2021-2022学年 北师大版九年级数学上册《第2章 一元二次方程》单元复习试题（word版含解析）

第2章
一元二次方程
一．选择题
1．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（　　）
A．x2﹣x+＝0
B．x2+2x+4＝0
C．x2﹣x+2＝0
D．x2﹣3x＝0
2．若关于x的一元二次方程x2+3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为（　　）
A．k＞﹣
B．k≥﹣
C．k＜﹣
D．k≤﹣
3．若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则2021﹣6a2+2a的值是（　　）
A．2023
B．2022
C．2020
D．2019
4．北仑某酒店第2季度的总营业额为240万元，其中4月份的营业额是100万元，设5、6月份的平均月增长率为x，可列方程为（　　）
A．100（1+x）2＝240
B．100+100（1+x）2＝240
C．100+100x+100（1+x）2＝240
D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝240
5．2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，据有关部门统计，2018年末我国贫困人口还有1660万人，此后逐年下降，截至到2020年末我国贫困人口仅有551万人．若设贫困人口的年平均下降率为x，则可列方程为（　　）
A．551（1+x）2＝1660
B．1660（1﹣2x）＝551
C．1660（1﹣x%）2＝551
D．1660（1﹣x）2＝551
6．用配方法解方程2x2﹣4x﹣1＝0时，需要先将此方程化成形如（x+m）2＝n（n≥0）的形式，则下列配方正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝5
B．（x﹣1）2＝
C．（x﹣1）2＝2
D．（x﹣1）2＝
7．有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c＝0；N：cx2+bx+a＝0，其中a﹣c≠0，以下列四个结论中，错误的是（　　）
A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
B．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1
C．如果7是方程M的一个根，那么是方程N的一个根
D．如果方程M有两根符号相同，那么是方程N的两根符号也相同
8．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+18＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　）
A．12
B．9
C．15
D．12或15
9．定义运算：m?n＝mn2﹣mn+1．例如：1?2＝1×22﹣1×2+1＝3．则方程1?x＝0的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．只有一个实数根
10．关于x的一元二次方程x2﹣2（k+2）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，则代数式x12+x22﹣x1x2+1的最小值是（　　）
A．﹣8
B．﹣5
C．1
D．2
二．填空题
11．一元二次方程x（x+1）＝2（x+1）的解是
　
　．
12．关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0有两个相同的实数根，则常数k的值等于
　
　．
13．如果一元二次方程x2﹣9＝0的两根分别是a，b，且a＞b，那么a的值是
　
　．
14．若t是方程ax2+2x＝0（a≠0）的一个根，则Q＝（at+1）2的值为
　
　．
15．根据a＝1，b＝10，c＝﹣15．可求得代数式的值为
　
　．
三．解答题
16．解一元二次方程：
（1）（x﹣3）2＝18；
（2）3x（2x+1）＝4x+2．
17．已知A＝16x2+4x，B＝4x+1，回答下列问题：
（1）求A+B，并将它因式分解；
（2）若A＝B，求满足条件的x的值．
18．今年4月23日，重庆光环购物公园盛大开业，它是国内首个“城市自然共同体”商业购物中心，其中室内植物园“沐光森林”深受大家的追捧．为了防止开业期间人流量爆棚，光环购物中心对“沐光森林”的参观实行预约制．工作人员每天早上8：00分别对“沐光森林”的B1层植物园和LG层风语步道这两个景点开放预约，每天两个景点共可预约1400人，其中B1层植物园3天的可预约总量等于LG层风语步道4天的可预约总量．
（1）B1层植物园和LG层风语步道每天各可预约多少人？
（2）考虑五一节假期游玩人数增多，工作人员决定从五月一日起，B1层植物园每天的可预约人数增加a%（其中a＞0），同时LG层风语步道每天可预约人数增加a%，与此同时，L2层的风语步道已完工并开放，那么从五月一日起两层风语步道每天可预约的总人数比LG层风语步道增加后的可预约人数还多4a%，最终整个“沐光森林”每天可预约的总人数比五一假期前每天可预约的总人数多了a%，求a的值．
19．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若销售单价降低5元，那么平均每天销售数量为多少件？
（2）若该商店每天销售利润为1200元，问每件商品可降价多少元？
20．阅读材料：我们知道，利用完全平方公式可将二次三项式a2±2ab+b2分解成（a±b）2，而对于a2+2a﹣3这样的二次三项式，则不能直接利用完全平方公式进行分解，但可先用“配方法”将其配成一个完全平方式，再利用平方差公式，就可进行因式分解，过程如下：a2+2a﹣3＝a2+2a+1﹣1﹣3＝（a+1）2﹣4＝（a+1+2）（a+1﹣2）＝（a+3）（a﹣1）．
