三角恒等变换单元检测A卷-2020-2021学年高一下学期数学苏教版(2019)必修第二册word含答案解析

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名称 三角恒等变换单元检测A卷-2020-2021学年高一下学期数学苏教版(2019)必修第二册word含答案解析
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文件大小 117.7KB
资源类型 教案
版本资源 苏教版(2019)
科目 数学
更新时间 2021-07-28 13:40:55

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文档简介

单元检测二 三角恒等变换(A卷)
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.
计算2sin275°-1的结果是(  )
A.
-  
B.
 
C.
- 
D.
2.
计算cos
80°cos
130°-sin
100°sin
130°的结果是(  )
A.
-  
B.
  
C.
- 
D.
3.
设α为锐角,若cos(α+)=,则sin(α-)的值为(  )
A.
  
B.
-  
C.
 
D.

4.
已知sin
α=cos
2α,α∈(,π),则tan
α的值为(  )
A.
-  
B.
  
C.
- 
D.
5.
设a=(1,2sin
θ),b=(5cos
θ,3).若a⊥b,则tan(θ+)的值为(  )
A.
  
B.
-  
C.
 
D.

6.
已知0<α<<β<π,cos
α=,sin(α+β)=-,则cos
β的值为(  )
A.
-  
B.
  
C.
- 
D.
7.
已知3cos(2α+β)+5cos
β=0,则tan(α+β)tanα的值为(  )
A.
±4  
B.
4
  
C.
-4  
D.
1
8.
设直线x=α,α∈(0,)与函数f(x)=sin
x和g(x)=cos
x的图象分别交于M,N两点.若MN=,则线段MN中点的纵坐标为(  )
A.
B.

C.
 
D.

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.下列四个选项,化简正确的是(

A.cos(-15°)=
B.cos
15°cos
105°+sin
15°sin
105°=cos(15°-105°)=0
C.cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)=cos[(α-35°)-(25°+α)]=cos(-60°)=cos
60°=.
D.sin
14°cos
16°+sin
76°cos
74°=.
10.下列说法中错误的是
A.存在这样的和的值,使得
B.不存在无穷多个和的值,使得
C.对任意的和,有
D.存在这样的和的值,使得
11.对于函数,给出下列选项其中不正确的是(

A.函数的图象关于点对称
B.存在,使
C.存在,使函数的图象关于y轴对称
D.存在,使恒成立
12.下列选下选项中,值为的是(

A.2cos
72°cos
36°
B.sinsin
C.+.
D.-cos215°;
二、
填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.
函数f(x)=sin2(2x-)的最小正周期是________.
14.
已知α,β均为锐角,且cos(α+β)=sin(α-β),则tan
α=________.
15.
如图,角α的顶点在坐标原点O处,始边在y轴的正半轴上,终边经过点P(-3,-4).角β的顶点在坐标原点O处,始边在x轴的正半轴上,终边OQ落在第二象限,且tan
β=-2,则cos∠POQ
的值为________.
16.
定义行列式的运算:=a1b2-a2b1,若将函数f(x)=的图象向左平移t(t>0)个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则t的最小值为________.
三、
解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.
(本小题满分10分)
已知α,β∈(0,π),且tan
α=2,cos
β=-.
(1)
求cos
2α的值;
(2)
求2α-β的值.
18.(本小题满分12分)
已知0<α<<β<π,cos(β-)=,sin(α+β)=.
求sin
2β的值;
(2)
求cos(α+)的值.
19.
(本小题满分12分)
已知函数f(x)=2sincos-(cos2-sin2).
(1)
求函数f(x)的最大值并求出此时x的值;
(2)
若f(x)=0,求的值.
20.(本小题满分12分)
已知a=(cos
α,sin
α),b=(cos
β,sin
β),且|a-b|=.
求sin(-α)cos(2π-β)-sin(π+α)cos(β-)的值;
(2)
若cos
α=,且0<β<α<,求β的值.
21.
(本小题满分12分)
如图,一个半圆和长方形组成的铁皮,长方形的边AD为半圆的直径,O为半圆的圆心,AB=1,BC=2,现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN,其底边MN⊥BC.
(1)
设∠MOD=30°,求三角形铁皮PMN的面积;
(2)
设∠MOD=θ,将三角形铁皮PMN的面积表示成关于角θ的函数,并求其最大值.
22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=2sin
xcos
x+2cos2x-+2.
(1)
求函数f(x)的对称轴方程;
(2)
当x∈(0,)时,若函数g(x)=f(x)+m有零点,求m的取值范围;
(3)
若f(x0)=,x0∈(,),求sin
2x0的值.
单元检测二
三角恒等变换(A卷)
1.
B 解析:2sin275°-1=-cos
150°=.
2.
A 解析:cos
80°cos
130°-sin
100°·sin
130°=cos
80°cos
130°-sin
80°sin
130°=cos(80°+130°)=cos
210°=-.
3.
D 解析:sin(α-)=sin(α+-)=[sin(α+)-cos(α+)].

