课时作业(一) 集合的概念与表示
[练基础]
1．下列关系中正确的是( )
A．0∈?
B.∈Q
C．0∈N
D．1∈{(0,1)}
2．设集合A＝{－1,1,2}，集合B＝{x|x∈A且2－x?A}，则B＝( )
A．{－1}
B．{2}
C．{－1,2}
D．{1,2}
3．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为( )
A．2
B．2或4
C．4
D．0
4．下列集合的表示方法正确的是( )
A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}
B．不等式x－1＜4的解集为{x＜5}
C．{全体整数}
D．实数集可表示为R
5．设集合A＝{1，－2，a2－1}，B＝{1，a2－3a,0}，若A，B相等，则实数a＝________.
6．若集合A＝{x|ax2＋ax－1＝0}只有一个元素，则a＝________.
[提能力]
7．[多选题]若以集合中的三个元素为边可构成一个三角形，则该三角形可能是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
8．已知a，b均为非零实数，集合A＝，则集合A中元素的个数为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
9．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}至多有一个元素，则a的取值范围是________．
[战疑难]
10．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集．
课时作业(一) 集合的概念与表示
1．解析：A中，空集是不含有任何元素的集合，所以A不正确；由是无理数，所以∈Q不正确；根据元素与集合的关系，1∈{(0,1)}不正确；又由0是自然数，所以0∈N，故选C.
答案：C
2．解析：当x＝－1时，2－(－1)＝3?A；当x＝1时，2－1＝1∈A；当x＝2时，2－2＝0?A.∴B＝{－1,2}．
答案：C
3．解析：集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a＝4∈A，
所以a＝2，
或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，所以a＝4，
综上所述，a＝2或4.故选B.
答案：B
4．解析：选项A中应是xy＜0；选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；选项C的“{ }”与“全体”意思重复．
答案：D
5．解析：由集合相等的概念得解得a＝1.
答案：1
6．解析：由题意知即解得a＝－4.
答案：－4
7．解析：若以集合中的三个元素为边可构成一个三角形，则由集合元素的互异性可得，三个元素互不相等，即三边都不相等．故选ABC.
答案：ABC
8．解析：当a>0，b>0时，x＝1＋1＋1＝3；
当a>0，b<0时，x＝1－1－1＝－1；
当a<0，b>0时，x＝－1＋1－1＝－1；
当a<0，b<0时，x＝－1－1＋1＝－1.
故x的所有值组成的集合为{－1,3}．
答案：A
9．解析：当a＝0时，－3x＋2＝0，即x＝，A＝，符合题意；
当a≠0时，ax2－3x＋2＝0至多有一个解，所以Δ＝9－8a≤0，解得a≥.
综上a的取值范围为：a≥或a＝0.
答案：a≥或a＝0
10．证明：(1)若a∈A，则∈A，∵2∈A，∴＝－1∈A，
∵－1∈A，∴＝∈A，∵∈A，∴＝2∈A，
∴A中另外两个元素为－1，.
(2)若A为单元素集，则a＝，即a2－a＋1＝0，方程无解，
∴a≠，∴集合A不可能是单元素集．课时作业(二) 集合的基本关系
[练基础]
1．下列表示：①{0}＝?，②?∈{0}，③??{0}，④0∈?中，正确的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
2．已知集合M＝，则M的非空子集的个数是( )
A．15
B．16
C．7
D．8
3．设集合A＝{－1,0,1}，B＝{a，a2}，则使B?A成立的a的值是( )
A．－1
B．0
C．1
D．－1或1
4．设A＝{x|2
A．m>3
B．m≥3
C．m<3
D．m≤3
5．若集合A?{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个．
6．设A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋2＝0}，B?A.
