第2章-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册练习（Word含解析）

第二章　一元二次函数、方程和不等式
考试时间120分钟，满分150分．
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题正确的是(　　)
A．若a>b，则<
B．若a>b>0，c>d，则a·c>b·d
C．若a>b，则a·c2>b·c2
D．若a·c2>b·c2，则a>b
2．若集合A＝，B＝{x|－1A．{x|－2≤x<2}　　　 B．{x|－1C．{x|－13．设A＝＋，其中a，b是正实数，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关系是(　　)
A．A≥B B．A>B
C．A4．已知2x＋3y＝3，若x，y均为正数，则＋的最小值是(　　)
A． B．
C．8 D．24
5．若不等式4x2＋ax＋4>0的解集为R，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|－16C．{a|a<0} D．{a|－86．当x>0时，不等式x2－mx＋9>0恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．{m|m<6} B．{m|m≤6}
C．{m|m≥6} D．{m|m>6}
7．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＋b＝12，c＝8，则此三角形面积的最大值为(　　)
A．4 B．4
C．8 D．8
8．已知关于x的不等式x2＋bx＋c<0(ab>1)的解集为空集，则T＝＋的最小值为(　　)
A． B．2
C．2 D．4
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)
9．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，则下列结论正确的是(　　)
A．a>0 B．b>0
C．c>0 D．a＋b＋c>0
10．使不等式x2－x－6<0成立的充分不必要条件是(　AC　)
A．－2C．011．设a，b为非零实数，且aA．a2>ab B．a2C．< D．a312．设a、b是正实数，下列不等式中正确的是(　　)
A．> B．a>|a－b|－b
C．a2＋b2>4ab－3b2 D．ab＋>2
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)
13．若x∈{x|x>1}，则y＝3x＋的最小值是____.
14．不等式ax2＋5x＋c>0的解集为，则a＝____，c＝___.
15．已知a>b>0，且m＝，n＝a2＋，则m＋n的最小值是___.
16．已知a>b，不等式ax2＋2x＋b≥0对一切实数x恒成立．存在x0∈R，使ax＋2x0＋b＝0成立，则的最小值为____.
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知关于x的不等式(k2＋4k－5)·x2＋4(1－k)x＋3>0的解集为R，求实数k的取值范围．
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝3mx2＋mx－2(m∈R)．
(1)当m＝1时，解不等式f(x)>0；
(2)若关于x的不等式f(x)<0的解集为R，求实数m的取值范围．
19．(本小题满分12分)已知函数y＝的定义域为R.
(1)求a的取值范围；
(2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－2x－8，g(x)＝2x2－4x－16，
(1)求不等式g(x)<0的解集；
(2)若对一切x>2，均有f(x)≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围．
21．(本小题满分12分)已知某公司生产某款手机的年固定成本为400万元，每生产1万部还需另投入160万元．设公司一年内共生产该款手机x(x≥40)万部并且全部销售完，每万部的收入为R(x)万元，且R(x)＝－.
(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万部)的函数关系式；
(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2＋mx＋n(m，n∈R)．
(1)若m＋n＝0，解关于x的不等式f(x)≥x(结果用含m式子表示)；
(2)若存在实数m，使得当x∈{x|1≤x≤2}时，不等式x≤f(x)≤4x恒成立，求负数n的最小值．
第二章　一元二次函数、方程和不等式
考试时间120分钟，满分150分．
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题正确的是(　D　)
A．若a>b，则<
B．若a>b>0，c>d，则a·c>b·d
C．若a>b，则a·c2>b·c2
D．若a·c2>b·c2，则a>b
[解析]　由题意，对于选项A中，当a>0>b时，此时>，所以A是错误的；对于选项B中，当0>c>d时，此时不等式不一定成立，所以B是错误的；对于选项C中，当c＝0时，不等式不成立，所以C是错误的．
根据不等式的性质，可得若ac2>bc2时，则a>b是成立的，所以D是正确的．
2．若集合A＝，B＝{x|－1A．{x|－2≤x<2}　　　 B．{x|－1C．{x|－1[解析]　由题意，A＝{x|≤0}
＝{x|－2≤x<1}，B＝{x|－1则A∩B＝{x|－13．设A＝＋，其中a，b是正实数，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关系是(　B　)
A．A≥B B．A>B
C．A[解析]　因为a，b都是正实数，且a≠b，
所以A＝＋>2＝2，即A>2，
B＝－x2＋4x－2＝－(x2－4x＋4)＋2
＝－(x－2)2＋2≤2，
即B≤2，所以A>B．
4．已知2x＋3y＝3，若x，y均为正数，则＋的最小值是(　C　)
A． B．
C．8 D．24
[解析]　因为2x＋3y＝3，x，y均为正数，
则＋＝(＋)(2x＋3y)
＝(12＋＋)≥＝8，
当且仅当＝且2x＋3y＝3，
即x＝，y＝时取等号，所以＋的最小值是8.
