6.1.3 相等向量与共线向量-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册练习（Word含答案解析）

相等向量与共线向量练习
一、单选题
下列说法中错误的是(? ? )
A. 零向量没有方向 B. 零向量与任何向量平行
C. 零向量的长度为零 D. 零向量的方向是任意的
已知向量AB=a+3b，BC=5a+3b，CD=?3a+3b，则(??? )
A. A，B，C三点共线 B. A，B，D三点共线
C. A，C，D三点共线 D. B，C，D三点共线
下列说法正确的是
A. a//b，b?//c，则a//c
B. 起点相同的两个非零向量不平行
C. 若∣a+b∣=∣a∣+∣b∣，则a与b必共线
D. 若a//b，则a与b的方向相同或相反
设a，b是非零向量，则“a，b共线”是“|a+b|=|a|+|b|”的(????)
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
若|AB|=|AD|且BA=CD，则四边形ABCD的形状为(? ? ? )
A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 等腰梯形
在△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，则DE+FC等于??? (? ? ? )
A. AB B. BC C. AC D. AE
如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF//AB，则下列等式中成立的是(? ? ? ?)
A. AD=BC
B. AC=BD
C. PE=PF
D. EP=PF
已知e1≠0，a=e1+λe2(λ∈R)，b=2e1，则a与b共线的条件为(? ? )
A. λ=0 B. e2=0
C. e1//e2 D. e1//e2或λ=0
给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a=b；③向量AB与BA相等．则所有正确命题的序号是(????)
A. ① B. ③ C. ①③ D. ①②
如图在梯形ABCD中，BC=2AD，DE=EC，设BA=a,BC=b，则BE=??? (??? )
A. 12a+14b
B. 13a+56b
C. 23a+23b
D. 12a+34b
如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是(? ?)
A. AB=DC B. AD+AB=AC
C. AB?AD=BD D. AD+CB=0
A，B，C是平面上不共线的三点，O是的重心，动点P满足OP=13(12OA+12OB+2OC)，则点P一定为(? ? ? ? )
A. AB边中线的中点 B. AB边中线的三等分点(非重心)
C. BC边中线的中点 D. AB边的中点
若向量a，b不共线，且a+mb与(b?2a)共线，则实数m的值为(????)
A. 12 B. ?12 C. 2 D. ?2
二、单空题
若e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，向量a=2e1+e2，则|a|=______．
给出以下五个条件：①a=b；②|a|=|b|；③a与b的方向相反；④|a|=0或|b|=0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a//b成立的是_________.(填写所有正确的序号)
已知平面向量a=(1,2)，b=(?2,m)，且a//b，则2a+3b=? ? ? ?．
已知向量a，b不共线，若向量ka+b与a+2b平行，则实数k=______．
已知m，n均为正数，，，且，则的最小值为____．
三、解答题
如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，根据图中所标出的向量回答下列问题．
(1)分别写出与AO，BO相等的向量；
(2)写出与AO共线的向量；
(3)写出与AO模相等的向量
O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中：
(1)分别找出与AO，BO相等的向量；
(2)找出与AO共线的向量；
(3)找出与AO模相等的向量；
(4)向量AO与CO是否相等？
在直角梯形ABCD中，已知AB?//CD，∠DAB=90°，AB=6，AD=CD=3，对角线AC交BD于点O，点M在AB上，且OM⊥BD．
(1)求AM?BD的值；
(2)若N为线段AC上任意一点，求AN?MN的取值范围．
已知点O(0,0)，A(2,1)，B(3,4)，且OM=OA+tAB．
??? (1)若点M在第四象限，求实数t的取值范围；
??? (2)四边形OABM能否为平行四边形?若能，求出相应t的值；若不能，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解答】
解：据零向量的定义：模为零的向量为零向量判断出C对，
对零向量的规定：零向量的方向是任意的；零向量与任何向量平行，
判断出B，D对，判断出A错，
2.【答案】B
【解答】解：∵BD=BC+CD=2a+6b=2(a+3b)=2AB，
∴BD，AB共线，且有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
3.【答案】C
【解答】
解：当b=0时，a//b，b//c，但a//c不一定成立，A错；
起点相同的两个非零向量当他们方向相同或相反时，一定平行，B错；
若∣a+b∣=∣a∣+∣b∣，即a与b必共线，C对；
若a//b，若其中有一个为零向量，不一定成立，D错．
4.【答案】B
【解答】
解：“|a+b|=|a|+|b|”?“a，b共线”，反之不成立，例如a=?b≠0．
∴a，b是非零向量，则“a，b共线”是“|a+b|=|a|+|b|”的必要不充分条件．
5.【答案】C
【解答】
解：四边形ABCD中，
∵BA=CD，
∴BA//CD，且BA=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
又|AB|=|AD|，
∴平行四边形ABCD是菱形；
6.【答案】C
【解答】解：∵D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，
∴DE//AF且DE=AF，
∴DE =AF，
∴DE +FC =AF +FC =AC ．
7.【答案】D
【解答】
解：根据相等向量的定义，
A中，AD与BC的方向不同，故A错误；
B中，AC与BD的方向不同，故B错误；
C中，PE与PF的方向相反，故C错误；
D中，EP与PF的方向相同，且长度都等于线段EF长度的一半，故D正确．
8.【答案】D
【解答】解：若a，b共线，则存在m，使a=mb，即e1+λe2=2me1，
所以当a，b共线时，有λ=0或e1//e2．
9.【答案】A
【解答】
解：根据零向量的定义可知①正确；
根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；
向量AB与BA互为相反向量，故③错误．
10.【答案】D
【解答】
解：取BC中点F，连接FA，
因为在梯形ABCD中，BC=2AD，所以四边形ADCF是平行四边形，
所以FA//CD，FA=CD，
则BE=BC+CE=BC+12CD=BC+12FA?
