三角恒等变换单元检测A卷-2020-2021学年高一下学期数学苏教版(2019)必修第二册word含答案解析

单元检测二　三角恒等变换(A卷)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1.
计算2sin275°－1的结果是(　　)
A.
－　　
B.
　
C.
－　
D.
2.
计算cos
80°cos
130°－sin
100°sin
130°的结果是(　　)
A.
－　　
B.
　　
C.
－　
D.
3.
设α为锐角，若cos(α＋)＝，则sin(α－)的值为(　　)
A.
　　
B.
－　　
C.
　
D.
－
4.
已知sin
α＝cos
2α，α∈(，π)，则tan
α的值为(　　)
A.
－　　
B.
　　
C.
－　
D.
5.
设a＝(1，2sin
θ)，b＝(5cos
θ，3)．若a⊥b，则tan(θ＋)的值为(　　)
A.
　　
B.
－　　
C.
　
D.
－
6.
已知0<α<<β<π，cos
α＝，sin(α＋β)＝－，则cos
β的值为(　　)
A.
－　　
B.
　　
C.
－　
D.
7.
已知3cos(2α＋β)＋5cos
β＝0，则tan(α＋β)tanα的值为(　　)
A.
±4　　
B.
4
　　
C.
－4　　
D.
1
8.
设直线x＝α，α∈(0，)与函数f(x)＝sin
x和g(x)＝cos
x的图象分别交于M，N两点．若MN＝，则线段MN中点的纵坐标为(　　)
A.
B.
－
C.
　
D.
－
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9.下列四个选项，化简正确的是（
）
A.cos(－15°)=
B.cos
15°cos
105°＋sin
15°sin
105°＝cos(15°－105°)=0
C.cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos
60°＝.
D.sin
14°cos
16°＋sin
76°cos
74°＝.
10.下列说法中错误的是
A．存在这样的和的值,使得
B．不存在无穷多个和的值,使得
C．对任意的和,有
D．存在这样的和的值,使得
11.对于函数，给出下列选项其中不正确的是（
）
A．函数的图象关于点对称
B．存在，使
C．存在，使函数的图象关于y轴对称
D．存在，使恒成立
12.下列选下选项中，值为的是（
）
A．2cos
72°cos
36°
B．sinsin
C．＋.
D．－cos215°；
二、
填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.
函数f(x)＝sin2(2x－)的最小正周期是________.
14.
已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan
α＝________.
15.
如图，角α的顶点在坐标原点O处，始边在y轴的正半轴上，终边经过点P(－3，－4)．角β的顶点在坐标原点O处，始边在x轴的正半轴上，终边OQ落在第二象限，且tan
β＝－2，则cos∠POQ
的值为________.
16.
定义行列式的运算：＝a1b2－a2b1，若将函数f(x)＝的图象向左平移t(t＞0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则t的最小值为________.
三、
解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.
(本小题满分10分)
已知α，β∈(0，π)，且tan
α＝2，cos
β＝－.
(1)
求cos
2α的值；
(2)
求2α－β的值.
18.(本小题满分12分)
已知0＜α＜＜β＜π，cos(β－)＝，sin(α＋β)＝.
求sin
2β的值；
(2)
求cos(α＋)的值.
19.
(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝2sincos－(cos2－sin2).
(1)
求函数f(x)的最大值并求出此时x的值；
(2)
若f(x)＝0，求的值.
20.(本小题满分12分)
已知a＝(cos
α，sin
α)，b＝(cos
β，sin
β)，且|a－b|＝.
求sin(－α)cos(2π－β)－sin(π＋α)cos(β－)的值；
(2)
若cos
α＝，且0＜β＜α＜，求β的值.
21.
(本小题满分12分)
如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB＝1，BC＝2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC.
(1)
设∠MOD＝30°，求三角形铁皮PMN的面积；
(2)
设∠MOD＝θ，将三角形铁皮PMN的面积表示成关于角θ的函数，并求其最大值.
22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝2sin
xcos
x＋2cos2x－＋2.
(1)
求函数f(x)的对称轴方程；
(2)
当x∈(0，)时，若函数g(x)＝f(x)＋m有零点，求m的取值范围；
(3)
若f(x0)＝，x0∈(，)，求sin
2x0的值.
单元检测二
三角恒等变换(A卷)
1.
B　解析：2sin275°－1＝－cos
150°＝.
2.
A　解析：cos
80°cos
130°－sin
100°·sin
130°＝cos
80°cos
130°－sin
80°sin
130°＝cos(80°＋130°)＝cos
210°＝－.