5．若不等式4x2＋ax＋4>0的解集为R，则实数a的取值范围是(　D　)
A．{a|－16C．{a|a<0} D．{a|－8[解析]　不等式4x2＋ax＋4>0的解集为R，
所以Δ＝a2－4×4×4<0，解得－8所以实数a的取值范围是{a|－86．当x>0时，不等式x2－mx＋9>0恒成立，则实数m的取值范围是(　A　)
A．{m|m<6} B．{m|m≤6}
C．{m|m≥6} D．{m|m>6}
[解析]　当x>0时，不等式x2－mx＋9>0恒成立?当x>0时，不等式m0时，x＋≥2＝6(当且仅当x＝3时取“＝”)，因此(x＋)min＝6，所以m<6.
7．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＋b＝12，c＝8，则此三角形面积的最大值为(　C　)
A．4 B．4
C．8 D．8
[解析]　由题意，p＝10，
S＝＝≤·＝8，当且仅当a＝b＝6时取等号，所以此三角形面积的最大值为8.
8．已知关于x的不等式x2＋bx＋c<0(ab>1)的解集为空集，则T＝＋的最小值为(　D　)
A． B．2
C．2 D．4
[解析]　易知a>0，则原不等式的解集为空集等价于x2＋abx＋ac<0的解集为空集，所以Δ＝a2b2－4ac≤0?4ac≥a2b2，
所以T＝≥
＝＝[(ab－1)＋＋4]
≥×(4＋4)＝4，
当且仅当ab－1＝，即ab＝3时，等号成立．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)
9．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，则下列结论正确的是(　BCD　)
A．a>0 B．b>0
C．c>0 D．a＋b＋c>0
[解析]　因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，故相应的二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，所以a<0，故A错误；易知2和－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则有＝－1<0，－＝>0，又a<0，故b>0，c>0，故BC正确；由二次函数的图象可知f(1)＝a＋b＋c>0，f(－1)＝a－b＋c<0，故D正确，故选BCD．
10．使不等式x2－x－6<0成立的充分不必要条件是(　AC　)
A．－2C．0[解析]　由x2－x－6<0得－2若使不等式x2－x－6<0成立的充分不必要条件，则对应范围是{x|－211．设a，b为非零实数，且aA．a2>ab B．a2C．< D．a3[解析]　对于A，当a＝2，b＝3时，a对于B，当a＝－2，b＝1时，a12，故B中不等式不恒成立；
对于C，－＝<0恒成立，故C中不等式恒成立；
对于D，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)[(a＋b)2＋b2]，∵a0，∴a312．设a、b是正实数，下列不等式中正确的是(　BD　)
A．> B．a>|a－b|－b
C．a2＋b2>4ab－3b2 D．ab＋>2
[解析]　对于A，>?1>?>，当a＝b>0时，不等式不成立，故A中不等式错误；对于B，a＋b>|a－b|?a>|a－b|－b，故B中不等式正确；对于C，a2＋b2>4ab－3b2?a2＋4b2－4ab>0?(a－2b)2>0，当a＝2b时，不等式不成立，故C中不等式错误；对于D，ab＋≥2>2，故D中不等式正确．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)
13．若x∈{x|x>1}，则y＝3x＋的最小值是__3＋2__.
[解析]　∵x>1，∴x－1>0，因此y＝3x＋＝3(x－1)＋＋3≥2＋3＝3＋2，
当且仅当3(x－1)＝，即x＝＋1时取等号，因此y＝3x＋的最小值是3＋2.
14．不等式ax2＋5x＋c>0的解集为，则a＝__－6__，c＝__－1__.
[解析]　由题意知a<0，且不等式对应方程的两个根分别为，，
根据根与系数的关系得解得
15．已知a>b>0，且m＝，n＝a2＋，则m＋n的最小值是__4__.
[解析]　由已知可得，a>b>0，所以m＋n＝＋a2＋＝＋(a2－ab)＋＋ab≥4，当且仅当a＝，b＝时，等号成立．
16．已知a>b，不等式ax2＋2x＋b≥0对一切实数x恒成立．存在x0∈R，使ax＋2x0＋b＝0成立，则的最小值为__2__.
[解析]　已知不等式ax2＋2x＋b≥0对一切实数x恒成立，
当a＝0时，2x＋b≥0，不符合题意；
当a≠0时，依题意知?