=BC+12(BA?BF)=BC+12(BA?12BC)?
=12BA+34BC=12a+34b．
11.【答案】C
【解答】
解：因为AB=DC，
所以A正确；
因为AD+AB=AC，
所以B正确；
因为AB?AD=DB
所以C错；
因为AD与CB为相反向量，
所以D正确．
12.【答案】B
【解答】
解：如图所示：设AB，BC，AC的中点分别是是E，D，F．
∵O是三角形ABC的重心，
∵OP=13(12OA+12OB+2OC)=13(OE+2OC)，
∵2EO=OC，
∴OP=13×(4EO+OE)=EO
∴P在AB边的中线上，是中线的三等分点，不是重心．
13.【答案】B
【解析】解：∵a,b不共线，
∴b?2a≠0，
又a+mb与b?2a共线，
∴存在实数k，使a+mb=k(b?2a)，
∴?2k=1m=k，解得m=?12．
14.【答案】7
【解答】
解：e1?e2=12，e12=e22=1，
∴a2=(2e1+e2)2
=4e12+4e1?e2+e22=4+2+1=7，
∴|a|=7．
故答案为7．
15.【答案】①③④
【解答】解：共线向量指的是方向相同或相反的向量，它只涉及方向，不涉及大小．显然只有①③④满足题意．
16.【答案】(?4,?8)
【解答】
解：∵a//b，∴??21=m2,
m=?4,b=(?2,?4)，
2a+3b=(2,4)+(?6,?12)=(?4,?8)．
故答案为(?4,?8)．
17.【答案】12
【解析】解：∵向量ka+b与a+2b平行，
∴存在实数λ使得：ka+b=λ(a+2b)，
∵向量a，b不共线，∴k=λ1=2λ，
解得k=12．
故答案为：12．
18.【答案】4
【解答】
解：∵m，n均为正数，a=(1,m)，b=(2,1?n)，且a//b，
∴1?n=2m，故2m+n=1．
∴1m+mn=2m+nm+mn=2+nm+mn≥2+2nm·mn=4，当且仅当m=n?时等号成立，
故1m+mn的最小值为4．
故答案为：4．
19.【答案】解：(1)由正方形的性质可知：AO=BF，BO=AE
??????? (2)与AO共线的向量是CO,BF,DE
??????? (3)因为AO=1，所以与AO模相等的向量CO,BF,DE,AE,BO,DO,CF．
20.【答案】解：(1)AO=BF?，BO=AE
(2)与AO?共线的向量有：BF?，CO?，DE?．
(3)与AO?模相等的向量有：CO?，DO?，BO?，BF?，CF?，AE?，DE?．
(4)向量AO?与CO?不相等，因为它们的方向不相同．
21.【答案】解：(1)因为∠DAB=90°，
所以以A为坐标原点，AB、AD分别为x、y轴，建立平面直角坐标系如下图：
因为AB?//CD，AB=6，AD=CD=3，
所以A0,0，B6,0，C3,3，D0,3．
又因为对角线AC交BD于点O，
所以由AO=tAC得AO=3t,3t，即O3t,3t，
因此DO=3t,3t?3，DB=6,?3，
而DO//DB，所以?3×3t?6×3t?3=0，解得t=23，
因此O2,2．
又因为点M在AB上，所以设Mm,0，
因此OM=m?2,?2，BD=?6,3，
而OM⊥BD，所以OM·BD=?6m?2?6=0，
解得m=1，即M1,0，
因此AM=1,0，而BD=?6,3，
所以AM?BD=?6，
即AM?BD的值为?6；
(2)因为N为线段AC上任意一点，
所以由(1)知：可设Nn,n0?n?3(包括端点)，
因此AN=n,n，MN=n?1,n，
所以AN?MN=nn?1+n2=2n2?n．
因为函数y=2n2?n的图象开口上，对称轴为n=14，
而0?n?3，
所以函数y=2n2?n的值域为?18,15，
即AN?MN的取值范围是?18,15．
22.【答案】解(1)∵?OM=OA+tAB=(2,?1)+t(1?,?3)=(2+t?,?1+3t)?，
∴点M?(2+t?,?1+3t)．
∵点M在第四象限，∴2+t>01+3t<0，解得?2所以实数t的取值范围为(?2,?13)．
(2)不能．
若OABM为平行四边形，则OA=MB，
∵OA=(2,1)，MB=(1?t,3?3t)，
∴2=1?t1=3?3t，此方程组无解，
所以OABM不能是平行四边形．