2021-2022学年 北师大版七年级数学上册《第2章 有理数及其运算》单元练习试卷（word版含解析）

第2章
有理数及其运算
一．选择题
1．若a为有理数且|a﹣1|＝4，则a的取值是（　　）
A．5
B．±5
C．5或﹣3
D．±3
2．据统计，某城市去年接待旅游人数约为89
000
000人，89
000
000这个数据用科学记数法表示为（　　）
A．8.9×106
B．8.9×105
C．8.9×107
D．8.9×108
3．有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列说法中正确的是（　　）
A．a＞b
B．﹣a＞b
C．|a|＞|b|
D．a+b＞0
4．现有以下四个结论：①绝对值等于其本身的有理数只有零；②相反数等于其本身的有理数只有零；③倒数等于它本身的有理数只有1；④﹣a一定是负数；⑤一个有理数不是整数就是分数．其中错误的有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．给出下列判断：①在数轴上，原点两旁的两个点所表示的数都是互为相反数；②任何正数必定大于它的倒数；③零减去一个数得这个数的相反数；④没有最小的有理数但有绝对值最小的数，其中判断正确的是（　　）
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
6．一天早晨的气温是﹣7℃，中午上升了11℃，半夜又下降了9℃，则半夜的气温是（　　）
A．4℃
B．﹣5℃
C．13℃
D．﹣13℃
7．如图是小明同学完成的作业，他做对的题数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
8．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”．如：2＝13﹣（﹣1）3，26＝33﹣13，2和26均为和谐数．那么，不超过2019的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　）
A．6858
B．6860
C．9260
D．9262
9．把有理数a代入|a+4|﹣10得到a1，称为第一次操作，再将a1作为a的值代入得到a2，称为第二次操作，…，若a＝23，经过第2020次操作后得到的是（　　）
A．﹣7
B．﹣1
C．5
D．11
10．已知有理数a，b，c满足a＜0＜b＜c，则代数式的最小值为（　　）
A．c
B．
C．
D．
二．填空题
11．一根长n米的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，则剩余的绳子长　
　米，如此剪下去，则剪到第六次后剩余的绳子长　
　米．
12．如果|x﹣3|＝5，那么x＝　
　．
13．在数轴上点P到原点的距离为5，且点P在原点的左边，则点P表示的数是　
　．
14．如果对于某一特定范围内的任意允许值，P＝|1﹣4x|+|1﹣5x|+|1﹣6x|+|1﹣7x|+|1﹣8x|的值恒为一常数，则此值为　
　．
15．对于一个运算a※b＝，已知|a|＝3，b＝2，那么a※b＝　
　．
三．解答题
16．计算：
（1）|﹣|÷（﹣）﹣×（﹣2）3；
（2）（﹣+）÷（﹣）．
17．（1）观察下面的变形规律：，，，…，则当n为正整数时，请你猜想＝　
　．
（2）若m为正整数，我们把称为单位分数，试把分解成两个单位分数之和．
（3）对于正整数x、y定义一种新运算“
”；x
y等于由x开始的连续y个正整数之和的倒数，比如，2
3＝，
①若x
12的等于，求x的值．
②计算：（1
2）+（1
3）+（1
4）+…+（1
47）．
18．本学期我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算．
定义：am与an（a≠0，m，n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作am÷an．
运算法则如下：am÷an＝．
