课时作业(九) 不等式的性质
[练基础]
1．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A、B的大小关系是( )
A．A≤B
B．A≥B
C．A
B
D．A>B
2．若a>b>0，cA.>
B.<
C.>
D.<
3．下列结论正确的是( )
A．若a>b>c>0，则>
B．若a>b>0，则b2C．若a>b>0，则ac2>bc2
D．若a>
4．已知a，b为非零实数，且aA．a2B．ab2C.<
D.<
5．用“>”或“<”填空．
＋________＋.
6．已知a，b，x，y都是正数，且>，x>y，求证：>.
[提能力]
7．[多选题]若<<0，则下列不等式不成立的是( )
A．|a|>|b|
B．aC．a＋bD．a3>b3
8．[多选题]已知a>b>1，给出下列不等式：
①a2>b2；②>－；③a3＋b3＞2a2b；④a＋>b＋.则其中一定成立的有( )
A．①
B．②
C．③
D．④
9．已知三个不等式：ab>0，bc－ad>0，－>0(其中a，b，c，d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成正确命题的个数是________．
[战疑难]
10．设f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．
课时作业(九) 不等式的性质
1．解析：因为A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝2＋b2≥0，所以A≥B.
答案：B
2．解析：方法一 ∵c－>0.又a>b>0，∴－>－，∴<，故D正确．
方法二 取a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－1，逐一验证可知D正确．
答案：D
3．解析：A中，a>b>c>0时，－＝<0，∴<，A不正确；B中，a>b>0，∴a2>ab，ab>b2，∴a2>ab>b2，B正确；C中，若c＝0，不等式不成立，C不正确；D中，若a＝－8，b＝－1，不等式不成立，D不正确．
答案：B
4．解析：若ab2，A不成立；若则a2b，所以D不成立，故选C.
答案：C
5．解析：(＋)2－(＋)2＝9＋2－9－2＝2(－)<0，∴＋<＋.
答案：<
6．证明：∵a，b，x，y都是正数，且>，x>y，
∴>>0，
∴<，则＋1<＋1，
即0<<，
∴>.
7．解析：由<<0得b0，则a＋b答案：AB
8．解析：a>b>1，则a2>b2，①正确；>－?a－b>a＋b－2?bb＋?a－b＋－>0?(a－b)>0，④正确．故选ABD.
答案：ABD
9．解析：若ab>0，bc－ad>0成立，不等式bc－ad>0两边同除以ab可得－>0，即ab>0，bc－ad>0?－>0；若ab>0，－>0成立，不等式－>0，两边同乘ab，可得bc－ad>0，即ab>0，－>0?bc－ad>0；若－>0，bc－ad>0成立，则－＝>0，又bc－ad>0，则ab>0，即－>0，bc－ad>0?ab>0.
综上可知，以上三个不等式中任意两个为条件都可推出第三个不等式成立，故可组成的正确命题有3个．
答案：3
10．解析：方法一 设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)
则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b，于是解得
所以f(－2)＝3f(－1)＋f(1)，又因为1≤f(－1)≤2，
2≤f(1)≤4，所以5≤3f(－1)＋f(1)≤10，
故5≤f(－2)≤10.
方法二 由得
所以f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)，
又因为1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
所以5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.课时作业(十) 基本不等式
[练基础]
1．设0A.
B．b
C．2ab
D．a2＋b2
2．给出下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．“a>b>0”是“ab<”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．[多选题]若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )
A．a2＋b2≥8
B.≥
C.≥2
D.＋≤1
5．已知a>b>c，则与的大小关系是________．
6．已知x>0，y>0，z>0且x＋y＋z＝1，求证：＋＋≤.
[提能力]
7．[多选题]若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式成立的是( )
A．ab≤1
B.＋≤
C．a2＋b2≥2
D.＋≥2
8．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围为________；a＋b的取值范围为________．
9．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：
(1)＋＋≥8；
(2)≥9.
[战疑难]
10．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式＋4>m2－6m恒成立，则实数m的取值范围是________．
课时作业(十) 基本不等式
1．解析：∵0∵>>0，∴
>，∴a2＋b2>.
∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2＝ab－a2＝a(b－a)>0，∴b>a2＋b2，∴b最大．故选B.
答案：B
2．解析：当，均为正数时，＋≥2，故只需a、b同号即可，∴①③④均可以．
答案：C
3．解析：∵a>b>0，∴a2＋b2>2ab，充分性成立，ab答案：A
4．解析：a2＋b2≥＝8，当且仅当a＝b＝2时取等号，A正确；a＋b＝4≥2，ab≤4，≥，当且仅当a＝b＝2时取等号，B正确，C错误；＋＝＝≥1，D错误．故选AB.
答案：AB
5．解析：∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0.∴＝≥，当且仅当a－b＝b－c即2b＝a＋c时取等号．
答案：≤
6．证明：∵x>0，y>0，z>0，
∴x＋y≥2，x＋z≥2，y＋z≥2，
∴2(x＋y＋z)≥2(＋＋)．
∵x＋y＋z＝1，∴＋＋≤1成立．
∴x＋y＋z＋2(＋＋)≤3，即(＋＋)2≤3.
