甘肃省天水市一中2012届高三下学期第四次检测试题数学理

天水市一中2009级2011—2012学年第二学期第四次检测考试
理 科 数 学 试 题
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题) 两部分. 第I卷1至2页. 第II卷3至4页. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P ( A + B) = P ( A ) + P ( B )
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P ( A · B ) = P ( A ) · P ( B ) 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么
n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
（k=0,1,2,…,n）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
１.如果复数是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．1 B．-2 C．2 D．1或-2
2．函数的反函数是 （ ）
A． B．
C． D．
3．曲线在点（0，1）处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
4.已知向量满足，则的夹角等于 （ ）
　 A．　　　　　　B　　　　　　C .　　　　　　D　
5. 设α表示平面，a、b表示两条不同的直线，给定下列四个命题：①若a∥，a⊥b，则b⊥；②若a∥b，a⊥，则b⊥；③若a⊥，a⊥b，则b∥；④若a⊥,b⊥,则a∥b．其中为假命题的是
A．②③　　　　 B．　①③　　　　　 C．②④　　　 D．①③④
6．若，则下列不等式：①；②③④中，正确的不等式有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．若的展开式中，只有第四项的系数最大，那么这个展开式的常数项是（ ）
A．20 B．15 C． D．6
8．为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
9设Sn是等差数列的前n项和，若 ,则的取值区间为（ ）
A． B．[3,4] C．[4,7] D．[3,7]
10．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）
　　A． B． C． D．
11．设抛物线的焦点F是双曲线右焦点．若M与N的公共弦AB恰好过F，则双曲线N的离心率e的值为( )
A． B． C． D
12. 若直角坐标平面内，、HYPERLINK " http://www./" EMBED Equation.DSMT4 两点满足条件： ① 点、HYPERLINK " http://www./" EMBED Equation.DSMT4 都在函数图像上；
②点HYPERLINK " http://www./" EMBED Equation.DSMT4 、关于原点对称，则称点对（HYPERLINK " http://www./" EMBED Equation.DSMT4 、）是函数HYPERLINK " http://www./" EMBED Equation.3 的一个“姐妹点对”（点对（、HYPERLINK " http://www./" EMBED Equation.DSMT4 ）与点（、HYPERLINK " http://www./" EMBED Equation.DSMT4 ）可看作同一个“姐妹对”）．已知函数 HYPERLINK " http://www./" EMBED Equation.3 ，则的“姐妹点对”的个数为 （ ）
A．1 B． 2 C． 3 D． 4
第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上
13．已知函数,则不等式的解集为 ．
14．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，为抛物线上的一点，则满足= 。
15．设等比数列的前项之和为，已知，且，则 ．
16．已知定义域为的函数满足：①对任意，恒有 成立；当时，。给出如下结论：
①对任意，有；②函数的值域为；③存在，使得；④“函数在区间上单调递减”的充要条件是 “存在，使得”。
其中所有正确结论的序号是 。
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）在三角形ABC中，、、分别是角A、B、C的对边，，，且∥．
（1）求角A的大小；
（2）当时，求函数的值域．
18 . （本题满分12分）已知斜三棱柱的侧面与底面ABC垂直，，，且
①求侧面与底面ABC所成锐二面角的大小
②求顶点C到侧面A1ABB1的距离
19. （本题满分12分）某班同学利用寒假进行社会实践，对岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
（Ⅰ）补全频率分布直方图并求、、的值；
（Ⅱ）从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取人参加户外低碳体验活动，其中选取人作为领队，记选取的名领队中年龄在岁的人数为，求的分布列和期望．
20. （本题满分12分）已知数列的前n项和（n为正整数）。
（Ⅰ）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，试比较与的大小，并予以证明。
21. （本题满分12分）已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：
x 3 4
0
（1）求，的标准方程；
（2）请问是否存在直线满足条件：①过的焦点；②与交于不同两点，，且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
22. （本题满分12分）已知函数是自然对数的底数，）
（1）当时，求的单调区间；
（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围；
（3）证明对一切恒成立。
天水市一中2010级2010—2012学年第二学期第四次检测考试试题
数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B B A C B C A A D C B B
13. 14. 15. 0 16,.理①②④ 文①3
17．（本小题满分12分）在三角形ABC中，、、分别是角A、B、C的对边，
，，且∥．
（1）求角A的大小；
（2），求函数的值域．
解：解：（1）由∥，得……………………………2分
∴
…………………………4分
在锐角三角形ABC中，
∴，故 …………………………6分
（2）在锐角三角形ABC中，，故…………………………7分
∴
…………………………9分
∵，∴
∴，
∴函数的值域为…………………………12分
文： （2）b=4
18.
19（文）。已知为等比数列，为等差数列的前n项和，
（1）求的通项公式；
（2）设，求
（Ⅰ）， （3分）
． （6分）
（Ⅱ） ①
②
①-②得： （9分）
整理得： （12分
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）第二组的频率为，所以高为．频率直方图如下：
--------------------2分
第一组的人数为，频率为，所以．
由题可知，第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为，所以．
第四组的频率为，所以第四组的人数为，所以．---------5分
（Ⅱ）因为岁年龄段的“低碳族”与岁年龄段的“低碳族”的比值为，所以采用分层抽样法抽取18人，岁中有12人，岁中有6人．---------6分
随机变量服从超几何分布．
，，
，．-----8分
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
-------------------------------10分
∴．----12分
20（理）已知数列的前n项和（n为正整数）。
（Ⅰ）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，试比较与的大小，并予以证明。
20.解析：（I）在中，令n=1，可得，即
当时，，
.
.
又数列是首项和公差均为1的等差数列.
于是.
(II)由（I）得，所以
由①-②得
于是确定的大小关系等价于比较的大小
由
可猜想当证明如下：
证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。
（2）假设时
所以当时猜想也成立
综合（1）（2）可知 ，对一切的正整数，都有
证法2：当时
综上所述，当，当时
21． 解：（1）设抛物线：，则有，据此验证4个点知，在抛物线上，易求：．
设：，把点代入得
，解得，，的方程为：．
综上，的方程为：，的方程为：。
（2）假设存在这样的直线，设其方程为，两交点坐标为，
由消去，得，
①
，②
，③
将①②代入③得，解得
所以假设成立，即存在直线满足条件，且的方程为或．
22.已知函数是自然对数的底数，）
（1）当时，求的单调区间；
（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围；
（3）证明对一切恒成立。
（1）当a=-15时
上为减函数，对于任意，都有，故有
即
即． ……12分
21.(文)已知函数在区间（0，2）单调递减，在区间（2，3）单调递增。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）已知函数求证：与函数的图象恰有1个交点。
(1) a=-5