2021-2022学年 北师大版九年级数学上册 《第2章 一元二次方程》单元练习卷（word版含解析）

第2章
一元二次方程
一．选择题
1．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≠0
B．m≤
C．m＜
D．m＞
2．下列一元二次方程没有实数根的是（　　）
A．x2+x+1＝0
B．x2+x﹣1＝0
C．x2﹣2x﹣1＝0
D．x2﹣2x+1＝0
3．关于x的方程x2+4kx+2k2＝4的一个解是﹣2，则k值为（　　）
A．2或4
B．0或4
C．﹣2或0
D．﹣2或2
4．某公司5月份营业额为60万元，7月份营业额达到100万元，设该公司这两个月的月平均增长率为x．应列方程是（　　）
A．60（1+x）＝100
B．60（1+x）2＝100
C．60（1+x）+60（1+x）2＝100
D．60+60（1+x）+60（1+x）2＝100
5．某蔬菜种植基地2019年的蔬菜产量为800吨，2021年的蔬菜产量为968吨，设每年蔬菜产量的年平均增长率都为x，则年平均增长率x应满足的方程为（　　）
A．800（1﹣x）2＝968
B．800（1+x）2＝968
C．968（1﹣x）2＝800
D．968（1+x）2＝800
6．用配方法解方程x2+6x+4＝0时，原方程变形为（　　）
A．（x+3）2＝9
B．（x+3）2＝13
C．（x+3）2＝5
D．（x+3）2＝4
7．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）和它的两个实数根为x1、x2，下列说法：
①若a、c异号，则方程ax2+bx+c＝0一定有实数根
②若b2＞5ac，则方程ax2+bx+c＝0一定有两异实根
③若b＝a+c，则方程ax2+bx+c＝0一定有两实数根
④若a＝1，b＝2，c＝3，由根与系数的关系可得x1+x2＝﹣2，x1x2＝3
其中正确的结论的个数为（　　）
A．1
个
B．2
个
C．3
个
D．4
个
8．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　）
A．4.8
B．10
C．12
D．8或10
9．对于实数a，b定义运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如3☆2＝3×22﹣3×2＝6，则方程1☆x＝2的根的情况为（　　）
A．没有实数根
B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
10．已知一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0（a≠0，x1≠x2）与一元一次方程dx+e＝0有一个公共解x＝x1，若一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）+（dx+e）＝0有两个相等的实数根，则（　　）
A．a（x1﹣x2）＝d
B．a（x2﹣x1）＝d
C．a（x1﹣x2）2＝d
D．a（x2﹣x1）2＝d
二．填空题
11．方程（x+1）2＝3（x+1）的解为　
　．
12．若一元二次方程2x2﹣3x+c＝0无实数根，则c的取值范围为
　
　．
13．若关于x的方程（ax﹣1）2﹣16＝0的一个根为2，则a的值为　
　．
14．如果关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个解是x＝1，则2021﹣a﹣b＝　
　．
15．已知x＝（b2﹣4c≥0），则式子x2+bx+c的值是　
　．
三．解答题
16．解方程：
（1）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．
（2）x2﹣4x﹣5＝0．
（3）2x2+x＝3．
（4）4（x+2）2＝（3x﹣1）2．
17．小明同学在解一元二次方程3x2﹣8x（x﹣2）＝0时，他是这样做的：解一元二次方程3x2﹣8x（x﹣2）＝0．
解：3x﹣8x﹣2＝0…第一步
﹣5x﹣2＝0…第二步
﹣5x＝2…第三步
x＝﹣…第四步
小明的解法从第几步开始出现错误？请你写出正确的求解过程．
18．中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元．
（1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？
（2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值．
19．如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P由点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：
（1）经过几秒后，△PBQ的面积等于8cm2？
（2）经过几秒后，P，Q两点间距离是cm？
20．阅读材料：我们知道，利用完全平方公式可将二次三项式a2±2ab+b2分解成（a±b）2，而对于a2+2a﹣3这样的二次三项式，则不能直接利用完全平方公式进行分解，但可先用“配方法”将其配成一个完全平方式，再利用平方差公式，就可进行因式分解，过程如下：a2+2a﹣3＝a2+2a+1﹣1﹣3＝（a+1）2﹣4＝（a+1+2）（a+1﹣2）＝（a+3）（a﹣1）．
请用“配方法”解决下列问题：
（1）分解因式：a2﹣6a+5．
（2）已知ab＝，a+2b＝3，求a2﹣2ab+4b2的值．
（3）若将4x2+12x+m分解因式所得结果中有一个因式为x+2，试求常数m的值．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≠0
