1.1.3集合的基本运算（第一课时） 强基讲义（知识点+例题+强化训练）2021-2022学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册专讲 已知集合运算逆向求参（Word含答案解析）

专讲 已知集合运算逆向求参
自然语言
一般地，由__所有属于集合A或属于集合B__的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作__A∪B__(读作“A并B”)．
符号语言
__A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}__
图形语言
(3)AfalseB　　　　　(4)BfalseA　　　　(5)A＝B
说明：由上述五个图形可知，无论集合A，B是何种关系，A∪B恒有意义，图中阴影部分表示并集.
自然语言
一般地，由__所有属于集合A且属于集合B的元素__组成的集合，称为A与B的交集，记作__A∩B__(读作“A交B”)
符号语言
__A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}__
图形语言
(1)A与B相交(有公共元素，相互不包含)
(2)A与B相离(没有公共元素，A∩B＝?)
(3)A?B，则A∩B＝A
(4)B?A，则A∩B＝B
(5)A＝B，A∩B＝B＝A
(1)“x∈A或x∈B”包含哪几种情况？
答： “x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x?B；x∈B，但x?A；x∈A，且x∈B.用Venn图表示如图所示
(2)集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？
答：不等于，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和．
(3)并集定义中的“或”与生活用语中的“或”含义相同吗?
答：并集的符号语言中的“或”与生活用语中的“或”的含义是不同的,生活用语中的“或”是“或此”“或彼”,只取其一,并不兼存;而并集中的“或”则是“或此”“或彼”“或此彼”,可兼有.“x∈A或x∈B”包含三种情形:①x∈A且x?B;②x∈B且x?A;③x∈A且x∈B.
（4）若A∩B=? ,则A,B是否均为空集?若A∪B=? 呢?
答：不一定,当A∩B=? 时,A,B可以为? ,也可以不为? ,如A={1,2},
B={3,4},则A∩B=? ;当A∪B= 时,则A=B= ?
（5）集合运算中的“且”与生活用语中的“且”相同吗？
答：集合运算中的“且”与生活用语中的“且”的含义相同，均表示“同时”的含义，即“x∈A，且x∈B”表示元素x属于集合A，同时属于集合B
（6）求并集与交集注意什么？
答：1.求两集合的并集首先明确集合中的元素
2.若是用列举法表示的数集,可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果;
3.注意元素互异性，两集合中重复的元素只能写一次。
4.求两集合的交集首先明确集合中的元素
5.若是用列举法表示的数集,可以根据交集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果;
6.有时候交集可以是?。

【考向一】有限数集求参
用列举法表示的有限集合，根据结果的特征，又可以划分为三个角度：1.已知元素个数；2.已知元素；3.已知运算关系。第一种命题比较少，分析时，要结合元素征性。第二、三种命题较多，是学生学习的重点。
【角度一】已知结果的元素个数
【例1】 已知a∈R,集合M={1,a2},N={a,-1},若M∪N有三个元素,则M∩N等于(　　)
(A){0,1} (B){0,-1} (C){0} (D){1}
【点拨】分类讨论，对照，列出关系。
【答案解析】
【角度二】已知集合
【例2】集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为(　　)
A．0　 B．1　
C．2　 D．4
【点拨】运算结果中元素具体，可以结合韦恩图分析
【答案解析】
【对点训练2】已知集合A＝{x|x2－px－2＝0}，B＝{x|x2＋qx＋r＝0}，且A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，则p＋q＋r＝________.
【提示】从A∩B＝{－2}入手，知x＝－2是两个集合公共元素。
【答案解析】
【备选题】
1.设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1＜x≤4}，C＝{x|－3＜x＜2}，且集合A∩(B∪C)＝{x|a≤x≤b}，则a＝________，b＝________．
集合A＝{x|x2－px＋15＝0，x∈N}，B＝{x|x2－5x＋q＝0，x∈N}，若A∪B＝{2,3,5}，则A＝ ，B＝
已知集合M＝{2,3，a2＋4a＋2}，N＝{0,7，a2＋4a－2，2－a}，且M∩N＝{3,7}，求实数a的值．
4. 集合A={-4,2},B={x|x2+2(a+1)x+a2-5=0},
C={x|x2+bx-b2-4=0}.若A∩C={2},求实数b的值;
【角度三】已知集合运算关系
【例3】设集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}．
(1)若A∩B＝A∪B，求实数a的值；
(2)若??false (A∩B)，且A∩C＝?，求实数a的值；
(3)若A∩B＝A∩C≠?，求实数a的值．
【点拨】A集中含参，先不要急于解，通过A∩B＝A∪B、及 ?false (A∩B)，且A∩C＝?，倒逼真相，了解集合A的元素的分布情况，再对元素逐一考虑。学生中常见问题是1.对A中的一元二次方程过早研究，造成分类讨论；2.对运算关系研究不透。
【答案解析】
【对点训练3】已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|(x-1)[x-(a-1)]=0},且A∪B=A,则实数a的值为　　　　.?