根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题：
（1）填空：＝　
　，52÷54＝　
　；
（2）如果x＞0，且2x+4÷，求出x的值；
（3）如果（x﹣2）2x+2÷（x﹣2）x+7＝1，请直接写出x的值．
19．为全力迎接全国第十四届运动会，西安市将继续加快交通高质量发展，不断增强市民获得感和幸福感．某检修小组从O地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下，（单位：km）
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
﹣4
+7
﹣9
+8
+6
﹣5
﹣1
（1）求收工时距O地多远？
（2）在第几次记录时距O地最远？
（3）若每千米耗油0.2升，问共耗油多少升？
20．如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）．
（1）当t＝0.5时，求点Q到原点O的距离；
（2）当t＝2.5时求点Q到原点O的距离；
（3）当点Q到原点O的距离为4时，求点P到原点O的距离．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．若a为有理数且|a﹣1|＝4，则a的取值是（　　）
A．5
B．±5
C．5或﹣3
D．±3
【分析】依据绝对值的定义得到a﹣1＝±4，故此可求得a的值．
【解答】解：∵|a﹣1|＝4，
∴a﹣1＝4或a﹣1＝﹣4，
解得：a＝5或a＝﹣3．
故选：C．
2．据统计，某城市去年接待旅游人数约为89
000
000人，89
000
000这个数据用科学记数法表示为（　　）
A．8.9×106
B．8.9×105
C．8.9×107
D．8.9×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：89
000
000这个数据用科学记数法表示为8.9×107．
故选：C．
3．有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列说法中正确的是（　　）
A．a＞b
B．﹣a＞b
C．|a|＞|b|
D．a+b＞0
【分析】根据有理数a，b在数轴上对应点的位置，可知，a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，再根据有理数加法的计算方法得出答案．
【解答】解：根据有理数a，b在数轴上对应点的位置，可知，a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，
∴a+b＞0，
故选：D．
4．现有以下四个结论：①绝对值等于其本身的有理数只有零；②相反数等于其本身的有理数只有零；③倒数等于它本身的有理数只有1；④﹣a一定是负数；⑤一个有理数不是整数就是分数．其中错误的有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】依据绝对值、相反数、倒数、有理数的分类进行判断即可．
【解答】解：①绝对值等于其本身的有理数是非负数，错误；
②相反数等于其本身的有理数只有零，正确；
③倒数等于它本身的有理数有±1，错误；
④﹣a只有当a＞0时才表示负数，当a＝0时是0，当a＜0时表示一个正数，错误；
⑤整数和分数统称有理数，正确；
错误的有①③④共3个；
故选：C．
5．给出下列判断：①在数轴上，原点两旁的两个点所表示的数都是互为相反数；②任何正数必定大于它的倒数；③零减去一个数得这个数的相反数；④没有最小的有理数但有绝对值最小的数，其中判断正确的是（　　）
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
【分析】根据相反数的定义，倒数的定义以及有理数的减法运算法则对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：①应为在数轴上，原点两旁的到原点距离相等的两个点所表示的数都是互为相反数，故本小题错误；
