平面向量的数量积

§2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
【学习目标】
1、理解平面向量数量积的含义及其物理、几何意义；
2、会求平面向量的数量积与向量在方向上的投影；
3、掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会进行简单应用。
【学习重点】 平面向量数量积的定义、 几何意义、 性质及运算律。
【学习难点】平面向量数量积性质及运算律的探究及应用。
【基础过关】
1．两个向量的数量积的定义：已知两个_________与，它们的夹角为θ，则数量 叫做与的数量积（或内积），记作·，即·＝ ．
规定：零向量与任一向量的数量积为_________．
2．向量的数量积的几何意义：
向量在方向上的投影为________(θ是向量与的夹角)公式______________．
向量在方向上的投影为_______(θ是向量与的夹角) 公式______________．
当_______时投影为正值;当_______时投影为负值;当为_______时投影为0.
·的几何意义是，数量·等于 ．
3．向量数量积的性质：设、都是非零向量，θ是与的夹角．
（1） ⊥
（2） 当与同向时，·＝ ；当与反向时，·＝ ．
特别地，2=·=______，||=________.
（3） cosθ＝ ．
（4） |·|≤ .
5．向量数量积的运算律：
⑴ ·＝ ；⑵ (λ)·＝ ＝________.
⑶ (＋)·＝
【典型例题】
例1．已知向量与向量的夹角为，││=5，││=4，
求（1）· （2）在方向上的投影 （3）在方向上的投影
例2．证明：①(＋)２＝２＋２·＋２ ②(＋)(-)=２-２
例3．已知││=6，││=4，与的夹角为60o求：(+2)·(-3).
变式1：已知││=6，││=4，与的夹角为60o求│+2│.
变式:2： 已知││=6，││=4, 若(+2)·(-3) =-48，求与的
夹角
例4．已知││=3，││=4，且与不共线，k为何值时，向量+k与-k互相垂直.
变式3：已知││=3，││=4，且与不共线，k为何值时，向量+k与-k夹角为钝角。
【巩固训练】
1、判断正误，并简要说明理由
(1)若=,则对任意向量,有·=0
(2)若≠,则对任意非零向量,有·≠0
(3)若≠,且·=0,则=
(4)若·=0,则=或=
(5)对任意向量有2=││2
(6)若≠且·=·,则=
2、菱形ABCD中，角A等于60°， AB=2,求下列各数量积.
（1）· （2）· （3）·
3、已知△ABC中=，=，当·<0,或·=0时，试判断△ABC的
形状。
4、已知||=8，||=6，与的夹角60°，则│2+│________；
5、已知││=4， 在上的投影是││，则·=___________；
6、已知||=10,| |=12，且(3)·()，则与的夹角是_____
7、已知||=2,| |=，与的夹角为，要使-与垂直，则
8、已知||=4,| |=3,（1）若与夹角为，求(+2)·(-3)；
（2）若(2-3)·(2+)=61，求与的夹角。
【能力提升】
1、已知||=,||=3，和的夹角为，求当向量+与+的夹角为锐角时的取值范围。
2、已知，是非零向量，且满足（-2）⊥，（-2）⊥，求与的
夹角。
【课堂小结】
【收获感悟】