0<α<,cos(α+)=,∴
<α+<,∴
sin=,

sin=×=-.
4.
C 解析:∵
sin
α=cos
2α=1-2sin2α,

2sin2α+sin
α-1=0,∴
sin
α=或sin
α=-1.∵
<α<π,∴
sin
α=,∴
α=,∴
tan
α=-.
5.
A 解析:∵
a⊥b,∴
a·b=5cos
θ+6sin
θ=0,解得tan
θ=-,

tan===.
6.
A 解析:∵
0<α<,<β<π,∴
<α+β<.∴
sin
α=,cos(α+β)=-,∴
cos
β=cos
[(α+β)-α]=cos(α+β)cos
α+sin(α+β)sin
α=×+×=-.
7.
C 解析:∵
3cos(2α+β)+5cos
β=3cos(α+β)cos
α-3sin(α+β)sin
α+5cos(α+β)cos
α+5sin(α+β)sin
α=0,∴
2sin(α+β)sin
α=-8cos(α+β)cos
α,∴
tan(α+β)tan
α=-4.
8.
A 解析:由题意知MN=|cos
α-sin
α|=?1-2sin
αcos
α=?2sin
αcos
α=.∵
α∈,∴
cos
α+sin
α====,

线段MN中点的纵坐标为.
9.B,C,D【解析】对于A:方法一 原式=cos(30°-45°)=cos
30°cos
45°+sin
30°sin
45°=×+×=,A错误
方法二 原式=cos
15°=cos(45°-30°)=cos
45°cos
30°+sin
45°sin
30°=×+×=.
对于B:原式=cos(15°-105°)=cos(-90°)=cos
90°=0,B正确
对于C:原式=cos[(α-35°)-(25°+α)]=cos(-60°)=cos
60°=.
对于D:原式=cos
76°cos
16°+sin
76°sin
16°=cos(76°-16°)=cos
60°=.故选B,C,D.
10.A,C,D
【解析】对于A,当时,,故正确
对于B,当时,
则,故错误
对于C,对任意的和,有,这是两角和的余弦公式,故正确
对于D,当,当时使得,故正确,故选A,C,D
11.A,B,D
【解析】函数2sin(x),
对于A:函数f(x)=2sin(x),当x=时,2sin()=2,不能得到函数的图象关于点对称.∴A不对.
对于B:,可得α∈(),,不存在;∴B不对.
对于C:函数的对称轴方程为:x,可得,当k=0,时,可得图象关于y轴对称.∴C对.
对于D:f(x+α)=f(x+3α)说明2α是函数的周期,函数f(x)的周期为2π,故α=π,∴不存在,使恒成立,∴D不对.故选A,B,D.
12.A,B
【解析】对于A中cos
36°cos
72°====.
对于B中sin
sin
=sin
cos
===.
对于C中原式=====4.
对于D中-cos215°=-(2cos215°-1)=-cos
30°=-,故选A,B.
13.
 解析:∵
f(x)=[1-cos(4x-)]=-sin
4x,∴
T==.
14.
1 解析:∵
cos(α+β)=sin(α-β),∴
cos
αcos
β-sin
αsin
β=sin
αcos
β-cos
αsin
β,∴
cos
α(sin
β+cos
β)=sin
α·(cos
β+sin
β).

α,β均为锐角,∴
sin
β+cos
β≠0,∴
cos
α=sin
α,∴
tan
α=1.
15.
- 解析:如图,tan
β=tan(π-θ1)=-tan
θ1=-2,∴
tan
θ1=2,tan
θ2=.∴
tan
∠POQ==-2.