B．m≤
C．m＜
D．m＞
【分析】由方程有实数根即△＝b2﹣4ac≥0，从而得出关于m的不等式，解之可得．
【解答】解：根据题意得，△＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4m2＝﹣4m+1≥0，
解得：m≤，
故选：B．
2．下列一元二次方程没有实数根的是（　　）
A．x2+x+1＝0
B．x2+x﹣1＝0
C．x2﹣2x﹣1＝0
D．x2﹣2x+1＝0
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＝b2﹣4ac，逐一分析四个选项方程根的判别式的符号，由此即可得出结论．
【解答】解：A、在方程x2+x+1＝0中，△＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，
∴该方程没有实数根；
B、在方程x2+x﹣1＝0中，△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
∴该方程有两个不相同的实数根；
C、在方程x2﹣2x﹣1＝0中，△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴该方程有两个不相同的实数根；
D、在方程x2﹣2x+1＝0中，△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
∴该方程有两个相等的实数根．
故选：A．
3．关于x的方程x2+4kx+2k2＝4的一个解是﹣2，则k值为（　　）
A．2或4
B．0或4
C．﹣2或0
D．﹣2或2
【分析】直接把x＝﹣2代入方程x2+4kx+2k2＝4得4﹣8k+2k2＝4，然后解关于k的一元二次方程即可．
【解答】解：把x＝﹣2代入方程x2+4kx+2k2＝4得4﹣8k+2k2＝4，
整理得k2﹣4k＝0，解得k1＝0，k2＝4，
即k的值为0或4．
故选：B．
4．某公司5月份营业额为60万元，7月份营业额达到100万元，设该公司这两个月的月平均增长率为x．应列方程是（　　）
A．60（1+x）＝100
B．60（1+x）2＝100
C．60（1+x）+60（1+x）2＝100
D．60+60（1+x）+60（1+x）2＝100
【分析】根据该公司6、7两个月营业额的月均增长率为x，结合5月、7月营业额即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设该公司这两个月的月平均增长率为x，
根据题意，得60（1+x）2＝100．
故选：B．
5．某蔬菜种植基地2019年的蔬菜产量为800吨，2021年的蔬菜产量为968吨，设每年蔬菜产量的年平均增长率都为x，则年平均增长率x应满足的方程为（　　）
A．800（1﹣x）2＝968
B．800（1+x）2＝968
C．968（1﹣x）2＝800
D．968（1+x）2＝800
【分析】根据该种植基地2019年及2021年的蔬菜产量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：800（1+x）2＝968．
故选：B．
6．用配方法解方程x2+6x+4＝0时，原方程变形为（　　）
A．（x+3）2＝9
B．（x+3）2＝13
C．（x+3）2＝5
D．（x+3）2＝4
【分析】把常数项4移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方．
【解答】解：由x2+6x+4＝0可得：x2+6x＝﹣4，
则x2+6x+9＝﹣4+9，
即：（x+3）2＝5，
故选：C．
7．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）和它的两个实数根为x1、x2，下列说法：
①若a、c异号，则方程ax2+bx+c＝0一定有实数根
②若b2＞5ac，则方程ax2+bx+c＝0一定有两异实根
③若b＝a+c，则方程ax2+bx+c＝0一定有两实数根
④若a＝1，b＝2，c＝3，由根与系数的关系可得x1+x2＝﹣2，x1x2＝3
其中正确的结论的个数为（　　）
A．1
个
B．2
个
C．3
个
D．4
个
【分析】当a、c异号时，△＞0，则根据判别式的意义可对①进行判断；当b2＞5ac时，△＞0，可判断方程ax2+bx+c＝0一定有不相等的实数根，则可对③进行判断；当b＝a+c时，则△＝（a﹣c）2≥0，则根据判别式的意义可对③进行判断；若a＝1，b＝2，c＝3，计算出△＝﹣8＜0，则可对④进行判断．
【解答】解：△＝b2﹣4ac，
当a、c异号时，ac＜0，所以△＞0，所以此时方程ax2+bx+c＝0一定有实数根，所以①正确；
当b2＞5ac时，则△＞ac，若a、c异号，此时方程ax2+bx+c＝0一定有两个不相等的实数根，若ac同号，则△＞0，此时方程ax2+bx+c＝0一定有两异实根，所以②正确；
若b＝a+c时，△＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，则方程ax2+bx+c＝0一定有两实数根，所以③正确；
若a＝1，b＝2，c＝3，△＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，所以方程没有实数根，所以④错误．
故选：C．
8．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　）
A．4.8
B．10
C．12
D．8或10
【分析】首先利用因式分解法解方程，再利用三角形三边关系得出各边长，进而得出答案．
【解答】解：x2﹣6x+8＝0