请用“配方法”解决下列问题：
（1）分解因式：a2﹣6a+5．
（2）已知ab＝，a+2b＝3，求a2﹣2ab+4b2的值．
（3）若将4x2+12x+m分解因式所得结果中有一个因式为x+2，试求常数m的值．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（　　）
A．x2﹣x+＝0
B．x2+2x+4＝0
C．x2﹣x+2＝0
D．x2﹣3x＝0
【分析】分别计算出四个方程的根的判别式的值，然后利用判别式的意义判断各方程的根的情况即可．
【解答】解：A、因为△＝（﹣1）2﹣4×＝0，则方程有两个相等的实数解，所以A选项不符合题意；
B、因为△＝22﹣4×4＝﹣12＜0，则方程没有实数解，所以B选项不符合题意；
C、因为△＝（﹣1）2﹣4×2＝﹣7＜0，则方程没有实数解，所以C选项不符合题意；
D、因为△＝（﹣3）2﹣4×0＝9＞0，则方程有两个不相等的实数解，所以D选项符合题意．
故选：D．
2．若关于x的一元二次方程x2+3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为（　　）
A．k＞﹣
B．k≥﹣
C．k＜﹣
D．k≤﹣
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝32﹣4（﹣k）＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝32﹣4（﹣k）＞0，
解得k＞﹣．
故选：A．
3．若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则2021﹣6a2+2a的值是（　　）
A．2023
B．2022
C．2020
D．2019
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到3a2﹣a＝1，再把2021﹣6a2+2a变形为2021﹣2（3a2﹣a），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴3a2﹣a﹣1＝0，
∴3a2﹣a＝1，
∴2021﹣6a2+2a＝2021﹣2（3a2﹣a）
＝2021﹣2×1
＝2019．
故选：D．
4．北仑某酒店第2季度的总营业额为240万元，其中4月份的营业额是100万元，设5、6月份的平均月增长率为x，可列方程为（　　）
A．100（1+x）2＝240
B．100+100（1+x）2＝240
C．100+100x+100（1+x）2＝240
D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝240
【分析】根据4月份的销售额及第2季度的总销售额，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：100+100（1+x）+100（1+x）2＝240．
故选：D．
5．2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，据有关部门统计，2018年末我国贫困人口还有1660万人，此后逐年下降，截至到2020年末我国贫困人口仅有551万人．若设贫困人口的年平均下降率为x，则可列方程为（　　）
A．551（1+x）2＝1660
B．1660（1﹣2x）＝551
C．1660（1﹣x%）2＝551
D．1660（1﹣x）2＝551
【分析】等量关系为：2018年贫困人口×（1﹣下降率）2＝2020年贫困人口，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设贫困人口的年平均下降率为x，，根据题意得：
1660（1﹣x）2＝551，
故选：D．
6．用配方法解方程2x2﹣4x﹣1＝0时，需要先将此方程化成形如（x+m）2＝n（n≥0）的形式，则下列配方正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝5
B．（x﹣1）2＝
C．（x﹣1）2＝2
D．（x﹣1）2＝
【分析】将常数项移到方程的右边，再将二次项系数化为1，继而两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式．
【解答】解：∵2x2﹣4x﹣1＝0，
∴2x2﹣4x＝1，
∴x2﹣2x＝，
则x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，
故选：B．
7．有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c＝0；N：cx2+bx+a＝0，其中a﹣c≠0，以下列四个结论中，错误的是（　　）
A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
B．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1
C．如果7是方程M的一个根，那么是方程N的一个根
D．如果方程M有两根符号相同，那么是方程N的两根符号也相同
【分析】根据M、N两方程根的判别式相同，即可得出A正确；用方程M﹣方程N，可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出x的值，从而得出B错误．将x＝7代入方程M中，方程两边同时除以49即可得出是方程N的一个根，C正确；根据“和符号相”，即可得出D正确；综上即可得出结论．
【解答】解：A、在方程ax2+bx+c＝0中Δ＝b2﹣4ac，在方程cx2+bx+a＝0中Δ＝b2﹣4ac，
∴如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根，正确；
