的运算法则用字母表示为_____________；
(3)由第二步到第三步进行了分式的________；
(4)以上三步中，第________步出现错误，正确的化简结果是________．
a2－2ab＋b2＝(a－b)2，a2－b2＝(a＋b)(a－b)
约分
三
－1
12．(1)(2020·宜昌)先化简，再求值：
－(x－1)0，其中x＝2
020.
14．先化简，再求值：
，其中a满足a2－a＝12.
15．(中考·滨州)(1)计算：(a－b)(a2＋ab＋b2)；
解：原式＝a3＋a2b＋ab2－a2b－ab2－b3＝a3－b3.
(2)利用所学知识以及(1)所得等式，化简式子：
16．有甲、乙两筐水果，甲筐水果重(m－1)2千克，乙筐水果重(m2－1)千克(其中m>1)，售完后，两筐水果都卖了120元．
(1)哪筐水果的单价高？
【思路点拨】比较两个正分式的大小，当分子相等时，分母大的分式值反而小；
(2)高的单价是低的单价的多少倍？
【思路点拨】求高的单价是低的单价的多少倍，其实质是求高的单价除以低的单价的商．