(1)写出集合A的所有子集；
(2)若B为非空集合，求a的值．
[提能力]
7．集合M＝{x|x＝5k－2，k∈Z}，P＝{x|x＝5n＋3，n∈Z}，S＝{x|x＝10m＋3，m∈Z}之间的关系是( )
A．S?P?M
B．S＝P?M
C．S?P＝M
D．P＝M?S
8．[多选题]下列选项中的两个集合相等的有( )
A．P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n＋1)，n∈Z}
B．P＝{x|x＝2n－1，n∈N
}，Q＝{x|x＝2n＋1，n∈N
}
C．P＝{x|x2－x＝0}，Q＝
D．P＝{x|y＝x＋1}，Q＝{(x，y)|y＝x＋1}
9．已知集合A＝{x|ax＋1＝0}，B＝{x|x2－x－56＝0}，若A?B，则由实数a组成的集合C＝________.
[战疑难]
10．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1(1)若A?B，求实数m的取值范围；
(2)若B?A，求实数m的取值范围．
课时作业(二) 集合的基本关系
1．解析：∵0是一元素，∴0∈{0}≠?，??{0}．
答案：A
2．解析：M＝＝{1,2,3}，∴M的非空子集为{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}共7个．
答案：C
3．解析：∵A＝{－1,0,1}，B＝{a，a2}且B?A，∴，
∴a＝－1.
答案：A
4．解析：因为A＝{x|2将集合A，B表示在数轴上，如图所示，所以m≥3.
答案：B
5．解析：若A中含有一个奇数，则A可能为{1}，{3}，{1,2}，{3,2}；若A中含有两个奇数，则A＝{1,3}．
答案：5
6．解析：(1)∵A＝{x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，∴集合A的所有子集为?，{1}，{2}，{1,2}．
(2)∵B≠?，B?A.
∴当集合B只有一个元素时，
由Δ＝0得a2－8＝0，即a＝±2，
此时B＝{－}或B＝{}，不满足B?A.
当集合B只有两个元素时，由A＝B得：a＝3.
综上可知，a的值为3.
7．解析：∵M＝{x|x＝5k－2，k∈Z}，
P＝{x|x＝5n＋3，n∈Z}，
S＝{x|x＝10m＋3，m∈Z}，
∴M＝{…，－7，－2,3,8,13,18，…}，
P＝{…，－7，－2,3,8,13,18，…}，
S＝{…，－7,3,13,23，…}，
故S?P＝M.
答案：C
8．解析：选项A中集合P，Q都表示所有偶数组成的集合，所以P＝Q；选项B中P是由1,3,5，…，所有正奇数组成的集合，Q是由3,5,7，…所有大于1的正奇数组成的集合，1?Q，所以P≠Q；选项C中P＝{0,1}，当n为奇数时，x＝＝0，当n为偶数时，x＝＝1，所以Q＝{0,1}，所以P＝Q；选项D中，集合P表示直线y＝x＋1上点的横坐标构成的集合，而集合Q表示直线y＝x＋1上点的坐标构成的集合，所以P≠Q.综上可知，选AC.
答案：AC
9．解析：当a≠0时，A＝，B＝{－7,8}，由A?B得－＝－7或－＝8，即a＝或a＝－；当a＝0时，集合A＝?，符合A?B，因此C＝.
答案：
10．解析：(1)∵A?B，∴解得－3∴实数m的取值范围是{m|－3(2)①当B＝?时，2m－1≥m＋7，故m≥8.
②当B≠?时，m<8，且无解．
综上，实数m的取值范围是{m|m≥8}．课时作业(三) 交集与并集
[练基础]
1．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝( )
A．{x|0≤x≤2}
B．{x|1≤x≤2}
C．{x|0≤x≤4}
D．{x|1≤x≤4}
2．已知集合A＝{x|x≥－3}，B＝{x|－5≤x≤2}，则A∪B＝( )
A．{x|x≥－5}
B．{x|x≤2}
C．{x|－3D．{x|－5≤x≤2}
3．设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x<2}，则(A∪B)∩C＝( )
A．{－1,1}
B．{0,1}
C．{－1,0,1}
D．{2,3,4}
4．[多选题]已知集合M＝{1,2,3,4,5}，M∩N＝{4,5}，则N可能为( )
A．{1,2,3,4,5}
B．{4,5,6}
C．{4,5}
D．{3,4,5}
5．若A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}，且A∩B＝B，则x＝________.