3.
D　解析：sin(α－)＝sin(α＋－)＝[sin(α＋)－cos(α＋)]．
∵
0<α<，cos(α＋)＝，∴
<α＋<，∴
sin＝，
∴
sin＝×＝－.
4.
C　解析：∵
sin
α＝cos
2α＝1－2sin2α，
∴
2sin2α＋sin
α－1＝0，∴
sin
α＝或sin
α＝－1.∵
<α<π，∴
sin
α＝，∴
α＝，∴
tan
α＝－.
5.
A　解析：∵
a⊥b，∴
a·b＝5cos
θ＋6sin
θ＝0，解得tan
θ＝－，
∴
tan＝＝＝.
6.
A　解析：∵
0＜α＜，＜β＜π，∴
＜α＋β＜.∴
sin
α＝，cos(α＋β)＝－，∴
cos
β＝cos
[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α＝×＋×＝－.
7.
C　解析：∵
3cos(2α＋β)＋5cos
β＝3cos(α＋β)cos
α－3sin(α＋β)sin
α＋5cos(α＋β)cos
α＋5sin(α＋β)sin
α＝0，∴
2sin(α＋β)sin
α＝－8cos(α＋β)cos
α，∴
tan(α＋β)tan
α＝－4.
8.
A　解析：由题意知MN＝|cos
α－sin
α|＝?1－2sin
αcos
α＝?2sin
αcos
α＝.∵
α∈，∴
cos
α＋sin
α＝＝＝＝，
∴
线段MN中点的纵坐标为.
9.B，C，D【解析】对于A：方法一　原式＝cos(30°－45°)＝cos
30°cos
45°＋sin
30°sin
45°＝×＋×＝，A错误
方法二　原式＝cos
15°＝cos(45°－30°)＝cos
45°cos
30°＋sin
45°sin
30°＝×＋×＝.
对于B：原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos
90°＝0，B正确
对于C：原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos
60°＝.
对于D：原式＝cos
76°cos
16°＋sin
76°sin
16°＝cos(76°－16°)＝cos
60°＝.故选B，C，D.
10.A，C，D
【解析】对于A，当时，，故正确
对于B，当时，
则，故错误
对于C，对任意的和，有，这是两角和的余弦公式，故正确
对于D，当，当时使得，故正确，故选A，C，D
11.A，B，D
【解析】函数2sin（x），
对于A：函数f（x）＝2sin（x）,当x=时，2sin（）＝2，不能得到函数的图象关于点对称．∴A不对．
对于B：，可得α∈（），，不存在；∴B不对．
对于C：函数的对称轴方程为：x，可得，当k＝0,时，可得图象关于y轴对称．∴C对．
对于D：f（x+α）＝f（x+3α）说明2α是函数的周期，函数f（x）的周期为2π，故α＝π，∴不存在，使恒成立，∴D不对．故选A，B，D．
12.A，B
【解析】对于A中cos
36°cos
72°＝＝＝＝.
对于B中sin
sin
＝sin
cos
＝＝＝.
对于C中原式＝＝＝＝＝4.
对于D中－cos215°＝－(2cos215°－1)＝－cos
30°＝－，故选A，B.
13.
　解析：∵
f(x)＝[1－cos(4x－)]＝－sin
4x，∴
T＝＝.
14.
1　解析：∵
cos(α＋β)＝sin(α－β)，∴
cos
αcos
β－sin
αsin
β＝sin
αcos
β－cos
αsin
β，∴
cos
α(sin
β＋cos
β)＝sin
α·(cos
β＋sin
β).
∵
α，β均为锐角，∴
sin
β＋cos
β≠0，∴
cos
α＝sin
α，∴
tan
α＝1.
15.
－　解析：如图，tan
β＝tan(π－θ1)＝－tan
θ1＝－2，∴
tan
θ1＝2，tan
θ2＝.∴
tan
∠POQ＝＝－2.
∵
<∠POQ<π，∴
cos
∠POQ＝－.
16.
　解析：由题意知f(x)＝cos
x－sin
x＝2cos，平移后得到函数y＝2cos(x＋＋t)，则由题意，得＋t＝kπ，k∈Z，t＝kπ－，k∈Z.因为t＞0，所以t的最小值为.
17.
解：(1)
(解法1)
因为tan
α＝2，
所以＝2，即sin
α＝2cos
α.
