课时作业(六) 充要条件
[练基础]
1．已知x，y∈R，则“x>1或y>1”是“x＋y>2”的( )
A．充要条件
B．必要非充分条件
C．充分非必要条件
D．既非充分也非必要条件
2．若x，y∈R，则是成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．“|x－1|<3”是“x<4”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知p：x>1或x<－3，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是( )
A．[1，＋∞)
B．(－∞，1]
C．[－3，＋∞)
D．(－∞，－3]
5．下列命题：
①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件；
②当a≠0时，“b2－4ac<0”是“方程ax2＋bx＋c＝0有解”的充要条件；
③“x＝1或x＝－2”是“方程x2＋x－2＝0”的充要条件．其中正确的序号为________．
6．已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：
(1)s是q的什么条件？
(2)p是q的什么条件？
[提能力]
7．[多选题]下列结论中正确的是( )
A．“xy>0”是“>0”的充要条件
B．“x>1”是“<1”的充要条件
C．“a＝b”是“a2＋b2≥2ab”的充分不必要条件
D．“二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1,0)”是“a＋b＋c＝0”的充要条件
8．“反比例函数y＝的图象与函数y＝x的图象没有公共点”的充要条件是“k∈A”，则集合A＝________.
9．设全集U，有下面四个命题：①A∩B＝A；②?UA??UB；③?UB∩A＝?；④?UA∩B＝?.
其中是“A?B”的充要条件的命题序号是________．
[战疑难]
10．求证：“a>－2且a≠0”是“方程ax2＋4x－2＝0有两个不相等的实数根”的充要条件．
课时作业(六) 充要条件
1．解析：x，y∈R，则“x>1或y>1”推导不出“x＋y>2”，
例如x＝3>1，y＝－4<1，则x＋y＝－1<2，
x，y∈R，“x＋y>2”?“x>1或y>1”，
∴x，y∈R，则“x>1或y>1”是“x＋y>2”的必要非充分条件，故选B.
答案：B
2．解析：当时，可以得到；反之，取x＝1，y＝5，满足，但是不满足，所以是成立的充分不必要条件．
答案：A
3．解析：|x－1|<3?－3
答案：A
4．解析：令A＝{x|x>1或x<－3}，B＝{x|x>a}，
∵q是p的充分不必要条件，
∴B?A，
∴a≥1.
答案：A
5．解析：①x>2且y>3时，x＋y>5成立，反之不一定成立，如x＝0，y＝6，所以“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要条件，故①错误；②方程有解的充要条件是b2－4ac≥0，故②错误；③当x＝1或x＝－2时，方程x2＋x－2＝0一定成立，反过来，方程x2＋x－2＝0成立时，x＝1或x＝－2，故③正确．
答案：③
6．解析：(1)∵q?s，s?r?q，∴s是q的充要条件．
(2)∵q?s?r?p，∴p是q的必要条件．
7．解析：“xy>0?>0”，A正确；x>1?<1，当x<0时，反之不成立，B错误；a2＋b2≥2ab，即a2＋b2－2ab≥0，得(a－b)2≥0，所以a＝b?a2＋b2≥2ab，反之不成立，C正确；二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0，得a＋b＋c＝0，D正确．故选ACD.
答案：ACD
8．解析：由反比例函数和函数y＝x的图象，它们的图象没有公共点，则k<0，所以{x|x<0}．
答案：{x|x<0}
9．解析：由集合的运算性质，A∩B＝A?A?B；?UA??UB?A?B；?UB∩A＝??A?B，所以①②③正确，④?UA∩B＝??B?A，所以正确答案为①②③.
