1.1.3集合的基本运算 全集与补集 强基讲义（知识点+例题+强化训练）-2021-2022学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册（Word含答案解析）

1223010010274300 与补集有关的求参问题
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【对全集的理解】
(1)全集的概念可以理解为在研究集合与集合之间的关系时，所要研究的集合都是某一个集合的子集，就把这个给定的集合称为全集．
(2)全集是对于所研究的问题而言的一个概念，它不是一成不变的，它会根据所研究问题的不同而有不同的选择．所以说全集是一个相对的概念．
【对补集的理解】
(1)补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集．比如，当研究数的运算性质时，我们常常将实数集R当做全集．
(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，还是一种数学思想．
(3)从符号角度来看，若x∈U，A U，则x∈A和x∈ UA二者必居其一．
【求补集的策略】
?1?如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解.另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助Venn图来求解.这样处理起来，相对来说比较直观、形象，且解答时不易出错.
?2?如果所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解.
【补集求参的思路】
要注意下面五个关系式A∩B＝A、A∪B＝B、?UA??UB、A∩?UB＝?、?UA∪B＝U都与A?B等价．
【补集思想的应用】
对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间关系不明确、难于从正面入手的数学问题,在解题时,可从问题的反面入手,探求已知和未知的关系,这时能化难为易,化隐为显,从而将问题解决.这就是“正难则反”的解题策略,也是处理问题的间接化原则的体现.
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运算结果已知
【例1】已知集合A={x|x2+ax+12b=0}和B={x|x2-ax+b=0},满足(?RA)∩B={2},A∩(?RB)={4},求实数a,b的值
【对点演练1】已知全集U＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，?UA＝{3}，则实数a等于(　　)
A．0或2　 B．0
C．1或2　　 D．2
【备选题】

1.已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，若B∪(?UB)＝A，则?UB＝________.
2.设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，?UA＝{5}，求实数a的值．
---------------------------定性------------------------------------------------------
【角度一】--------------------?UA?B-------------------------------------
【例2】 设全集U＝R，A＝{x|x<1}，B＝{x|x>m}，若?UA?B，则实数m的取值范围是________．
【对点演练2】已知集合A＝{x|x>2}，B＝{x|x<2m}，且A??RB，那么m的取值范围是
【备选题】设全集U＝R，M＝{x|3a【角度二】------------------A∪(?RB)＝R---------------------------------------
【例3】已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪(?RB)＝R，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|a≤1} B．{a|a<1}
C．{a|a≥2} D．{a|a>2}
．
【对点演练3】 已知集合A＝{x|x【角度三】---------------B∩(?UA)≠?---------------------
【例4】设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1，或x≥3}，集合B＝{A．k<0或k>3 B．2C．0【对点演练4】 M＝{x|x<－2或x>2}，N＝{x|x≤m}，若(?RM)∩N≠?，则实数m的取值范围为(　　)
A．m<2 B．m≥－2
C．m>－1 D．－2≤m≤2
【备选题】
已知全集U＝R，集合A＝{x|x<3或x≥7}，B＝{x|xA．{a|a>3} B．{a|a≥3}
C．{a|a≥7} D．{a|a>7}
【角度四】---------------B∩(?UA)=?---------------------
【例5】设全集U＝R，A＝，B＝{x|－2【对点演练5】已知集合A＝{x|1【角度五】---------------B∩(?UA)=B---------------------
【例6】设全集U＝R，A＝，B＝{x|－2【对点演练6】已知集合A＝{x|x>2}，B＝{x|x<2m}，且∩A＝A，那么m的取值范围是.
【备选题】设全集U＝R，M＝{x|3a与补集有关的求参问题参考答案
------------------------------定量-----------------------------------------------------
【例1】
【解析】由条件(?RA)∩B={2}和A∩(?RB)={4},
知2∈B,但2?A;4∈A,但4?B.将x=2和x=4分别代入B,A两集合中的方程,得
22?2a+b=04+4a+12=0解得a= 87 ,b=?127 .
【对点演练1】
【答案解析】由题意知则a＝2．
【备选】
【答案解析】{－}或{}或{3}
解析　因为B∪(?UB)＝A，所以A＝U.
①当x2＝3时，x＝±，B＝{1,3}，?UB＝{}或{－}．
②当x2＝x时，x＝0或1.
当x＝0时，B＝{0,1}，?UB＝{3}；而当x＝1时不合题意，舍去．
2.设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，?UA＝{5}，求实数a的值．
∵ ?U A＝{5}，∴5∈U，且5 ?A.
∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2，或a＝－4.
当a＝2时，|2a－1|＝3≠5，此时A＝{3,2}，U＝{2,3,5}符合题意．
当a＝－4时，|2a－1|＝9，此时A＝{9,2}，U＝{2,3,5}，A? U，故a＝－4舍去．综上知a＝2.
---------------------------定性------------------------------------------------------
【角度一】--------------------?UA?B-------------------------------------
【例2】
【答案解析】∵?UA＝{x|x≥1}，B＝{x|x>m}，
∴由?UA?B可知m<1.]
【对点演练2】
【答案解析】由B＝{x|x<2m}，得?RB＝{x|x≥2m}，
∵A??RB，∴2m≤2，∴m≤1.
【备选题】
解析：?U P＝{x|x<－2，或x>1}，因为M? (?UP)，所以分M＝? ，M≠? 两种情况讨论
(1)M＝ ?时，应有3a≥2a＋5，所以a≥5.
(2)M≠? 时，如图可得：
3a<2a+52a+5≤?2或3a<2a+53a≥1, 所以a≤－72或13≤a<5
【角度二】------------------A∪(?RB)＝R---------------------------------------
【例3】
【答案解析】由于A∪(?RB)＝R，则B?A，可知a≥2.故选C.
．
【对点演练3】
【答案解析】∵B＝{x|1【角度三】---------------B∩(?UA)≠?---------------------
【例4】
解析： ?UA={x|11k<3 ,0【对点演练4】
【答案解析】解析　?RM＝{x|－2≤x≤2}，再利用数轴来解决(?RM)∩N≠?时m的取值范围，易知m≥－2.
【备选题】
【答案解析】选A　因为A＝{x|x<3或x≥7}，所以?UA＝{x|3≤x<7}．又(?UA)∩B≠?，所以a>3.故选A．
【角度四】---------------B∩(?UA)=?---------------------
【例5】
【答案解析】　法一：?UA＝＝
∵∩B＝?，
∴－m≤－2，∴m≥2.
法二：A＝，
由∩B＝?，得A?B，
∴－m≤－2，∴m≥2.
【对点演练5】
【答案解析】A∩(?RB)＝?得A? B.
画出符合题意的图形：
由图，得a≥2.
【角度五】---------------B∩(?UA)=B---------------------
【例6】
由已知得?UA＝，?UA?B，所以－m≥4，解得m≤－4.
【对点演练6】
【答案解析】由B＝{x|x<2m}，得?RB＝{x|x≥2m}，∩A＝A
∴A??RB，∴2m≤2，∴m≤1.
【备选题】
【解析】?U P＝{x|x<－2，或x>1}，因为∩M＝M ,所以M? (?UP)，所以分M＝? ，M≠? 两种情况讨论
(1)M＝ ?时，应有3a≥2a＋5，所以a≥5.
(2)M≠? 时，如图可得：
3a<2a+52a+5≤?2或3a<2a+53a≥1, 所以a≤－72或13≤a<5