1.2集合的基本关系 强基讲义2（知识点+例题+强化训练）2021-2022学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册（Word含答案解析）

1.2集合的基本关系 强基讲义2（知识点+例题+强化训练）2021-2022学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册
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专讲二 由集合关系求参
巩1.子集：对于两个集合A，B，如果集合?A?中任意一个元素都是集合?B?中的元素，就称集合A为集合B的子集.
记作：false或false.
读作：“A包含于B”（或“B包含A”）.
2.集合相等：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等.记作A?=?B.
即：若AB，且BA，则A?=?B.
3. 真子集：对于两个集合A与B，如果集合false，但存在元素false，且false，就称集合A是集合B的真子集.
记作：false（或false）.
4. 空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为false.
空集是任何集合的子集.
5. 子集性质：（1）任何一个集合是它本身的子集，即false.
（2）对于集合A，B，C，如果false，且false，那么false.
6. 结论：含n个元素的集合的所有子集的个数是false，所有真子集的个数是false.
-291465142875 整理笔记
整理笔记
1..子集与真子集有何区别？
1）.集合A是集合B的真子集,需要满足两个条件:①A?B;
②存在元素x,满足x∈B且x?A.
2）如果集合A是集合B的真子集,那么集合A一定是集合B的子集,反之则不成立.
3.任意集合都一定有子集,但是不一定有真子集.空集没有真子集,一个集合的真子集个数比它的子集个数少1.
2.集合间关系的性质,
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A?A.
(2)对于集合A，B，C，
①若A?B，且B?C，则A?C；
②若AB，BC，则AC.
(3)若A?B，A≠B，则AB.
3、由集合间的关系求参数的范围问题中的两点注意事项
(1)解此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,同时还要注意验证端点值,做到准确无误,一般含“=”用实心点表示,不含“=”用空心点表示.
(2)涉及“A?B”或“A?B,且B≠?”的问题,一定要分A=?和A≠?两种情况进行讨论,其中A=?的情况容易被忽略,应引起重视.
4. 充要条件转化为集合包含关系
①x∈A是x∈B成立的充分条件?若x∈A，则x∈B?A?B；
②x∈A是x∈B成立的充分不必要条件?若x∈A，则x∈B，但若x∈B，则不能推出x∈A?A?B；
③x∈A是x∈B成立的必要条件?若x∈B，则x∈A?B?A；
④x∈A是x∈B成立的必要不充分条件?若x∈B，则x∈A，但若x∈A，则不能推出x∈B?B?A；
⑤x∈A是x∈B成立的充分必要条件?若x∈A，则x∈B，且若x∈B，则x∈A?B=A；
5.集合运算转集合包含关系
①A∪B=A?A?B
②A∩B=A?B?A
14287526670 知识深化
知识深化
【考向一】明确集合包含关系
题目中给出两个集合谁大谁小，谁是谁的子集或真子集。两个集合至少有一个含参。
而根据根含的元素特征，又可以分为【有限数集】和【无限数集】两个命题角度。具体如下：
【角度一】 两个集合是有限数集
【例1 】 已知集合false且false,则false__________.
【点拨】本题给两个数集，一个两个元素，另一个三个元素，元素都比较具体，由于元素个数不同，所以，不存在相等的可能性，小集合也不会为这空集。分类处理。要注意元素的互异性。
【对点训练1】已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q?P，则a的值是(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B．－1
C．0,1或－1 D．1或－1
【提示】Q集合有空集的可能性。
【备选题】
1. 已知集合false,集合false.若false,则实数false__________
2. 已知集合false,若false,则false的取值集合为__________.
3. 已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2},若B?A,则实数m= ________________________． 　　　
　
4. 已知?false{x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是____________________________．
【角度二】集合是不等式集
【例2】 已知集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，且B?A.
求实数m的取值集合；
【点拨】 两个集合都是不等式集，其中一个含参，具体操作程序是①优先考虑含参集合是否为空集，一般比较解集两端大小，如果应该大的一端不大于另一端，解集为空；②确定都不空时，把两个解集中不含参数的画在数轴上，注意区间端点的空与实；③根据题意，摆放含参不等式的两个端点，要检验端点可否重合；④从集合空与不空的前提+端点值的大小关系两个方面写条件。
【对点训练2】已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．
(1)若AB，求a的取值范围；
(2)若B?A，求a的取值范围．
【提示】a≥1，说明B不是空集，又由于A也不是空集，本题减少了讨论空集的必要性。直接用数轴分析。
【备选题】
1.设集合A＝{x|a－2(1)若AfalseB，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a使B?A?
2.已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋2}，B＝{x|3＜x＜5}，则能使A?B成立的实数a的取值范围是________．
3. 已知集合A={x|x<3},集合B={x|x4. 已知false或false,false,若false则实数false的取值范围是
【考向二】由集合运算性质转化为包含关系
题目中包含A∪B=A 和A∩B=A 之类，根据【整理笔记】中第5项，可以转化为集合包含关系，接下来的解法参考【考向一】即可。
【例3】 设A={x|1A.a≤2 B.a≤1 C.a≥1 D.a≥2
【点拨】A∪B=B?A?B，本题相当于“设A={x|1A.a≤2 B.a≤1 C.a≥1 D.a≥2 “

【对点训练3】设集合false,若A∩B=A则false的取值范围是(? ?)
A. false
B. false
C. false
D. false
【提示】A∩B=A?A?B
【考向三】由子集的定义知集合包含关系
原理： 任意x∈A,则必有x∈B?A?B
【例4】已知集合A＝{x|1－a(1)若对任意x∈A，则必有x∈B成立的充分条件，求实数a的取值范围；
(2)若对任意x∈A，则必有x∈B成立的必要条件，求实数a的取值范围
【点拨】（1）说明A?B（2）B?A
【考向四】由充要条件转集合包含关系
具体情形请参考【整理笔记】中第4项。由于此方法与充要条件有联系，而新生还没学到逻辑知识，老师可先保留，等学到充要条件再让学生学习。
【例5】已知集合A＝{x|1－a(1)若x∈A是x∈B成立的充分条件，求实数a的取值范围；
(2)若若x∈A是x∈B成立的必要条件，求实数a的取值范围；
【点拨】（1）说明A?B（2）B?A


对点训练1由题意，当Q为空集时，a＝0；当Q不是空集时，由Q?P，a＝1或a＝－1.
答案：　C