【提示】A∪B=A?A?B，参考【由集合关系求参】相关方法解决。
【备选题】
.
1.若集合A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，则满足条件的实数x有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2. 已知集合A＝{1,2}，B＝{x|mx－1＝0}，若A∩B＝B，则符合条件的实数m的值组成的集合为(　　)
A. B.
C. D.
【考向二】无限数集求参
集合是不等式解集或函数定义域、值域。一方面集合要化简，另一方面要自始至终利用数轴。
【例4】已知集合A＝{x|－2(1)若A∩B＝?，求实数m的取值范围；
(2)若A∪B＝B，求实数m的取值范围．
【点拨】借助数轴
【答案解析】
【对点训练4】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
【提示】A∪B＝A，∴B?A
【答案解析】
【备选题】
1.已知集合A＝{x|－2≤x≤4}，B＝{x|x＞a}．
(1)若A∩B≠A，求实数a的取值范围；
(2)若A∩B≠?，且A∩B≠A，求实数a的取值范围．
2.已知集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．
若集合C＝{x|2x＋a＞0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．
3. 已知A＝{x|－2≤x≤4}，B＝{x|x>a}．
(1)若A∩B≠A，求实数a的取值范围；
(2)若A∩B≠?，且A∩B≠A，求实数a的取值范围.
4. 设集合A＝{x|－1≤x≤2}，集合B＝{x|x≤a}，若A∩B＝?，则实数a的取值集合为(　　)
A．{a|a<2} B．{a|a≥－1}
C．{a|a<－1} D．{a|－1≤a≤2}
5. 已知集合A={x|x-2<0},B={x|x(A)a≤-2 (B)a≥-2 (C)a≤2 (D)a≥2
6. 已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且B≠?，若A∪B＝A，则(　　)
A．－3≤m≤4　 B．－3＜m＜4
C．2＜m＜4　 D．2＜m≤4
【考向三】点集
集合是点集，集合交，转化为曲线之间的相交问题。
【例5】设集合A＝{(x，y)|y＝ax＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋b}，且A∩B＝{(2,5)}，则(　　)
A．a＝3，b＝2 B．a＝2，b＝3
C．a＝－3，b＝－2 D．a＝－2，b＝－3
【点拨】2,5是两直线交点
【对点训练5】已知A=x,yy=x+1,B=x,yy=mx+2
若A∩B=?,求实数m的值。
【提示】两个集合代表的是两条直线，那么A∩B=?意味着两条直线平行，没有公共点。
接下来可以从解方程组的角度去解，也可以从解析几何的角度去解（高一新生不理解，此法仅供老师参考）
【备选题】
1.M=x,yx2+y2≤4,N=x,yx?a2+y2≤1
若M∩N=N,求a取值范围
2.若上题改为M=x,yx2+y2<4，其他条件不变，a取值范围是什么？
3.若上题改为N=x,yx?a2+y2<1，其他条件不变，a取值范围是什么？
4. M=x,yx2+y2<4,N=x,yx?a2+y2<1
若M∩N=N,求a取值范围
参考答案

【考向一】有限数集求参
【角度一】已知结果的元素个数
【例1】 【答案解析】 因为集合M={1,a2},N={a,-1},若M∪N有三个元素,则a2=a,解之得a=0或a=1(舍去).此时M∩N={0},故选C.
【角度二】已知集合
【例2】【答案解析】∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴{a，a2}＝{4,16}．∴a＝4．
【对点训练2】【答案解析】∵A∩B＝{－2}，∴－2∈A且－2∈B，将x＝－2代入方程x2－px－2＝0，得4＋2p－2＝0，解得p＝－1，
∴A＝{1，－2}．又A∪B＝{－2,1,5}，∴B＝{－2,5}，
∴q＝－[(－2)＋5]＝－3，r＝(－2)×5＝－10，
∴p＋q＋r＝－14.
答案：－14
【备选题】
．
1.【答案解析】∵B∪C＝{x|－3＜x≤4}，∴A?(B∪C)．∴A∩(B∪C)＝A．由题意{x|a≤x≤b}＝{x|－1≤x≤2}，∴a＝－1，b＝2．
2.【答案解析】设A＝{x1，x2}，B＝{x3，x4}，∵x1，x2是方程x2－px＋15＝0的两根，∴x1x2＝15.又A∪B＝{2,3,5}，∴x1，x2∈{2,3,5}，∴x1＝3，x2＝5或x1＝5，x2＝3，即A＝{3,5}，同理，可得B＝{2,3}．
3.【答案解析】因为M∩N＝{3,7}，所以7∈M.
又 M＝{2,3，a2＋4a＋2}，故a2＋4a＋2＝7，解得a＝1或a＝－5.
