第五章 5.5 5.5.1 第2课时
A组·素养自测
一、选择题
1．cos的值等于( )
A．
B．
C．
D．
2.cos－sin的值是( )
A．0
B．
C．－
D．2
3．若cosαcosβ＝1，则cos(α＋β)＝( )
A．－1
B．0
C．1
D．±1
4．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则＝( )
A．8
B．4
C．2
D．6
5．在△ABC中，若sinAsinBA．等边三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
6．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，α、β都是锐角，则cosβ＝( )
A．－
B．－
C．
D．
二、填空题
7．计算sin133°cos13°－sin13°cos133°的结果为____.
8．若α，β均为锐角，sinα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ＝___.
9．设α∈，β∈，cosα＝，且tanα＝，则sin(α－β)＝____.
三、解答题
10．化简求值：
(1)cos44°sin14°－sin44°cos14°；
(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)．
11．已知cosα＝－，<α<π，求cos，cos的值．
B组·素养提升
一、选择题
1．在△ABC中，已知sin(A－B)cosB＋cos(A－B)sinB≥1，则△ABC是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等腰非直角三角形
2．(多选题)若α∈[0,2π]，sinsin＋coscos＝0，则α的值是( )
A．
B．
C．
D．
3．(多选题)下列对等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ的描述正确的是( )
A．对任意的角α，β都成立
B．α＝β＝0时成立
C．只对有限个α，β的值成立
D．有无限个α，β的值使等式成立
4．已知cos(θ＋)＝，0<θ<，则cosθ等于( )
A．
B．
C．
D．
二、填空题
5.＝____.
6．若cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－，且450°<β<540°，则sin(60°－β)＝____.
7．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanα·tanβ＝____.
三、解答题
8．已知cosαcosβ＋sinαsinβ＝，－<β<0<α<.
(1)求sin(α－β)的值；
(2)若sinβ＝－，求sinα的值．
9．已知cosα＝，sin(α－β)＝且α，β∈(0，)．求：
(1)cos(2α－β)的值；
(2)β的值．
第五章 5.5 5.5.1 第2课时
A组·素养自测
一、选择题
1．cos的值等于( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] cos＝－cos＝－cos
＝－
＝－＝.
2.cos－sin的值是( B )
A．0
B．
C．－
D．2
[解析] cos－sin＝2(cos－sin)＝2(sincos－cossin)＝2sin(－)＝2sin＝.
3．若cosαcosβ＝1，则cos(α＋β)＝( C )
A．－1
B．0
C．1
D．±1
[解析] 因为|cosα|≤1，|cosβ|≤1，所以|cosαcosβ|≤1，于是或所以sinα＝0，sinβ＝0，所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝1，故选C．
4．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则＝( B )
A．8
B．4
C．2
D．6
[解析] 由已知得则＝4.故选B．
5．在△ABC中，若sinAsinBA．等边三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
[解析] ∵sinAsinB0，
∴cos(A＋B)>0，∵A，B，C为三角形的内角，∴A＋B为锐角，∴C为钝角．
6．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，α、β都是锐角，则cosβ＝( C )
A．－
B．－
C．
D．
[解析] ∵α、
β是锐角，∴0<α＋β<π，又cos(α＋β)＝－<0，∴<α＋β<π，∴sin(α＋β)＝，sinα＝.又cosβ＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝.
二、填空题
7．计算sin133°cos13°－sin13°cos133°的结果为____.
[解析] 原式＝sin(133°－13°)＝sin120°＝.
8．若α，β均为锐角，sinα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ＝____.
[解析] 由α为锐角得cosα＝，又(α＋β)∈(0，π)且sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝或cos(α＋β)＝－，所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sinα，当cos(α＋β)＝时，cosβ＝＝sinα，所以α＋β＝，sin(α＋β)＝1，与已知sin(α＋β)＝矛盾，故cos(α＋β)＝－，所以cosβ＝.
9．设α∈，β∈，cosα＝，且tanα＝，则sin(α－β)＝____.
[解析] 由已知得tanα＝＝，即sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，所以sinαcosβ－cosαsinβ＝cosα，即sin(α－β)＝cosα＝.
三、解答题
10．化简求值：
(1)cos44°sin14°－sin44°cos14°；
(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)．
[解析] (1)原式＝sin(14°－44°)
＝sin(－30°)＝－.
(2)原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin90°＝1.
11．已知cosα＝－，<α<π，求cos，cos的值．
[解析] ∵cosα＝－，且<α<π，∴sinα＝＝，
∴cos＝coscosα＋sinsinα＝×(－)＋×＝，
cos＝coscosα－sinsinα＝×(－)－×＝－.