答案：①②③
10．证明：充分性：
∵a≠0，∴方程ax2＋4x－2＝0为一元二次方程．
又a>－2，则Δ＝b2－4ac＝16＋8a>0，
∴方程ax2＋4x－2＝0有两个不相等的实数根，故充分性成立．
必要性：
∵方程ax2＋4x－2＝0有两个不相等的实数根．
∴a≠0，且Δ＝b2－4ac＝16＋8a>0，
解得a>－2，故必要性成立．
所以“a>－2且a≠0”是“方程ax2＋4x－2＝0有两个不相等的实数根”的充要条件．课时作业(八) 全称量词命题与存在量词命题的否定
[练基础]
1．设命题p：所有的矩形都是平行四边形，则命题p的否定为( )
A．所有的矩形都不是平行四边形
B．存在一个平行四边形不是矩形
C．存在一个矩形不是平行四边形
D．不是矩形的四边形不是平行四边形
2．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( )
A．?x∈R，|x|>0
B．?x∈R，|x|>0
C．?x∈R，|x|≤0
D．?x∈R，|x|≤0
3．命题p：?x∈R，|x|＋x≥0，则命题p的否定是( )
A．?x∈R，|x|＋x>0
B．?x∈R，|x|＋x<0
C．?x∈R，|x|＋x≤0
D．?x∈R，|x|＋x≥0
4．命题“?x∈(0，＋∞)，＝x－2”的否定是( )
A．?x∈(0，＋∞)，≠x－2
B．?x?(0，＋∞)，≠x－2
C．?x∈(0，＋∞)，≠x－2
D．?x?(0，＋∞)，≠x－2
5．若命题“?x∈R，x2＋x＋a－1≠0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
6．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)?x≥0，x2>0；
(2)存在一个三角形，它的内角和大于180°；
(3)?x∈R，使得x2＋x＋1≤0；
(4)所有方程都有实数解．
[提能力]
7．[多选题]下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有( )
A．?x∈R，x2－x＋<0
B．所有的正方形都是矩形
C．?x∈R，x2＋2x＋2≤0
D．至少有一个实数，使x3＋1＝0
8．命题p：?x∈R，x2＋mx＋2≤0，若命题p的否定为真命题，则m的取值范围为________．
9．已知集合A＝{x|0≤x≤a}，集合B＝{x|m2＋3≤x≤m2＋4}，如果命题“?m∈R，使得A∩B≠?”为假命题，求实数a的取值范围．
[战疑难]
10．已知a∈R，命题p：“?x∈[0,1]，x2－a≥0”，命题q：“?x∈R，使x2＋2x＋2－a＝0”．若命题p和命题q均为假命题，求实数a的取值范围．
课时作业(八) 全称量词命题与存在量词命题的否定
1．解析：命题p的否定：存在一个矩形不是平行四边形．
答案：C
2．解析：命题“有些实数的绝对值是正数”的否定应该是“所有实数的绝对值都不是正数”，所以正确选项为C.
答案：C
3．解析：命题p的否定是?x∈R，|x|＋x<0.
答案：B
4．解析：原命题的否定是“?x∈(0，＋∞)，≠x－2”，故选A.
答案：A
5．解析：∵命题“?x∈R，x2＋x＋a－1≠0”是假命题，
∴它的否定“?x∈R，x2＋x＋a－1＝0”是真命题，
∴Δ＝1－4(a－1)≥0，∴a≤.
答案：
6．解析：(1)题中命题的否定为“?x≥0，x2≤0”，这个命题为真命题．
(2)题中命题的否定为“所有三角形的内角和都小于或等于180°”，这个命题为真命题．
(3)题中命题的否定为“?x∈R，x2＋x＋1>0”，这个命题为真命题．因为x2＋x＋1＝x2＋x＋＋＝2＋>0.
(4)题中命题的否定为“存在一个方程没有实数解”，这个命题为真命题．
7．解析：命题的否定是全称量词命题，即原命题为存在量词命题，故排除B.再根据命题的否定为真命题，即原命题为假命题．又D为真命题，故选AC.
答案：AC
8．解析：由题意知，命题p：?x∈R，x2＋mx＋2≤0为假，即x2＋mx＋2>0恒成立，所以Δ＝m2－4×2<0，解得－2答案：(－2，2)
9．解析：命题“?m∈R，使得A∩B≠?”为假命题，则其否定命题“?m∈R，A∩B＝?”为真命题．
当a<0时，集合A＝{x|0≤x≤a}＝?，符合A∩B＝?；
当a≥0时，因为m2＋3>0，所以?m∈R，A∩B＝?.
得a所以a<(m2＋3)min＝3，则0≤a<3，
综上，实数a的取值范围为(－∞，3)．
10．解析：因为命题p为全称量词命题，所以其否定为“?x∈[0,1]，使x2－a<0”，这个命题为真命题．
故a>x2，且x∈[0,1]，所以a>0.
因为命题q为存在量词命题，所以其否定为“?x∈R，x2＋2x＋2－a≠0”．
所以Δ＝22－4×1×(2－a)<0.解得a<1.