当a＝－5时，N中的元素为0,7,3,7，这与集合中元素的互异性矛盾，舍去；
当a＝1时，M＝{2,3,7}，N＝{0,7,3,1}，
所以M∩N＝{3,7}，符合题意．故a＝1.
4.【答案解析】 (1)因为A∩C={2},所以2∈C,代入C中的方程,得b=0或b=2;
当b=0时,C={-2,2},满足条件A∩C={2};
当b=2时,C={-4,2},不满足条件A∩C={2},舍去.
综上,b=0.
(2)对于集合B,Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3).
因为A∪B=A,所以B?A.
所以B=?,或{-4},或{2},或{-4,2}.
当B=?时,Δ<0,即a<-3时,B=?满足条件;
当B={-4},或{2}时,由Δ=0,得a=-3,此时,B={2},满足条件;
当B={-4,2}时,Δ>0,即a>-3,
则由根与系数的关系,得 false
得a无解.
综上,a的取值范围是a≤-3.
【角度三】已知集合运算关系
【例3】【答案解析】(1)B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，
因为A∩B＝A∪B，所以A＝B，则A＝{2,3}，
2+3=a2×3=a2?19,a=5
(2)因为??false(A∩B)，且A∩C＝?，B＝{2,3}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}＝{－4,2}，
所以－4?A,2?A,3∈A，所以32－3a＋a2－19＝0，
即a2－3a－10＝0，解得a＝5或a＝－2.
当a＝－2时，A＝{－5,3}，满足题意；
当a＝5时，A＝{2,3}，不满足题意，舍去．
综上，可知a＝－2.
(3)因为A∩B＝A∩C≠?，B＝{2,3}，C＝{－4,2}，
所以2∈A，则22－2a＋a2－19＝0，
即a2－2a－15＝0，解得a＝5或a＝－3.
当a＝5时，A＝{2,3}，不满足题意，舍去；
当a＝－3时，A＝{－5,2}，满足题意．
综上，可知a＝－3.
【对点训练3】【答案解析】A={x|x2-3x+2=0}={1,2},
由(x-1)[x-(a-1)]=0,得x=1或x=a-1,
因为A∪B=A,所以B?A,
因此a-1=1或a-1=2,得a=2或a=3.
答案:2或3
【备选题】
.
1.【答案解析】∵A∪B＝A，∴B?A.∵A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，∴x2＝0或x2＝2或x2＝x，解得x＝0或或－或1.经检验，当x＝或－时满足题意，故选B
2.【答案解析】当m＝0时，B＝?，A∩B＝B；
当m≠0时，x＝，要使A∩B＝B，则＝1或＝2，即m＝1或m＝.
【考向二】无限数集求参
【例4】【答案解析】 (1)∵A＝{x|－2又A∩B＝?，∴m≤－2.
(2)∵A＝{x|－2【对点训练4】【答案解析】∵A∪B＝A，∴B?A．
若B＝?时，2a＞a＋3，即a＞3；
若B≠?时，
解得－1≤a≤2．
综上所述，实数a的取值范围是{a|－1≤a≤2或a＞3}．
【备选题】
1.【答案解析】 (1)如图，若A∩B≠A，则a≥－2．

(2)由于A∩B≠?，且A∩B≠A，所以在数轴上，实数a在－2的右边且在4的左边，可得－2≤a＜4．
2.【答案解析】∵C＝，B∪C＝C?B?C，
∴－<2．
∴a＞－4，即实数a的取值范围为(－4，＋∞)．
3. 【答案解析】 (1)如图可得，在数轴上实数a在－2的右边，可得a≥－2.
(2)由于A∩B≠?，且A∩B≠A，所以在数轴上，实数a在－2的右边且在4的左边，可得－2≤a<4.
4.【答案解析】选C　如图，要使A∩B＝?，应有a<－1.
故选C．
5. 【答案解析】集合A={x|x-2<0}={x|x<2},B={x|xa≥2.故选D.
6. 【答案解析】∵A∪B＝A，∴B?A．又B≠?，
∴即2＜m≤4
【考向三】点集
【例5】
【答案解析】
5=2a+15=2+b,a=2,b=3.
【对点训练5】A∩B=??y=x+1y=mx+2无解?1=m?1x无解
?m=1
备选题
1.【答案解析】依题意，圆x?a2+y2=1内切或内含于圆x2+y2=4，∴a≤1
解得?1≤a≤1.
2. 【答案解析】 圆x?a2+y2=1内含于圆x2+y2=4，∴a<1
解得?13. 【答案解析】圆x?a2+y2=1内切或内含于圆x2+y2=4，∴a≤1
解得?1≤a≤1.
4. 【答案解析】圆x?a2+y2=1内切或内含于圆x2+y2=4，∴a≤1
解得?1≤a≤1.