②任何正数必定大于它的倒数，错误，例如1等于它的倒数1；
③零减去一个数得这个数的相反数，正确；
④没有最小的有理数但有绝对值最小的数，正确；
综上所述，判断正确的是③④．
故选：C．
6．一天早晨的气温是﹣7℃，中午上升了11℃，半夜又下降了9℃，则半夜的气温是（　　）
A．4℃
B．﹣5℃
C．13℃
D．﹣13℃
【分析】根据题意列式计算求解．
【解答】解：由题意可得：﹣7+11﹣9＝11﹣7﹣9＝4﹣9＝﹣5（℃），
故选：B．
7．如图是小明同学完成的作业，他做对的题数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】各式利用有理数的除法，减法法则，相反数，绝对值，以及倒数的性质判断即可．
【解答】解：﹣的相反数是，
﹣1的倒数是﹣1，
绝对值等于它本身的数是非负数，
（　　）﹣7＝﹣3，则括号内的数为4，
（﹣3）÷（﹣）＝9，
则判断错误的个数为3，做对的是2，
故选：B．
8．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”．如：2＝13﹣（﹣1）3，26＝33﹣13，2和26均为和谐数．那么，不超过2019的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　）
A．6858
B．6860
C．9260
D．9262
【分析】由（2n+1）3﹣（2n﹣1）3＝24n2+2≤2019，可得n2≤，再根据和谐数为正整数，得到0≤n≤9，可得在不超过2019的正整数中，“和谐数”共有10个，依此列式计算即可求解．
【解答】解：由（2n+1）3﹣（2n﹣1）3＝24n2+2≤2019，可得n2≤，
∵和谐数为正整数，
∴0≤n≤9，
则在不超过2019的正整数中，所有的“和谐数”之和为13﹣（﹣1）3+33﹣13+53﹣33+…+193﹣173＝193﹣（﹣1）3＝6860．
故选：B．
9．把有理数a代入|a+4|﹣10得到a1，称为第一次操作，再将a1作为a的值代入得到a2，称为第二次操作，…，若a＝23，经过第2020次操作后得到的是（　　）
A．﹣7
B．﹣1
C．5
D．11
【分析】先确定第1次操作，a1＝|23+4|﹣10＝17；第2次操作，a2＝|17+4|﹣10＝11；第3次操作，a3＝|11+4|﹣10＝5；第4次操作，a4＝|5+4|﹣10＝﹣1；第5次操作，a5＝|﹣1+4|﹣10＝﹣7；第6次操作，a6＝|﹣7+4|﹣10＝﹣7；…，后面的计算结果没有变化，据此解答即可．
【解答】解：第1次操作，a1＝|23+4|﹣10＝17；
第2次操作，a2＝|17+4|﹣10＝11；
第3次操作，a3＝|11+4|﹣10＝5；
第4次操作，a4＝|5+4|﹣10＝﹣1；
第5次操作，a5＝|﹣1+4|﹣10＝﹣7；
第6次操作，a6＝|﹣7+4|﹣10＝﹣7；
第7次操作，a7＝|﹣7+4|﹣10＝﹣7；
…
第2020次操作，a2020＝|﹣7+4|﹣10＝﹣7．
故选：A．
10．已知有理数a，b，c满足a＜0＜b＜c，则代数式的最小值为（　　）
A．c
B．
C．
D．
【分析】利用a、b、c的大小关系，当＜＜，由于＝|x﹣|+|x﹣|+|x﹣|，根据绝对值的定义，代数式的值可表示为在数轴上，数x对应的点到三个数、、对应的点的距离之和，然后利用当x＝时，数x对应的点到三个数、、对应的点的距离之和最小，从而得到代数的最小值，当＜＜时，即2b﹣a＞3c，同理可得此时的最小值为，然后比较两种情况的最小值即可．
【解答】解：∵a＜0＜b＜c，
∴当＜＜，
∵＝|x﹣|+|x﹣|+|x﹣|，
∴表示为在数轴上，数x对应的点到三个数、、对应的点的距离之和，如图，
当x＝时，数x对应的点到三个数、、对应的点的距离之和最小，最小值为﹣＝c，
当＜＜时，即2b﹣a＞3c，同理可得此时的最小值为﹣＝，
∵＞c，
∴代数式的最小值为c．
故选：A．
二．填空题