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
解得：x1＝2，x2＝4，
∵2+2＝4，
∴等腰三角形的腰长只能为4，底边长为2，
则其周长为：4+4+2＝10．
故选：B．
9．对于实数a，b定义运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如3☆2＝3×22﹣3×2＝6，则方程1☆x＝2的根的情况为（　　）
A．没有实数根
B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
【分析】根据运算“☆”的定义将方程1☆x＝2转化为一般式，由根的判别式Δ＝9＞0，即可得出该方程有两个不相等的实数根．
【解答】解：∵1☆x＝2，
∴1?x2﹣1?x＝2，
∴x2﹣x﹣2＝0，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，
∴方程1☆x＝2有两个不相等的实数根．
故选：D．
10．已知一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0（a≠0，x1≠x2）与一元一次方程dx+e＝0有一个公共解x＝x1，若一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）+（dx+e）＝0有两个相等的实数根，则（　　）
A．a（x1﹣x2）＝d
B．a（x2﹣x1）＝d
C．a（x1﹣x2）2＝d
D．a（x2﹣x1）2＝d
【分析】由x＝x1是方程a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0与dx+e＝0的一个公共解，可得x＝x1是方程a（x﹣x1）（x﹣x2）+（dx+e）＝0的一个解．根据根与系数的关系得出x1+x1＝﹣，整理后即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0与关于x的一元一次方程dx+e＝0有一个公共解x＝x1，
∴x＝x1是方程a（x﹣x1）（x﹣x2）+（dx+e）＝0的一个解．
∵一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）+（dx+e）＝0，
∴ax2﹣（ax1+ax2﹣d）x+ax1x2+e＝0，
∵有两个相等的实数根，
∴x1+x1＝﹣，
整理得：d＝a（x2﹣x1）．
故选：B．
二．填空题
11．方程（x+1）2＝3（x+1）的解为　x1＝﹣1，x2＝2　．
【分析】方程移项后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程变形得：（x+1）2﹣3（x+1）＝0，
分解因式得：（x+1）（x+1﹣3）＝0，
可得x+1＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝2．
故答案为：x1＝﹣1，x2＝2．
12．若一元二次方程2x2﹣3x+c＝0无实数根，则c的取值范围为
　c＞　．
【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4×2×c＜0，然后求出c的取值范围．
【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣3x+c＝0无实数根，
Δ＝（﹣3）2﹣4×2×c＜0，
解得c＞，
∴c的取值范围是c＞．
故答案为：c＞．
13．若关于x的方程（ax﹣1）2﹣16＝0的一个根为2，则a的值为　或　．
【分析】将x＝2代入原方程即可求出a的值．
【解答】解：将x＝2代入（ax﹣1）2﹣16＝0，
∴（2a﹣1）2﹣16＝0，
∴2a﹣1＝±4，
∴a1＝或a2＝，
故答案为：或．
14．如果关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个解是x＝1，则2021﹣a﹣b＝　2020　．
【分析】利用一元二次方程解的定义得到a+b＝1，然后把2021﹣a﹣b变形为2021﹣（a+b），再利用整体代入的方法计算．
【解答】解：把x＝1代入方程ax2+bx﹣1＝0得a+b﹣1＝0，
所以a+b＝1，
所以2021﹣a﹣b＝2021﹣（a+b）＝2021﹣1＝2020．
故答案为：2020．
15．已知x＝（b2﹣4c≥0），则式子x2+bx+c的值是　0　．
【分析】把x＝代入代数式x2+bx+c，再进行化简即可．
【解答】解：∵x＝（b2﹣4c≥0），
∴x2+bx+c＝（）2+b?+c
＝++
＝
＝0，
故答案为：0．
三．解答题
16．解方程：
（1）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．
（2）x2﹣4x﹣5＝0．
（3）2x2+x＝3．
（4）4（x+2）2＝（3x﹣1）2．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）∵（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0，
∴3（x﹣3）（x﹣1）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝3，x2＝1；
（2）∵x2﹣4x﹣5＝0，
∴（x﹣5）（x+1）＝0，
∴x﹣5＝0或x+1＝0，
所以x1＝5，x2＝﹣1；
（3）∵2x2+x＝3，
∴（2x+3）（x﹣1）＝0，
∴2x+3＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝﹣，x2＝1；