B、M﹣N得：（a﹣c）x2+c﹣a＝0，即（a﹣c）x2＝a﹣c，
∵a﹣c≠0，
∴x2＝1，解得：x＝±1，错误．
C、∵7是方程M的一个根，
∴49a+7b+c＝0，
∴a+b+c＝0，
∴是方程N的一个根，正确；
D、∵和符号相同，
∴如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，正确；
故选：B．
8．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+18＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　）
A．12
B．9
C．15
D．12或15
【分析】利用因式分解法求出x的值，再根据等腰三角形的性质分情况讨论求解．
【解答】解：∵x2﹣9x+18＝0，
∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，
则x﹣3＝0或x﹣6＝0，
解得x＝3或x＝6，
当3是腰时，三角形的三边分别为3、3、6，不能组成三角形；
当6是腰时，三角形的三边分别为3、6、6，能组成三角形，周长为3+6+6＝15．
故选：C．
9．定义运算：m?n＝mn2﹣mn+1．例如：1?2＝1×22﹣1×2+1＝3．则方程1?x＝0的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．只有一个实数根
【分析】根据新运算得到x2﹣x+1＝0，再计算判别式的值，然后根据判别式的意义确定方程根的情况．
【解答】解：根据题意得x2﹣x+1＝0，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1＝﹣3＜0，
∴方程无实数根．
故选：C．
10．关于x的一元二次方程x2﹣2（k+2）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，则代数式x12+x22﹣x1x2+1的最小值是（　　）
A．﹣8
B．﹣5
C．1
D．2
【分析】先根据△≥0得到k的范围；再将所求式子变形，用韦达定理把它表示成k的代数式；最后根据k的范围得到所求代数式的最小值．
【解答】解：∵x2﹣2（k+2）x+k2+2k＝0有两个实数根，
∴△≥0即4（k+2）2﹣4（k2+2k）≥0，
解得k≥﹣2；
∵x1、x2是x2﹣2（k+2）x+k2+2k＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2k+4，x1?x2＝k2+2k，
x12+x22﹣x1?x2+1＝（x1+x2）2﹣3x1?x2+1＝（2k+4）2﹣3（k2+2k）+1＝k2+10k+17＝（k+5）2﹣8，
当k≥﹣2时，（k+5）2﹣8的值随k的增大而增大，
∴k＝﹣2时，x12+x22﹣x1?x2+1的值最小为（﹣2+5）2﹣8＝1．
故选：C．
二．填空题
11．一元二次方程x（x+1）＝2（x+1）的解是
　x1＝﹣1，x2＝2　．
【分析】方程移项后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：x（x+1）﹣2（x+1）＝0，
分解因式得：（x+1）（x﹣2）＝0，
可得x+1＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝2．
故答案为：x1＝﹣1，x2＝2．
12．关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0有两个相同的实数根，则常数k的值等于
　7　．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4k＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0有两个相同的实数根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4（k+2）＝0，
∴36﹣4k﹣8＝0，
解得：k＝7，
故答案为：7．
13．如果一元二次方程x2﹣9＝0的两根分别是a，b，且a＞b，那么a的值是
　3　．
【分析】根据平方根的定义解方程x2﹣9＝0即可求得a．
【解答】解：解方程x2﹣9＝0，
移项得，x2＝9，
解得，x1＝3，x2＝﹣3，
因为a＞b，
所以a＝3，
故答案为：3．
14．若t是方程ax2+2x＝0（a≠0）的一个根，则Q＝（at+1）2的值为
　1　．
【分析】根据一元二次方程解的定义得到：at2+2t＝t（at+2）＝0，显然t＝0或at＝﹣2，然后代入求值即可．
【解答】解：∵t是方程ax2+2x＝0（a≠0）的一个根，
∴at2+2t＝t（at+2）＝0，
∴t＝0或at＝﹣2．
当t＝0时，Q＝（at+1）2＝（0+1）2＝1；
当at＝﹣2时，Q＝（at+1）2＝（﹣2+1）2＝1；
综上所述，Q＝（at+1）2的值为1．
故答案是：1．
15．根据a＝1，b＝10，c＝﹣15．可求得代数式的值为
　﹣5+2　．
【分析】先把a、b、c的值代入，再化简二次根式，然后约分即可；
【解答】解：∵a＝1，b＝10，c＝﹣15．
∴b2﹣4ac＝102﹣4×1×（﹣15）＝160，
∴＝＝＝﹣5+2，
故答案为﹣5+2．
三．解答题
16．解一元二次方程：
（1）（x﹣3）2＝18；
（2）3x（2x+1）＝4x+2．
【分析】（1）先变形为（x﹣3）2＝36，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先变形为3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）∵（x﹣3）2＝36，
∴x﹣3＝±6，
∴x1＝9，x2＝﹣3；
