江西省宜春市丰城九高2020-2021学年高二下学期期中考试数学（文）试题 Word版含答案

丰城九高2020-2021学年高二下学期期中考试
数学（文）试卷

选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．设复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
2． 对变量有观测数据，得散点图①，对变量
有观测数据，得散点图②．由这两个散点图可以判断（ ）
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关
C．变量x与y负相关，u与v正相关
D．变量x与y负相关，u与v负相关
3． 若,一定有（ ）
A． B．
C． D．
4． 经过平面内不同的两点与平面垂直的平面有（ ）
A．个 B．个 C．无数个 D．个或无数个
5．对于指数曲线，令，经过非线性化回归分析之后，可以转化成的
形式为（ ）
A． B． C． D．
6．已知是不同的直线，是不同的平面，以下命题正确的是（ ）
A．若∥，，则∥；
B．若，∥，则；
C．若∥，则∥；
D．若，∥，∥，则；
7．从1,2,3,4,5中任取两个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．甲、乙两名射击运动员独立地对同一目标射击，甲击中目标的概率为，乙击中目标的概率为，则目标被击中的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，是以为圆心、半径为2的圆的内
接正方形，是正方形的内接正方形，
且分别为的
中点．将一枚针随机掷到圆内，用表示事件
“针落在正方形内”，表示事件“针落在正
方形内”，则 （ ）
A． B． C． D．
10．执行如图所示程序框图，输出的最后一个的值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知正三棱锥的底面边长为，高为，则三棱锥的内切球的表面积为（ ）A． B． C． D．
12．如图,多面体中，，
且两两垂直,给出下列4个结论：
①；
②经过点四点的球的体积为；
③直线平面； ④直线与所成角的余弦值为．
其中正确的结论的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．
13．不等式的解集为____________________．
14．已知，，，则的最小值是 ．
15．一个三位自然数，百位，十位，个位上的数字依次为，当且仅当时，可称这个三位数为“凸数”(如)，若且互不相等，则这个三位数为“凸数”的概率是__________．
16．在正方体中，为棱上一点，且，为棱的中点，且平面与交于点，则__________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
18．（本题满分12分）如图，已知四边形为等腰梯形，，
为的四等分点．现将沿折起，使平面平面，连接、．　
（1）证明：；
（2）点在线段上，，且满足平面，求实数的值．
19．（本题满分12分）某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示：
使用年限（单位：年） 1 2 3 4 5 6 7
失效费（单位：万元） 2．90 3．30 3．60 4．40 4．80 5．20 5．90
（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系．请用相关系数加以说明；（精确到）
（2）求出关于的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费．
参考公式：相关系数．一般地，相关系数的绝对值在以上（含）认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．
线性回归方程中斜率和截距最小二乘估计计算公式：
，．
参考数据：，，．
20．（本题满分12分）随着手机的日益普及，学生使用手机对学校管理和学生发展带来诸多不利影响．为保护学生视力，让学生在学校专心学习，防止沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，对我校100名学生调查得到部分统计数据如下表，
不使用手机 使用手机 合计
学习成绩优秀人数
20 50
学习成绩不优秀人数
30 50
合计 50 50 100
（1）运用独立性检验思想，判断是否有95%的把握认为中学生使用手机对学习有影响？
（2）在“学习成绩优秀”的人数中，用分层抽样的方法抽取人．若从人中抽取人进一步分析使用智能手机对学习的影响，求恰好抽到两名学生“不使用手机”的概率．
参考数据：，其中．
0．10 0．05 0．01 0．005 0．001
2．706 3．841 6．635 7．879 10．828
21．（本题满分12分）在四棱锥中，，，，，为线段的中点．
（1）求证：平面；
（2）求四面体的体积．
22．（本题满分12分）已知函数．
（1）若函数在时取得极值，求实数的值；
（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．
丰城九高2020-2021学年高二下学期期中考试
文科数学答案
一 选择题 BCBBB CCDCC CC
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．
13．
14．16
15．
16．
三、解答题：本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（1）当时，，
当时，由得，解得，
当时，由得，解得，
当时，由得，解得，
综上，不等式的解集为 …………………5分
（2），由不等式恒成立，，
，解得或，
即实数的取值范围为 …………………10分

18．解：（1）平面平面，平面平面
又平面，又平面；………………6分
（2）连接交于，连接.
梯形中，，，………………8分
由平面，平面，平面平面，
在. 即．………………12分
19【解析】（1）由题意，知，
，……………………………2分
．
所以结合参考数据知．………………5分
因为与的相关系数近似为0.99，所以与的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合与的关系．……………………………6分
（2）因为，
所以．……………………………10分
所以关于的线性回归方程为，将代入线性回归方程，得．
所以估算该种机械设备使用10年的失效费为7.3万元．……………………………12分
20．（本题满分12分）随着手机的日益普及，学生使用手机对学校管理和学生发展带来诸多不利影响．为保护学生视力，让学生在学校专心学习，防止沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，对我校100名学生调查得到部分统计数据如下表，
不使用手机 使用手机 合计
学习成绩优秀人数
20 50
学习成绩不优秀人数
30 50
合计 50 50 100
（1）运用独立性检验思想，判断是否有95%的把握认为中学生使用手机对学习有影响？
（2）在“学习成绩优秀”的人数中，用分层抽样的方法抽取人．若从人中抽取人进一步分析使用智能手机对学习的影响，求恰好抽到两名学生“不使用手机”的概率．
参考数据：，其中．
0．10 0．05 0．01 0．005 0．001
2．706 3．841 6．635 7．879 10．828
【解析】（1）由已知，利用公式可得

故有的把握认为“性格与血型”有关．……………………………5分
（2）由已知，在样本中，“学习成绩优秀”的人有人，从中抽取人
“不使用手机”的人中占人
“使用手机”的人中占人，……………………………7分
令抽取的“不使用手机”的人依次为，，
“使用手机”的人依次为，
从人中抽取人的所有基本事件为
，，，，，，，，，，共个基本事件，……………………………10分
则恰好抽到两名“不使用手机”人的基本事件数为个，
所求事件的概率为．……………………………12分
21．（本题满分12分）在四棱锥中，，，，，为线段的中点．
（1）求证：平面；
（2）求四面体的体积．
解：（1）证明：取的中点，连接．
　分别为的中点，且，
又，，，所以，
可得， 四边形时平行四边形，
平面，平面，平面．………５分
（2）取的中点，连接,取的中点，连接,
在直角梯形中，由（1）得，，，由，为的中点，得，所以平面，………７分
又因为，平面，即
， ，，，，平面，所以，平面．．………12分
22．（本题满分12分）已知函数．
（1）若函数在时取得极值，求实数的值；
（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．
解：（1），依题意有即，
解得：，……………………………4分
检验：当时，所以，
此时：函数在单调递减，在单调递增，满足在时取得极值，
综上，.……………………………5分
（2）依题意：对任意恒成立等价转化为
在恒成立 ………………………6分
因为
令得： ………………………8分
①当即时，函数在恒成立，则在单调递增，
于是，解得：，此时： ……………………10分
②当即时，函数在单调递减，在单调递增，
于是，不合题意，此时：
综上所述：实数的取值范围是.………………………12分.
…………………12分.