所以实数a的取值范围为(0,1)．课时作业(五) 必要条件与充分条件
[练基础]
1．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的( )
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．既不是充分条件，也不是必要条件
D．既是充分条件，也是必要条件
2．已知p：x>0，q：x2>0，则( )
A．q是p的充分条件
B．q是p的必要条件
C．命题是真命题
D．命题是假命题
3．下列哪一选项是“a>1”的必要条件( )
A．a<2
B．a>2
C．a<0
D．a>0
4．“方程ax＋b＝0没有实数解”是下列哪一选项的充分条件( )
A．a≠0
B．b＝0
C．a＝0
D．a≠0且b＝0
5．p：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有交点；q：判别式Δ＝b2－4ac>0，则q是p的什么条件________．(充分条件、必要条件)
6．分别判断下列命题中p是否为q的充分条件或必要条件，并说明理由．
(1)p：a是整数，q：a是自然数；
(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.
[提能力]
7．[多选题]对于任意实数a，b，c，下列叙述正确的是( )
A．“a＝b”是“ac＝bc”的充分条件
B．“a＋b是无理数”是“a是无理数”的必要条件
C．“a＝b”是“a2＝b2”的充分条件
D．“a>b”是“a>|b|”的必要条件
8．已知A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x9．已知二次函数y＝x2－4x＋3，非空集合A＝{x|0≤x≤a}．
(1)当x∈A时，二次函数的最小值为－1，求实数a的取值范围；
(2)是否存在整数a的值，使得“x∈A”是“二次函数的最大值为3”的充分条件，如果存在，求出一个整数a的值，如果不存在，请说明理由．
[战疑难]
10．设p：|4x－1|≤1，q：a≤x≤a＋1，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
课时作业(五) 必要条件与充分条件
1．解析：由(2x－1)x＝0得x＝0或，所以“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件，故选B.
答案：B
2．解析：当x>0时，可以得到x2>0，即p?q，所以q是p的必要条件，原语句不是命题形式，不能判断真假，所以C、D错误，所以正确选项为B.
答案：B
3．解析：由题意，“选项”是“a>1”的必要条件，表示“a>1”推出“选项”，所以正确选项为D.
答案：D
4．解析：“方程ax＋b＝0没有实数解”则“a＝0并且b≠0”，其可以推出“a＝0”，则“a＝0并且b≠0”是“a＝0”的充分条件，所以正确选项为C.
答案：C
5．解析：p：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有交点，即判别式Δ＝b2－4ac≥0，
则有q?p，则q是p的充分条件，所以答案为“充分条件”．
答案：充分条件
6．解析：(1)由于p：a是整数q：a是自然数，q：a是自然数?p：a是整数，
所以p是q的必要条件，p不是q的充分条件．
(2)由(x－1)2＋(y－2)2＝0得x＝1且y＝2，
所以(x－1)2＋(y－2)2＝0?(x－1)(y－2)＝0，
而由(x－1)(y－2)＝0得x＝1或y＝2，
所以(x－1)(y－2)＝0
(x－1)2＋(y－2)2＝0，所以p是q的充分条件，p不是q的必要条件．
7．解析：a＝b?ac＝bc，A正确；“a＋b是无理数”与a是不是无理数没有关系，B错误；a＝b?a2＝b2，C正确；a>b?a>|b|，D正确．故选ACD.
答案：ACD
8．解析：“B的充分条件是A”，即A是B的充分条件，得A?B，即A?B，得a>2.
答案：(2，＋∞)
9．解析：(1)画出二次函数y＝x2－4x＋3的图象，如图．
当0≤x≤a，二次函数的最小值为－1，则a的取值范围为[2，＋∞)；
(2)“x∈A”是“二次函数的最大值为3”的充分条件，同理由图象，二次函数的最大值为3，得0≤a≤4，所以a可以取的整数值为0、1、2、3、4.
(答案是0、1、2、3、4中的任意一个数均可)
10．解析：由|4x－1|≤1得－1≤4x－1≤1，故0≤x≤，由q是p的必要不充分条件，即p?q，qp，
即{x|0≤x≤}?{x|a≤x≤a＋1}．
∴且“＝”不能同时成立，
解得－≤a≤0，
故实数a的取值范围是.