B组·素养提升
一、选择题
1．在△ABC中，已知sin(A－B)cosB＋cos(A－B)sinB≥1，则△ABC是( C )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等腰非直角三角形
[解析] 由题设知sin[(A－B)＋B]≥1，
∴sinA≥1而sinA≤1，∴sinA＝1，A＝，
∴△ABC是直角三角形．
2．(多选题)若α∈[0,2π]，sinsin＋coscos＝0，则α的值是( CD )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由已知得coscos＋sinsin＝0，
即cos(－)＝0，cos
α＝0，又α∈[0,2π]，
所以α＝或α＝.
3．(多选题)下列对等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ的描述正确的是( BD )
A．对任意的角α，β都成立
B．α＝β＝0时成立
C．只对有限个α，β的值成立
D．有无限个α，β的值使等式成立
[解析] 因为sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝sinα＋sinβ，所以cosβ＝1且cosα＝1可使等式成立，所以α＝β＝2kπ(k∈Z)，因为k∈Z，所以α，β有无限多个，包含α＝β＝0，故B，D成立．
4．已知cos(θ＋)＝，0<θ<，则cosθ等于( A )
A．
B．
C．
D．
[解析] 因为θ∈(0，)，所以θ＋∈(，)，
所以sin(θ＋)＝，故cosθ＝cos[(θ＋)－]
＝cos(θ＋)cos＋sin(θ＋)sin＝×＋×＝.
二、填空题
5.＝____.
[解析]
＝
＝
＝＝sin30°＝.
6．若cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－，且450°<β<540°，则sin(60°－β)＝__－__.
[解析] 由已知得cos[(α＋β)－α]＝cosβ＝－，
∵450°<β<540°，∴sinβ＝，
∴sin(60°－β)＝×－×＝－.
7．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanα·tanβ＝____.
[解析] 由已知，得即
解得所以tanα·tanβ＝＝.
三、解答题
8．已知cosαcosβ＋sinαsinβ＝，－<β<0<α<.
(1)求sin(α－β)的值；
(2)若sinβ＝－，求sinα的值．
[解析] (1)∵cosαcosβ＋sinαsinβ＝，
∴cos(α－β)＝，
∵－<β<0<α<，∴0<α－β<π，
∴sin(α－β)＝.
(2)又sinβ＝－，∴cosβ＝，
由(1)得cos(α－β)＝，sin(α－β)＝，
∴sinα＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ
＝×＋×＝.
9．已知cosα＝，sin(α－β)＝且α，β∈(0，)．求：
(1)cos(2α－β)的值；
(2)β的值．
[解析] (1)因为α，β∈(0，)，
所以α－β∈(－，)．
又因为sin(α－β)＝>0，所以0<α－β<.
所以sinα＝＝，
cos(α－β)＝＝.
cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]
＝cosαcos(α－β)－sinαsin(α－β)
＝×－×＝.
(2)cosβ＝cos[α－(α－β)]
＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)
＝×＋×＝，
又因为β∈(0，)，所以β＝.第五章 5.5 5.5.1 第2课时
1．计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于( )
A．
B．
C．
D．
2．sin75°cos30°－sin15°sin150°的值等于( )
A．1
B．
C．
D．
3.cosα－sinα可化为( )
A．sin(－α)
B．sin(－α)
C．sin(＋α)
D．sin(＋α)
4．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，规定a·b＝x1x2＋y1y2.已知a＝(cos40°，sin40°)，b＝(sin20°，cos20°)，则a·b等于( )
A．1
B．
C．
D．
5．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝，β是第三象限角，求sin(β＋)的值．
第五章 5.5 5.5.1 第2课时
1．计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于( A )
A．
B．
C．
D．
[解析] ∵sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝.∴选A．
2．sin75°cos30°－sin15°sin150°的值等于( C )
A．1
B．
C．
D．
[解析] 原式＝cos15°cos30°－sin15°sin30°
＝cos(15°＋30°)＝cos45°＝.
3.cosα－sinα可化为( A )
A．sin(－α)
B．sin(－α)
C．sin(＋α)
D．sin(＋α)
4．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，规定a·b＝x1x2＋y1y2.已知a＝(cos40°，sin40°)，b＝(sin20°，cos20°)，则a·b等于( B )
A．1
B．
C．
D．
5．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝，β是第三象限角，求sin(β＋)的值．
[解析] ∵sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝，
∴sin[(α－β)－α]＝，
∴sinβ＝－.
又β是第三象限角，∴cosβ＝－.
因此sin(β＋)＝sinβcos＋cosβsin＝(－)×(－)＋(－)×(－)＝.