∴＋＋≤.当且仅当x＝y＝z＝时，等号成立．
7．解析：∵ab≤2＝1，A正确；(＋)2＝a＋b＋2＝2＋2≤2＋a＋b＝4，∴＋≤2，B错误；a2＋b2＝(a＋b)2－ab≥22－2×1＝2，C正确；＋＝(a＋b)＝1＋≥1＋＝2，D正确．故选ACD.
答案：ACD
8．解析：∵ab＝a＋b＋3≥2＋3，
令t＝<0，∴t2－2t－3≥0，
∴(t－3)(t＋1)≥0.
∴t≥3即≥3，
∴ab≥9，当且仅当a＝b＝3时取等号，
又∵ab＝a＋b＋3，∴a＋b＋3≤2.
令t＝a＋b>0，∴t2－4t－12≥0，
∴(t－6)(t＋2)≥0.
∴t≥6即a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号．
答案：[9，＋∞)，[6，＋∞)
9．证明：(1)＋＋＝＋＋＝2，
∵a＋b＝1，a>0，b>0，
∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，
∴＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时，等号成立)．
(2)证法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴1＋＝1＋＝2＋，同理，1＋＝2＋，
∴＝＝5＋2≥5＋4＝9.
∴≥9(当且仅当a＝b＝时，等号成立)．
证法二：＝1＋＋＋.
由(1)知，＋＋≥8，
故＝1＋＋＋≥9，当且仅当a＝b＝时，等号成立．
10．解析：∵＋＝1，
∴＋4＝(＋4)＝4＋＋＋4≥8＋2＝16.当且仅当x＝16y，即y＝4且x＝64时取等号．∵＋4>m2－6m恒成立，则16>m2－6m，解得－2答案：(－2,8)课时作业(十一) 基本不等式的应用
[练基础]
1．已知x>－1，则函数y＝x＋的最小值是( )
A．4
B．3
C．2
D．1
2．若0A.
B.
C.
D．1
3．已知实数x>0，y>0，x＋3y＝1，则＋的最小值为( )
A．6
B．2＋2
C．4＋
D．4＋2
4．若正实数a，b满足a＋b＝1，则( )
A.＋有最大值4
B．ab有最小值
C.＋有最大值
D．a2＋b2有最小值
5．周长为12的矩形，其面积的最大值为________．
6．(1)已知x>0，求y＝2－x－的最大值；
(2)已知－1[提能力]
7．[多选题]若对于任意的x>0，不等式≤a恒成立，则实数a可能的值为( )
A．0
B.
C．1
D．2
8．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N
)，则该公司年平均利润的最大值是________万元．
9．某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．
(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？
(2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？
[战疑难]
10．[多选题]已知x＋y＝1，y>0，x≠0，则＋的值可能是( )
A.
B.
C.
D.
课时作业(十一) 基本不等式的应用
1．解析：由x>－1，即x＋1>0，所以y＝x＋＝(x＋1)＋－1≥2－1＝1，x＝0时取“＝”，所以正确选项为D.
答案：D
2．解析：00，则a(1－2a)＝(2a)(1－2a)≤·2＝，当a＝时取“＝”，所以正确选项为A.
答案：A
3．解析：＋＝(x＋3y)＝4＋＋≥4＋2，正确选项为D.
答案：D
4．解析：＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4，＋有最小值4，A选项错误；ab≤2＝，ab有最大值，B选项错误；(＋)2＝a＋b＋2≤1＋(a＋b)＝2，＋有最大值，C正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥1－22＝，a2＋b2有最小值，D选项错误，所以正确选项为C.
答案：C
5．解析：设矩形的长、宽分别为x，y，则2(x＋y)＝12，即x＋y＝6，矩形面积为xy≤2＝9，当x＝y＝3时，面积的最大值为9，所以答案为9.
答案：9
6．解析：(1)因为x>0，所以x＋≥4，
所以y＝2－x－＝2－≤2－4＝－2，
所以当且仅当x＝，即x＝2>0，函数y＝2－x－的最大值为－2.
(2)因为－10,1－2x>0，
所以y＝(1＋x)(1－2x)＝(2＋2x)(1－2x)≤2＝，
当且仅当2＋2x＝1－2x，
即x＝－∈时，y＝(1＋x)(1－2x)的最大值为.
7．解析：对于?x>0，不等式≤a恒成立．即对?x>0，不等式≤a恒成立．∵x＋＋3≥3＋2＝5.当且仅当x＝1时，取等号，所以的最大值为.所以a≥.故选BCD.
答案：BCD
8．解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，而x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．
答案：8
9．解析：(1)设该船捕捞n年后的总盈利为y万元．则
y＝50n－98－
＝－2n2＋40n－98＝－2(n－10)2＋102，
∴当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．
(2)年平均利润为
＝－2≤－2＝12，
当且仅当n＝，即n＝7时上式取等号．
所以，当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元．
10．解析：由x＋y＝1，y>0，x≠0，得y＝1－x>0，则x<1且x≠0.当0＝.当且仅当＝即x＝－2时取等号．综上，＋≥.故选CD.
答案：CD