答案：课时作业(七) 全称量词命题与存在量词命题
[练基础]
1．下列选项中，与其他命题不同的命题是( )
A．存在一个平行四边形是矩形
B．任何一个平行四边形都是矩形
C．有些平行四边形是矩形
D．有一个平行四边形是矩形
2．下列命题中，是真命题的全称量词命题是( )
A．对于实数a，b∈R，有a2＋b2－2a－2b＋2<0
B．梯形两条对角线相等
C．有小于1的自然数
D．函数y＝kx＋1的图象过定点(0,1)
3．关于命题“当m∈[1,2]时，方程x2－2x＋m＝0没有实数解”，下列说法正确的是( )
A．是全称量词命题，假命题
B．是全称量词命题，真命题
C．是存在量词命题，假命题
D．是存在量词命题，真命题
4．命题“已知y＝|x|－1，?x∈R都有m≤y”是真命题，则实数m的取值范围是( )
A．m≥－1
B．m>－1
C．m≤－1
D．m<－1
5．命题“有些一元一次不等式的解集是空集”是________．(全称量词命题、存在量词命题)
6．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，然后写出对应的否定命题，并判断真假．
(1)不论m取何实数，关于x的方程x2＋x－m＝0必有实数根；
(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；
(3)某些梯形的对角线互相平分；
(4)函数y＝kx图象恒过原点．
[提能力]
7．[多选题]下列命题中正确的有( )
A．“实数都大于0”的否定是“实数都小于或等于0”
B．“三角形外角和为360度”是含有全称量词的真命题
C．“至少存在一个实数x，使得|x|≥0”是含有存在量词的真命题
D．“能被3整除的整数，其各位数字之和也能被3整除”是全称量词命题
8．若“?x∈R，(a－2)x＋1>0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
9．若p：存在x0<5，使2x0＋a>0是真命题，则实数a的取值范围是________．
[战疑难]
10．已知命题p：?x∈[2,3]，x2－a≥0，命题q：?x∈R，x2＋2x＋2－a＝0.若命题p和命题q都是真命题，求实数a的取值范围．
课时作业(七) 全称量词命题与存在量词命题
1．解析：A、C、D都是含有存在量词的存在量词命题，B是含有全称量词的全称量词命题．
答案：B
2．解析：选项A是全称量词命题，a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≤0，故A是假命题；B是假命题；“存在小于1的自然数”，C是存在量词命题；D项，对于所有k∈R，函数y＝kx＋1的图象过定点(0,1)，所以正确选项为D.
答案：D
3．解析：原命题的含义是“对于任意m∈[1,2]，方程x2－2x＋m＝0都没有实数解”，但当m＝1时，方程有实数解x＝1，故命题是含有全称量词的假命题，所以正确选项为A.
答案：A
4．解析：由已知y＝|x|－1，得y≥－1，要使?x∈R，都有m≤y成立，只需m≤－1，所以正确选项为C.
答案：C
5．解析：原命题即是“存在一元一次不等式的解集是空集”，所以答案为“存在量词命题”．
答案：存在量词命题
6．解析：(1)即“所有m∈R，关于x的方程x2＋x－m＝0都有实数根”，是全称量词命题，其否定为“存在实数m，使得方程x2＋x－m＝0没有实数解”，真命题；
(2)是全称量词命题，其否定为“存在末位数字是0或5的整数不能被5整除”，假命题；
(3)是存在量词命题，其否定为“所有梯形的对角线不互相平分”，真命题；
(4)即“所有k∈R，函数y＝kx图象都过原点”，是全称量词命题，其否定为“存在实数k，使函数y＝kx图象不过原点”，是假命题．
7．解析：A.“实数都大于0”的含义是“所有实数都大于0”，所以它的否定应该是“存在实数不大于0”，所以A错误；B.“三角形外角和为360度”的含义是“所有三角形外角和为360度”，所以B正确；同理CD也正确．故选BCD.
答案：BCD
8．解析：“?x∈R，(a－2)x＋1>0”是真命题，等价于(a－2)x＋1>0的解集为R，所以a－2＝0，即a＝2.
答案：{2}
9．解析：存在x0<5，使2x0＋a>0，即存在x0<5，使x0>－，所以－<5，所以a>－10.
答案：a>－10
10．解析：∵?x∈[2,3]，x2－a≥0，即a≤x2，当x∈[2,3]时恒成立．∴a≤4.
∵?x∈R，x2＋2x＋2－a＝0，即方程x2＋2x＋2－a＝0有实根，
∴Δ＝4－4×1×(2－a)≥0.解得a≥1.
∵命题p和命题q都是真命题，∴实数a的取值范围是[1,4]．