6．设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是________．
[提能力]
7．已知集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|aA．{a|a≤－3或a≥2}
B．{a|－1≤a≤2}
C．{a|－2≤a≤1}
D．{a|a≥2}
8．已知集合P＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，Q＝{x|y＝x}，则P∩Q＝________.
9．已知集合A＝{x|3≤x≤6}，B＝{x|a≤x≤8}．
(1)在①a＝7，②a＝5，③a＝4这三个条件中选择一个条件，使得A∩B≠?，并求A∩B；
(2)已知A∪B＝{x|3≤x≤8}，求实数a的取值范围．
[战疑难]
10．数集M＝，N＝，且M、N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果b
－a叫作集合{x|a≤x≤b}(b>a)的“长度”，则集合M∩N的“长度”的最小值为________．
课时作业(三) 交集与并集
1．解析：∵A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，∴A∩B＝{x|0≤x≤2}．
答案：A
2．解析：结合数轴(如图)得A∪B＝{x|x≥－5}．
答案：A
3．解析：由题意得A∪B＝{1,2,3,4，－1,0}，∴(A∪B)∩C＝{1,2,3,4，－1，0}∩{x∈R|－1≤x<2}＝{－1,0,1}．故选C.
答案：C
4．解析：由题意，集合M＝{1,2,3,4,5}，M∩N＝{4,5}，可得集合N必含有元素4和5，但不能含有1,2,3，根据选项，可得集合N可能为{4,5,6}，{4,5}，故选BC.
答案：BC
5．解析：由A∩B＝B得B?A，∴x2＝4或x2＝x，∴x＝－2,2,0,1.经检验x＝1不合题意．
答案：－2,2,0
6．解析：易知3∈B，除此之外，1,2可以在B中，也可不在B中，共有22种可能，故集合B的个数为4.
答案：4
7．解析：∵A∪B＝A，∴B?A.又B≠?，∴
∴－2≤a≤1.
答案：C
8．解析：P＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{y|y≥1}．Q＝{x|y＝x}＝R，∴P∩Q＝{x|x≥1}．
答案：{x|x≥1}
9．解析：(1)选择条件②a＝5(或③a＝4)．
若选②，则A∩B＝{x|3≤x≤6}∩{x|5≤x≤8}＝{x|5≤x≤6}．
若选③，则A∩B＝{x|3≤x≤6}∩{x|4≤x≤8}＝{x|4≤x≤6}．
(2)因为A∪B＝{x|3≤x≤8}，A＝{x|3≤x≤6}，B＝{x|a≤x≤8}．
结合数轴可得3≤a≤6，
故实数a的取值范围为{a|3≤a≤6}．
10．解析：由已知得
解得0≤m≤，≤n≤1.
由题意知，当集合M∩N的“长度”最小时，集合M与N的重合部分最少，因此m＝0且n＝1，或n－＝0且m＋＝1.
当m＝0且n＝1时，
可得M＝，N＝.
所以M∩N＝
此时集合M∩N的“长度”为－＝.
当n－＝0且m＋＝1时，可得M＝，N＝，所以M∩N＝，此时集合M∩N的长度为－＝.
综上，M∩N的“长度”的最小值为.
答案：课时作业(四) 全集与补集及综合应用
[练基础]
1．设全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合S＝{1,3,5}，T＝{3,6,7}，则(?US)∩T＝( )
A．{2,4,7,8}
B．{6,7,8}
C．{1,3,5,6}
D．{6,7}
2．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}．那么集合{2,7,8}是( )
A．A∪B
B．A∩B
C．(?UA)∩(?UB)
D．(?UA)∪(?UB)
3．设全集U＝R，集合A＝{x|－3A．{x|x≤－3或x≥1}
B．{x|x<－1或x≥3}
C．{x|x≤3}
D．{x|x≤－3}
4．[多选题]设集合P＝{1,2,3}，Q＝{x|2≤x≤3}，则下列结论中正确的是( )
A．P?Q
B．P∩Q＝P
C．(P∩Q)?P
D．(?RQ)∩P≠?