又sin2α＋cos2α＝1，解得sin2α＝，cos2α＝，所以cos
2α＝cos2α－sin2α＝－.
(解法2)
因为cos
2α＝cos2α－sin2α＝＝，tan
α＝2，
所以cos
2α＝＝－.
(2)
(解法1)
因为α∈(0，π)，且tan
α＝2，
所以α∈.
又cos
2α＝－＜0，
所以2α∈，sin
2α＝.
由cos
β＝－，β∈(0，π)，
得sin
β＝，β∈.
所以sin(2α－β)＝sin
2αcos
β－cos
2αsin
β＝×－×＝－.
又2α－β∈，
所以2α－β＝－.
(解法2)
因为α∈(0，π)，且tan
α＝2，
所以α∈，tan
2α＝＝－，
所以2α∈.
由cos
β＝－，β∈(0，π)，得sin
β＝，所以β∈，tan
β＝－.
所以tan(2α－β)＝＝＝－1.
又2α－β∈，
所以2α－β＝－.
18.
解：(1)
(解法1)∵
cos＝coscos
β＋sinsin
β＝cos
β＋sin
β＝，∴
cos
β＋sin
β＝，∴
1＋sin
2β＝，
∴
sin
2β＝－.
(解法2)
sin
2β＝cos＝2cos2(β－)－1＝－.
(2)
∵
0＜α＜＜β＜π，
∴
＜β－＜，＜α＋β＜，
∴
sin＞0，cos(α＋β)＜0.
∵
cos＝，sin(α＋β)＝，
∴
sin＝，cos(α＋β)＝－.
∴
cos＝cos[(α＋β)－(β－)]＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝－×＋×＝.
19.
解：(1)
f(x)＝2sincos－＝sin
x－cos
x＝2sin，
当x－＝2kπ＋，k∈Z，
即x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)取得最大值为2.
(2)
令f(x)＝0时，f(x)＝sin
x－cos
x＝0，解得tan
x＝.
所以＝＝＝－2.
20.
解：(1)
由条件，得|a－b|2＝，即(cos
α－cos
β)2＋(sin
α－sin
β)2＝，
∴
2－2(cos
αcos
β＋sin
αsin
β)＝，
∴
cos(α－β)＝.
∴
sincos(2π－β)－sin(π＋α)·cos＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝cos(α－β)＝.
(2)
∵
0＜β＜α＜，∴
α－β∈.
∵
cos
α＝，cos(α－β)＝，
∴
sin
α＝，sin(α－β)＝.
sin
β＝sin
[α－(α－β)]＝sin
αcos(α－β)－cos
αsin(α－β)＝×－×＝.
∵
β∈，∴
β＝.
21.
解：(1)
∵
∠MOD＝30°，MQ＝，OQ＝，
∴
S△PMN＝MN·AQ＝××＝.
(2)
∵
∠MOD＝θ，θ∈，则MQ＝sin
θ，OQ＝cos
θ，MN＝1＋sin
θ，AQ＝1＋cos
θ，
∴
S△PMN＝MN·AQ
＝(1＋sin
θ)(1＋cos
θ)
＝(sin
θ＋cos
θ＋sin
θcos
θ＋1)．
设t＝sin
θ＋cos
θ＝sin.
∵
0≤θ≤，∴
≤θ＋≤，
∴
1≤t≤.
∵
t2＝(sin
θ＋cos
θ)2＝1＋2sin
θcos
θ，
∴
sin
θ·cos
θ＝，
∴
S△PMN＝＝(t＋1)2.
∵
函数S△PMN＝(t＋1)2在区间[1，]上单调递增，
∴
当t＝时，S△PMN有最大值为，此时θ＝.
22.
解：
(1)
∵
f(x)＝sin
2x＋cos
2x＋2
＝2sin＋2，
令2x＋＝＋kπ，可得x＝＋，k∈Z，
∴
函数f(x)的对称轴方程为x＝＋，k∈Z.
(2)
∵
x∈，2x＋∈，
∴
sin∈，
∴
2sin＋2∈(－＋2，4]．
∵
函数g(x)＝f(x)＋m有零点，即f(x)＝－m有解，即－m∈(－＋2，4]，
∴
m∈[－4，－2)．
(3)
∵
f(x0)＝，即2sin＋2＝，∴
sin＝－.
∵
x0∈，∴
2x0＋∈(，)．
∵
sin＝－，
∴
2x0＋∈，
∴
cos＝－，
∴
sin
2x0＝sin
＝sincos－cos(2x0＋)sin＝×－×＝.