11．一根长n米的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，则剩余的绳子长　　米，如此剪下去，则剪到第六次后剩余的绳子长　　米．
【分析】一根长n米的绳子，第一次剪去一半，则剩余的绳子长n米，第二次剪去剩下的一半，则剩余的绳子长（）2n米，如此剪下去，则剪到第六次后剩余的绳子长（）6n米，即米．
【解答】解：∵第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，
∴剩余的绳子长＝（）2n＝米，
以此类推，剪到第六次后剩余的绳子长（）6n米，即米．
故答案为：，．
12．如果|x﹣3|＝5，那么x＝　8或﹣2　．
【分析】根据绝对值的性质可得求出x﹣3＝±5，从而求出x的值．
【解答】解：∵|x﹣3|＝5，
∴x﹣3＝±5，
解得x＝8或﹣2．
故答案为：8或﹣2．
13．在数轴上点P到原点的距离为5，且点P在原点的左边，则点P表示的数是　﹣5　．
【分析】由数轴上的点到原点距离，绝对值的几何意义求出符合条件的数为﹣5．
【解答】解：设点P在数轴上对应的数为x，
依题意得：|x|＝5，
解得：x＝5或x＝﹣5，
又∵点P在原点的左边，
∴x＝﹣5，
故答案为﹣5．
14．如果对于某一特定范围内的任意允许值，P＝|1﹣4x|+|1﹣5x|+|1﹣6x|+|1﹣7x|+|1﹣8x|的值恒为一常数，则此值为　1　．
【分析】由于P＝|1﹣4x|+|1﹣5x|+|1﹣6x|+|1﹣7x|+|1﹣8x|的值恒为一常数，即P的值与x
无关，因此化简后就不含有x项，根据绝对值的化简得出答案即可．
【解答】解：∵P＝|1﹣4x|+|1﹣5x|+|1﹣6x|+|1﹣7x|+|1﹣8x|的值恒为一常数，
∴P的值与x
无关，
即，化简绝对值后就不含有x项，也就是去掉绝对值号以后，x项的系数之和为0，
又∵﹣4﹣5﹣6+7+8＝0，
∴1﹣4x＞0，1﹣5x＞0，1﹣6x＞0而1﹣7x＜0，1﹣8x＜0，
即＜x＜，
此时P＝1﹣4x+1﹣5x+1﹣6x+7x﹣1+8x﹣1＝1，
故答案为：1．
15．对于一个运算a※b＝，已知|a|＝3，b＝2，那么a※b＝　±1　．
【分析】先根据绝对值的性质得出a的值，再分别代入相应公式，列式计算即可．
【解答】解：∵|a|＝3，b＝2，
∴a＝3或a＝﹣3，
当a＝3，b＝2时，a＞b，此时a※b＝3﹣2＝1；
当a＝﹣3，b＝2时，a＜b，此时a※b＝﹣3+2＝﹣1；
综上，a※b＝±1，
故答案为：±1．
三．解答题
16．计算：
（1）|﹣|÷（﹣）﹣×（﹣2）3；
（2）（﹣+）÷（﹣）．
【分析】（1）首先计算乘方，然后计算乘法、除法，最后计算减法，求出算式的值是多少即可．
（2）应用乘法分配律，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（1）|﹣|÷（﹣）﹣×（﹣2）3
＝÷（﹣）﹣×（﹣8）
＝﹣2+1
＝﹣1．
（2）（﹣+）÷（﹣）
＝×（﹣24）﹣×（﹣24）+×（﹣24）
＝﹣16+18﹣4
＝﹣2．
17．（1）观察下面的变形规律：，，，…，则当n为正整数时，请你猜想＝　　．
（2）若m为正整数，我们把称为单位分数，试把分解成两个单位分数之和．
（3）对于正整数x、y定义一种新运算“
”；x
y等于由x开始的连续y个正整数之和的倒数，比如，2
3＝，
①若x
12的等于，求x的值．
②计算：（1
2）+（1
3）+（1
4）+…+（1
47）．
【分析】（1）根据题目中的式子，可以写出相应的猜想；
（2）根据题意和（1）中的结果可以把分解成两个单位分数之和；
（3）①根据题意，可以列出相应的方程，从而可以求得x的值；
②根据题意和式子的特点，拆项，然后计算即可．
【解答】解：（1）由题目中的式子可得，
＝，
故答案为：；
（2）由（1）可知，
＝，
∴＝，
∴，
∴，
即把分解成两个单位分数之和是：；
（3）①∵x
12的等于，
∴＝，
∴x+（x+1）+（x+2）+…+（x+11）＝210，
解得x＝12；
②（1
2）+（1
3）+（1