又存在x0∈R，使ax＋2x0＋b＝0成立，
∴4－4ab≥0?ab≤1，
因此ab＝1，且a>0，从而b>0，又a－b>0，
∴＝
＝(a－b)＋≥2，
当且仅当a－b＝，即a＝，b＝时，等号成立．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知关于x的不等式(k2＋4k－5)·x2＋4(1－k)x＋3>0的解集为R，求实数k的取值范围．
[解析]　当k2＋4k－5＝0时，k＝1或k＝－5.
若k＝1，则原不等式为3>0，恒成立，符合题意；若k＝－5，原不等式为24x＋3>0，不恒成立，不符合题意．当k2＋4k－5≠0时，
依题意得，
解得1故实数k的取值范围为{k|1≤k<19}．
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝3mx2＋mx－2(m∈R)．
(1)当m＝1时，解不等式f(x)>0；
(2)若关于x的不等式f(x)<0的解集为R，求实数m的取值范围．
[解析]　(1)当m＝1时，f(x)＝3x2＋x－2.
由f(x)>0可得3x2＋x－2>0，
解可得x>或x<－1，
故不等式的解集为{x|x>或x<－1}．
(2)因为不等式f(x)<0的解集为R，
所以3mx2＋mx－2<0恒成立．
①m＝0时，－2<0恒成立，符合题意，
②m≠0时，根据二次函数的性质可知，
解得－24综上可得，实数m的取值范围为{m|－2419．(本小题满分12分)已知函数y＝的定义域为R.
(1)求a的取值范围；
(2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0.
[解析]　(1)因为函数y＝的定义域为R，
所以ax2＋2ax＋1≥0恒成立．
①当a＝0时，1≥0恒成立；
②当a≠0时，则
解得0综上，a的取值范围为{a|0≤a≤1}．
(2)由x2－x－a2＋a<0得(x－a)[x－(1－a)]<0.
因为0≤a≤1，
所以①当1－a>a，
即0≤a<时，a②当1－a＝a，即a＝时，(x－)2<0，不等式无解；
③当1－a综上所述，当0≤a<时，解集为{x|a当a＝时，解集为?，当20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－2x－8，g(x)＝2x2－4x－16，
(1)求不等式g(x)<0的解集；
(2)若对一切x>2，均有f(x)≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围．
[解析]　(1)g(x)＝2x2－4x－16<0，
所以(2x＋4)(x－4)<0，所以－2所以不等式g(x)<0的解集为{x|－2(2)因为f(x)＝x2－2x－8，
当x>2时，f(x)≥(m＋2)x－m－15恒成立，
所以x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，
即x2－4x＋7≥m(x－1)．
因为对一切x>2，均有不等式≥m成立，而＝(x－1)＋－2≥2－2＝2(当且仅当x＝3时等号成立)，
所以实数m的取值范围是{m|m≤2}．
21．(本小题满分12分)已知某公司生产某款手机的年固定成本为400万元，每生产1万部还需另投入160万元．设公司一年内共生产该款手机x(x≥40)万部并且全部销售完，每万部的收入为R(x)万元，且R(x)＝－.
(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万部)的函数关系式；
(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
[解析]　(1)由题意，可得年利润W关于年产量x的函数关系式为W＝xR(x)－(160x＋400)
＝x(－)－(160x＋400)
＝74 000－－160x－400
＝73 600－－160x(x≥40)．
(2)由(1)可得W＝73 600－－160x
≤73 600－2
＝73 600－16 000＝57 600，
当且仅当＝160x，即x＝50时取等号，所以当年产量为50万部时，公司在该款手机的生产中取得最大值57 600万元．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2＋mx＋n(m，n∈R)．
(1)若m＋n＝0，解关于x的不等式f(x)≥x(结果用含m式子表示)；
(2)若存在实数m，使得当x∈{x|1≤x≤2}时，不等式x≤f(x)≤4x恒成立，求负数n的最小值．
[解析]　(1)由题得：x≤x2＋mx－m，即(x＋m)(x－1)≥0；
①m＝－1时可得x∈R；
②m<－1时，－m>1，可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥－m}；
③m>－1时，－m<1，
可得不等式的解集为{x|x≤－m或x≥1}．
(2)x∈{x|1≤x≤2}时，x≤x2＋mx＋n≤4x恒成立，
即为1≤x＋＋m≤4对x∈{x|1≤x≤2}恒成立，
即存在实数m，使得－x－＋1≤m≤－x－＋4对x∈{x|1≤x≤2}恒成立，
所以(－x－＋1)max≤m≤(－x－＋4)min，
即(－x－＋1)max≤(－x－＋4)min.
由y＝－x－(n<0)在[1,2]上递减，
所以－n≤2－，即n≥－4，所以负数n的最小值为－4.