<∠POQ<π,∴
cos
∠POQ=-.
16.
 解析:由题意知f(x)=cos
x-sin
x=2cos,平移后得到函数y=2cos(x++t),则由题意,得+t=kπ,k∈Z,t=kπ-,k∈Z.因为t>0,所以t的最小值为.
17.
解:(1)
(解法1)
因为tan
α=2,
所以=2,即sin
α=2cos
α.
又sin2α+cos2α=1,解得sin2α=,cos2α=,所以cos
2α=cos2α-sin2α=-.
(解法2)
因为cos
2α=cos2α-sin2α==,tan
α=2,
所以cos
2α==-.
(2)
(解法1)
因为α∈(0,π),且tan
α=2,
所以α∈.
又cos
2α=-<0,
所以2α∈,sin
2α=.
由cos
β=-,β∈(0,π),
得sin
β=,β∈.
所以sin(2α-β)=sin
2αcos
β-cos
2αsin
β=×-×=-.
又2α-β∈,
所以2α-β=-.
(解法2)
因为α∈(0,π),且tan
α=2,
所以α∈,tan
2α==-,
所以2α∈.
由cos
β=-,β∈(0,π),得sin
β=,所以β∈,tan
β=-.
所以tan(2α-β)===-1.
又2α-β∈,
所以2α-β=-.
18.
解:(1)
(解法1)∵
cos=coscos
β+sinsin
β=cos
β+sin
β=,∴
cos
β+sin
β=,∴
1+sin
2β=,

sin
2β=-.
(解法2)
sin
2β=cos=2cos2(β-)-1=-.
(2)

0<α<<β<π,

<β-<,<α+β<,

sin>0,cos(α+β)<0.

cos=,sin(α+β)=,

sin=,cos(α+β)=-.

cos=cos[(α+β)-(β-)]=cos(α+β)cos+sin(α+β)sin=-×+×=.
19.
解:(1)
f(x)=2sincos-=sin
x-cos
x=2sin,
当x-=2kπ+,k∈Z,
即x=2kπ+,k∈Z时,f(x)取得最大值为2.
(2)
令f(x)=0时,f(x)=sin
x-cos
x=0,解得tan
x=.
所以===-2.
20.
解:(1)
由条件,得|a-b|2=,即(cos
α-cos
β)2+(sin
α-sin
β)2=,

2-2(cos
αcos
β+sin
αsin
β)=,

cos(α-β)=.

sincos(2π-β)-sin(π+α)·cos=cos
αcos
β+sin
αsin
β=cos(α-β)=.
(2)

0<β<α<,∴
α-β∈.

cos
α=,cos(α-β)=,

sin
α=,sin(α-β)=.
sin
β=sin
[α-(α-β)]=sin
αcos(α-β)-cos
αsin(α-β)=×-×=.

β∈,∴
β=.
21.
解:(1)

∠MOD=30°,MQ=,OQ=,

S△PMN=MN·AQ=××=.
(2)

∠MOD=θ,θ∈,则MQ=sin
θ,OQ=cos
θ,MN=1+sin
θ,AQ=1+cos
θ,

S△PMN=MN·AQ
=(1+sin
θ)(1+cos
θ)
=(sin
θ+cos
θ+sin
θcos
θ+1).
设t=sin
θ+cos
θ=sin.

0≤θ≤,∴
≤θ+≤,

1≤t≤.

t2=(sin
θ+cos
θ)2=1+2sin
θcos
θ,

sin
θ·cos
θ=,

S△PMN==(t+1)2.

函数S△PMN=(t+1)2在区间[1,]上单调递增,

当t=时,S△PMN有最大值为,此时θ=.
22.
解:
(1)

f(x)=sin
2x+cos
2x+2
=2sin+2,
令2x+=+kπ,可得x=+,k∈Z,

函数f(x)的对称轴方程为x=+,k∈Z.
(2)

x∈,2x+∈,

sin∈,

2sin+2∈(-+2,4].

函数g(x)=f(x)+m有零点,即f(x)=-m有解,即-m∈(-+2,4],

m∈[-4,-2).
(3)

f(x0)=,即2sin+2=,∴
sin=-.

x0∈,∴
2x0+∈(,).

sin=-,

2x0+∈,

cos=-,

sin
2x0=sin
=sincos-cos(2x0+)sin=×-×=.