4）+…+（1
47）
＝
＝+++…+
＝2×（+…+）
＝2×（）
＝2×
＝．
18．本学期我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算．
定义：am与an（a≠0，m，n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作am÷an．
运算法则如下：am÷an＝．
根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题：
（1）填空：＝　　，52÷54＝　　；
（2）如果x＞0，且2x+4÷，求出x的值；
（3）如果（x﹣2）2x+2÷（x﹣2）x+7＝1，请直接写出x的值．
【分析】（1）根据同底数幂的除法法则计算可得；
（2）根据同底数幂的除法法则列出方程：x+1＝3，解之可得；
（3）分三种情况：①非零数零指数幂等于1；②1的任何次乘方都等于1；③﹣1的偶次乘方等于1可得．
【解答】解：（1）＝，52÷54＝＝，
故答案为：，；
（2）因为x＞0，
所以x+4＜2x+5，
，
，
所以x+1＝3，
解得x＝2；
（3）由题意知，①2x+2﹣（x+7）＝0，
解得：x＝5；
②x﹣2＝1，
解得：x＝3；
③x﹣2＝﹣1且2x+2与x+7为偶数，
解得：x＝1；
综上，x＝5，x＝3，x＝1．
19．为全力迎接全国第十四届运动会，西安市将继续加快交通高质量发展，不断增强市民获得感和幸福感．某检修小组从O地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下，（单位：km）
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
﹣4
+7
﹣9
+8
+6
﹣5
﹣1
（1）求收工时距O地多远？
（2）在第几次记录时距O地最远？
（3）若每千米耗油0.2升，问共耗油多少升？
【分析】（1）首先把题目的已知数据相加，然后根据结果的正负即可确定相距O多少千米；
（2）分别写出各次记录时距离O地的距离，然后判断即可；
（3）首先把所给的数据的绝对值相加，然后乘以0.2升，即可求解．
【解答】解：（1）﹣4+7+（﹣9）+8+6+（﹣5）+（﹣1）＝2（千米）．
答：收工时检修小组在O地东面2千米处；
（2）第一次距O地|﹣4|＝4千米；
第二次：|﹣4+7|＝3（千米）；
第三次：|3﹣9|＝|﹣6|＝6（千米）；
第四次：|﹣6+8|＝2（千米）；
第五次：|2+6|＝8（千米）；
第六次：|8﹣5|＝3（千米）；
第七次：|3﹣1|＝2（千米）．
所以距O地最远的是第5次；
（3）从出发到收工汽车行驶的总路程：|﹣4|+|+7|+|﹣9|+|+8|+|+6|+|﹣5|+|﹣1|＝40；
从出发到收工共耗油：40×0.2＝8（升）．
答：从出发到收工共耗油8升．
20．如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）．
（1）当t＝0.5时，求点Q到原点O的距离；
（2）当t＝2.5时求点Q到原点O的距离；
（3）当点Q到原点O的距离为4时，求点P到原点O的距离．
【分析】（1）当t＝0.5时，先计算AQ，小于8，则用8减去AQ即可得OQ；
（2）当t＝2.5时，点Q运动的距离大于8，则用点Q运动的数值减去8即可；
（3）当点Q到原点O的距离为4时，分两种情况：Q向左运动时，Q向右运动时，分别计算即可．
【解答】解：（1）当t＝0.5时，AQ＝4t＝4×0.5＝2
∵OA＝8
∴OQ＝OA﹣AQ＝8﹣2＝6
∴点Q到原点O的距离为6；
（2）当t＝2.5时，点Q运动的距离为4t＝4×2.5＝10
∵OA＝8
∴OQ＝10﹣8＝2
∴点Q到原点O的距离为2；
（3）当点Q到原点O的距离为4时，
∵OQ＝4
∴Q向左运动时，OA＝8，则AQ＝4
∴t＝1
∴OP＝2；
Q向右运动时
OQ＝4
∴Q运动的距离是8+4＝12
∴运动时间t＝12÷4＝3
∴OP＝2×3＝6
∴点P到原点O的距离为2或6．