5．设全集U＝{x∈N
|x≤9}，?U(A∪B)＝{1,3}，A∩(?UB)＝{2,4}，则B＝________.
6．已知U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，?UA＝{x|x<3或x>4}，则ab＝________.
[提能力]
7．[多选题]设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x|1A．{a|0≤a≤6}
B．{a|a≤2或a≥4}
C．{a|a≤0或a≥6}
D．{a|a≥8}
8．已知集合A＝{x|x2＋x＋1＝0}，若A∩R≠?，则实数m的取值范围为________．
9．设全集I＝R，已知集合M＝{x|(x＋3)2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．
(1)求(?IM)∩N；
(2)记集合A＝(?IM)∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
[战疑难]
10．已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤－a－1}，B＝{x|x>a＋2}，C＝{x|x<0或x≥4}都是U的子集．若?U(A∪B)?C，问这样的实数a是否存在？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
课时作业(四) 全集与补集及综合应用
1．解析：?US＝{2,4,6,7,8}，∴(?US)∩T＝{6,7}．
答案：D
2．解析：A∪B＝{1,3,4,5,6}，排除A；A∩B＝{3}，排除B；(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)＝{2,7,8}，符合题意．
答案：C
3．解析：B＝{x|x≥－1}，∴A∪B＝{x|x>－3}，
∴?U(A∪B)＝{x|x≤－3}．
答案：D
4．解析：集合P中1?Q，故A错误；P∩Q＝{2,3}，故B错误，C正确；?RQ＝{x|x<2或x>3}，(?RQ)∩P＝{1}≠?，故D正确．
答案：CD
5．解析：∵全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，
由?U(A∪B)＝{1,3}，得A∪B＝{2,4,5,6,7,8,9}，
由A∩(?UB)＝{2,4}知，{2,4}?A，{2,4}??UB，
∴B＝{5,6,7,8,9}．
答案：{5,6,7,8,9}
6．解析：因为A∪(?UA)＝R，A∩(?UA)＝?，
所以a＝3，b＝4，
所以ab＝12.
答案：12
7．解析：A＝{x|a－1答案：CD
8．解析：∵A＝{x|x2＋x＋1＝0}，
∴集合A表示方程x2＋x＋1＝0的解集，假设A∩R＝?，
则方程x2＋x＋1＝0无实数解，
∴Δ＝m－4<0，∴m<4，
又m≥0，∴0≤m<4，
∵A∩R≠?，m≥0，∴m≥4.
答案：[4，＋∞)
9．解析：(1)∵M＝{x|(x＋3)2≤0}＝{－3}，N＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}．
∴?IM＝{x|x∈R且x≠－3}，
∴(?IM)∩N＝{2}．
(2)由题意得A＝(?IM)∩N＝{2}，
∵A∪B＝A，∴B?A，∴B＝?或B＝{2}．
①当B＝?时，a－1>5－a，得a>3；
②当B＝{2}时，解得a＝3.
综上所述，实数a的取值范围为{a|a≥3}．
10．解析：①若?U(A∪B)＝?，则A∪B＝R.
因此a＋2≤－a－1，即a≤－，符合题意．
②若?U(A∪B)≠?，则a＋2>－a－1，a>－，
又A∪B＝{x|x≤－a－1或x>a＋2}
所以?U(A∪B)＝{x|－a－1又?U(A∪B)?C
所以a＋2<0或－a－1≥4
解得a<－2或a≤－5，即a<－2，
又a>－，故此时a不存在．
综上，存在这样的实数a，且a的取值范围是.