（2）3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0，
（2x+1）（3x﹣2）＝0，
2x+1＝0或3x﹣2＝0，
∴x1＝﹣，x2＝．
17．已知A＝16x2+4x，B＝4x+1，回答下列问题：
（1）求A+B，并将它因式分解；
（2）若A＝B，求满足条件的x的值．
【分析】（1）把A与B代入A+B，分解因式即可；
（2）令A＝B，求出方程的解即可得到x的值．
【解答】解：（1）∵A＝16x2+4x，B＝4x+1，
∴A+B＝16x2+4x+4x+1＝16x2+8x+1＝（4x+1）2；
（2）把A＝16x2+4x，B＝4x+1代入A＝B得：16x2+4x＝4x+1，
解得：x＝±．
18．今年4月23日，重庆光环购物公园盛大开业，它是国内首个“城市自然共同体”商业购物中心，其中室内植物园“沐光森林”深受大家的追捧．为了防止开业期间人流量爆棚，光环购物中心对“沐光森林”的参观实行预约制．工作人员每天早上8：00分别对“沐光森林”的B1层植物园和LG层风语步道这两个景点开放预约，每天两个景点共可预约1400人，其中B1层植物园3天的可预约总量等于LG层风语步道4天的可预约总量．
（1）B1层植物园和LG层风语步道每天各可预约多少人？
（2）考虑五一节假期游玩人数增多，工作人员决定从五月一日起，B1层植物园每天的可预约人数增加a%（其中a＞0），同时LG层风语步道每天可预约人数增加a%，与此同时，L2层的风语步道已完工并开放，那么从五月一日起两层风语步道每天可预约的总人数比LG层风语步道增加后的可预约人数还多4a%，最终整个“沐光森林”每天可预约的总人数比五一假期前每天可预约的总人数多了a%，求a的值．
【分析】（1）设B1层植物园每天可预约x人，则LG层风语步道每天可预约（1400﹣x）人，根据B1层植物园3天的可预约总量等于LG层风语步道4天的可预约总量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据整个“沐光森林”每天可预约的总人数比五一假期前每天可预约的总人数多了a%，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设B1层植物园每天可预约x人，则LG层风语步道每天可预约（1400﹣x）人，
依题意得：3x＝4（1400﹣x），
解得：x＝800，
∴1400﹣x＝1400﹣800＝600（人）．
答：B1层植物园每天可预约800人，LG层风语步道每天可预约600人．
（2）依题意得：800（1+a%）+600（1+a%）（1+4a%）＝1400（1+a%），
整理得：0.32a2﹣8a＝0，
解得：a1＝25，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值为25．
19．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若销售单价降低5元，那么平均每天销售数量为多少件？
（2）若该商店每天销售利润为1200元，问每件商品可降价多少元？
【分析】（1）利用平均每天的销售数量＝20+2×销售单价降低的价格，即可求出结论；
（2）设每件商品降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天销售数量为（20+2x）件，利用该商店每天销售该种商品的利润＝每件的销售利润×平均每天的销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合每件盈利不少于25元，即可确定x的值．
【解答】解：（1）20+2×5＝30（件）．
答：平均每天销售数量为30件．
（2）设每件商品降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天销售数量为（20+2x）件，
依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
当x＝10时，40﹣x＝30（元），30＞25，符合题意；
当x＝20时，40﹣x＝20（元），20＜25，不符合题意，舍去．
答：每件商品可降价10元．
20．阅读材料：我们知道，利用完全平方公式可将二次三项式a2±2ab+b2分解成（a±b）2，而对于a2+2a﹣3这样的二次三项式，则不能直接利用完全平方公式进行分解，但可先用“配方法”将其配成一个完全平方式，再利用平方差公式，就可进行因式分解，过程如下：a2+2a﹣3＝a2+2a+1﹣1﹣3＝（a+1）2﹣4＝（a+1+2）（a+1﹣2）＝（a+3）（a﹣1）．
请用“配方法”解决下列问题：
（1）分解因式：a2﹣6a+5．
（2）已知ab＝，a+2b＝3，求a2﹣2ab+4b2的值．
（3）若将4x2+12x+m分解因式所得结果中有一个因式为x+2，试求常数m的值．
【分析】（1）利用已知结合完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案；
（2）利用完全平方公式将a2﹣2ab+4b2进行因式分解，转化为含有ab＝，a+2b＝3的式子即可求解；
（3）设另一个因式为4x+n，将（x+2）（4x+n）展开，得出一次项的系数，继而求出m的值．
【解答】解：（1）a2﹣6a+5＝a2﹣6a+9﹣4＝（a﹣3）2﹣4＝（a﹣3+2）（a﹣3﹣2）＝（a﹣1）（a﹣5）；
（2）∵ab＝，a+2b＝3，
∴a2﹣2ab+4b2＝a2+4ab+4b2﹣6ab＝（a+2b）2﹣6ab＝32﹣6×＝；
（3）解法一：设另一个因式为4x+n，得4x2+12x+m＝（x+2）（4x+n），
则4x2+12x+m＝4x2+（n+8）x+2n，
∴，
解得n＝4，m＝8，
解法二：设另一个因式为4x+n，得4x2+12x+m＝（x+2）（4x+n），
∴当x＝﹣2时，4x2+12x+m＝（x+2）（4x+n）＝0，
即4×（﹣2）2+12×（﹣2）+m＝0，解得m＝8，