（4）∵4（x+2）2﹣（3x﹣1）2＝0，
∴（2x+4+3x﹣1）（2x+4﹣3x+1）＝0，
∴5x+3＝0或﹣x+5＝0，
∴x1＝﹣，x2＝5．
17．小明同学在解一元二次方程3x2﹣8x（x﹣2）＝0时，他是这样做的：解一元二次方程3x2﹣8x（x﹣2）＝0．
解：3x﹣8x﹣2＝0…第一步
﹣5x﹣2＝0…第二步
﹣5x＝2…第三步
x＝﹣…第四步
小明的解法从第几步开始出现错误？请你写出正确的求解过程．
【分析】小明的解法是从第一步出现错误，方程两边不应该同时除以x，按照因式分解法步骤解方程即可．
【解答】解：小明的解法从第一步开始出现错误；
3x2﹣8x（x﹣2）＝0，
x[3x﹣8（x﹣2）]＝0，
x（﹣5x+16）＝0，
解得：x1＝0，．
18．中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元．
（1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？
（2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值．
【分析】（1）设今年2月该酒店A种房间入住了x间，则B种房间入住了（120﹣x）间，根据总营业额＝每个房间的单价×入住数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据总营业额＝每个房间的单价×入住数量，结合3月总营业收入在2月的基础上增加了a%，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设今年2月该酒店A种房间入住了x间，则B种房间入住了（120﹣x）间，
依题意得：200x+300（120﹣x）＝28000，
解得：x＝80．
答：今年2月该酒店A种房间入住了80间．
（2）依题意得：（200﹣2a）×80（1+a%）+300（1﹣a%）×（120﹣80）（1+a%）＝28000（1+a%），
整理得：7a2﹣140a＝0，
解得：a1＝20，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值为20．
19．如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P由点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：
（1）经过几秒后，△PBQ的面积等于8cm2？
（2）经过几秒后，P，Q两点间距离是cm？
【分析】（1）设经过x秒后，△PBQ的面积等于8cm2，则BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm，利用三角形的面积公式结合△PBQ的面积等于8cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）设经过y秒后，P，Q两点间距离是cm，则BP＝（6﹣y）cm，BQ＝2ycm，利用勾股定理结合P，Q两点间距离是cm，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设经过x秒后，△PBQ的面积等于8cm2，则BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm，
依题意，得：（6﹣x）×2x＝8，
化简，得：x2﹣6x+8＝0，
解得：x1＝2，x2＝4．
答：经过2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8cm2．
（2）设经过y秒后，P，Q两点间距离是cm，则BP＝（6﹣y）cm，BQ＝2ycm，
依题意，得：（6﹣y）2+（2y）2＝（）2，
化简，得：5y2﹣12y﹣17＝0，
解得：y1＝，y2＝﹣1（不合题意，舍去）．
答：经过秒后，P，Q两点间距离是cm．
20．阅读材料：我们知道，利用完全平方公式可将二次三项式a2±2ab+b2分解成（a±b）2，而对于a2+2a﹣3这样的二次三项式，则不能直接利用完全平方公式进行分解，但可先用“配方法”将其配成一个完全平方式，再利用平方差公式，就可进行因式分解，过程如下：a2+2a﹣3＝a2+2a+1﹣1﹣3＝（a+1）2﹣4＝（a+1+2）（a+1﹣2）＝（a+3）（a﹣1）．
请用“配方法”解决下列问题：
（1）分解因式：a2﹣6a+5．
（2）已知ab＝，a+2b＝3，求a2﹣2ab+4b2的值．
（3）若将4x2+12x+m分解因式所得结果中有一个因式为x+2，试求常数m的值．
【分析】（1）利用已知结合完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案；
（2）利用完全平方公式将a2﹣2ab+4b2进行因式分解，转化为含有ab＝，a+2b＝3的式子即可求解；
（3）设另一个因式为4x+n，将（x+2）（4x+n）展开，得出一次项的系数，继而求出m的值．
【解答】解：（1）a2﹣6a+5＝a2﹣6a+9﹣4＝（a﹣3）2﹣4＝（a﹣3+2）（a﹣3﹣2）＝（a﹣1）（a﹣5）；
（2）∵ab＝，a+2b＝3，
∴a2﹣2ab+4b2＝a2+4ab+4b2﹣6ab＝（a+2b）2﹣6ab＝32﹣6×＝；
（3）解法一：设另一个因式为4x+n，得4x2+12x+m＝（x+2）（4x+n），
则4x2+12x+m＝4x2+（n+8）x+2n，
∴，
解得n＝4，m＝8，
解法二：设另一个因式为4x+n，得4x2+12x+m＝（x+2）（4x+n），
∴当x＝﹣2时，4x2+12x+m＝（x+2）（4x+n）＝0，
即4×（﹣2）2+12×（﹣2）+m＝0，解得m＝8，