1.1菱形的性质课时突破训练-2021-2022学年度北师大版九年级数学上册（Word版 含解析）

2021-2022学年度北师大版九年级数学上册1.1菱形的性质课时突破训练
一、选择题
1.关于菱形的性质，以下说法不正确的是（?? ）
A.?四条边相等????????????B.?对角线相等??????????????C.?对角线互相垂直????????D.?是轴对称图形
2.如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC=8,BD=10 ，则 △AOD 的面积为（?? ）
A.?9?????????????????????????B.?10???????????????????????C.?11??????????????????????D.?12
3.如图，四边形 ABCD 是菱形，点E，F分别在 BC,DC 边上，添加以下条件不能判定 △ABE≌△ADF 的是（?? ）
A.?BE=DF??????????B.?∠BAE=∠DAF????????.?AE=AD????????????D.?∠AEB=∠AFD
4.如图，在菱形ABCD中， ∠A=60° ，点E，F分別在边AB，BC上， AE=BF=2 ， △DEF 的周长为 36 ，则AD的长为（?? ）
A.?6?????????????????????B.?23?????????????????????C.?3+1?????????????????????D.?23-1
5.如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上一个动点，过点P分别作AB、BC的垂线，垂足分别是F和E ． 若菱形ABCD的周长是12cm，面积是6cm2 ， 则PE＋PF的值是（??? ）
A.?1.5???????????????????????????????????B.?1????????????????????????????????????C.?2????????????????D.?4
6.如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O ， DE⊥BC于点E ， 连接OE ， 若∠ABC＝140°，则∠OED＝（　　）

A.?20°??????????????????????????B.?30°?????????????????C.?40°??????????????????????????D.?50°
7.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O ， 过点D作DH⊥AB于点H ， 连接OH ， 若OA=6，S菱形ABCD=48，则OH的长为（??? ）
A.?4?????????????????????????????B.?8??????????????????????????C.?13??????????????????????????D.?6
8.如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为（??? ）??
?
A.?74???????????????????????B.?95?????????????????????????C.?1910???????????????????D.?763
9.如图，在菱形 ABCD 中， AC=26 ， BD=23 ， DH⊥AB 于点 H ，则 BH 的长为（?? ）
A.?3????????????????B.?23???????????????????????????C.?2????????????????????????D.?22
10.如图，在菱形 ABCD 中，点 P 是对角线 BD 上一点， Q 是 BC 中点，若菱形周长是16， ∠A=120° ，则 PC+PQ 的最小值为（??? ）
A.?2 3??????????????????????????B.?2????????????????????????????C.?3??????????????????D.?33
二、填空题
11.已知菱形ABCD的边长为5cm，对角线AC=6cm，则其面积为________cm2
12.如图，菱形 ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ，点 E 是边 AB 的中点，若 OE=6 ，则 BC 的长为________.
13.菱形 ABCD 中，对角线 AC=10,BD=24 ，则菱形的高等于________.
14.如图，菱形 ABCD 的边长为 6cm ， ∠BAD=60° ，将该菱形沿AC方向平移 23cm 得到四边形 A'B'C'D' ， A'D' 交CD于点E，则点E到AC的距离为________ cm .
?
15.如图，在菱形 ABCD 中， ∠BAD=60° ，点E在边 BC 上，将 △ABE 沿直线 AE 翻折180°，得到 △AB'E ，点B的对应点是点 B' 若 AB'⊥BD ， BE=2 ，则 BB' 的长是________．
16.如图，四边形 ABCD 是菱形，点 E,F 分别在边 BC，CD 上，其中 CE=13BC,CF=13CD,P 是对角线 BD 上的动点，若 PE+PF 的最小值为 42,AC=6 ，则该菱形的面积为________
三、解答题
17.如图，四边形 ABCD 是菱形，点 E 、 F 分别在边 AB 、 AD 的延长线上，且 BE=DF .连接 CE 、 CF .
求证： CE=CF .
18.如图，在 Rt△ABC 中， ∠BAC=90° ， D 是 BC 的中点， E 是 AD 上的点，过点 A 作 AF//BC 交 BE 的延长线于点 F ，若四边形 ADCF 是菱形，求证： BE=FE ．
19.如图，已知菱形 ABCD 中， ∠B=60° ，点E、F分别在边 BC 、 CD 上，且 ∠EAF=60° ，联结 EF ．
（1）求证： △AEF 是等边三角形；
（2）当 AB=2 时，求 △AEF 周长的最小值．
20.四边形 ABCD 为菱形， BD 为对角线，在对角线 BD 上任取一点 E ，连接 CE ，把线段 CE 绕点 C 顺时针旋转得到线段 CF ，使得 ∠ECF=∠BCD ，点 E 的对应点为点 F ，连接 DF ．
?
（1）如图1，求证： BE=DF ；
（2）如图2，若 ∠DFC=2∠DBC ，在不添加任何辅助线的前提下，请直接写出五对线段，使每对线段的和等于 BD （ BE 和 DE 除外）．
答案
一、选择题
1.解：A、菱形的四条边都相等，A选项正确，不符合题意；
B、菱形的对角线不一定相等，B选项错误，符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直，C选项正确，不符合题意；
D、菱形是轴对称图形，D选项正确，不符合题意；
故答案为：B.
2. ∵ABCD 是菱形 ∴AC⊥BD,AO=OC,BO=OD
△AOD 的面积 =12AO×DO=12×12AC×12BD=12×12×8×12×10=10
故答案为：B.
3.解: ∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
A. 添加 BE=DF 可以，
在△ABE和△ADF中，
{AB=AD∠B=∠DBE=DF ，
∴ △ABE≌△ADF (SAS)，
故答案为：A可以；
B.添加 ∠BAE=∠DAF 可以，
在△ABE和△ADF中
{∠BAE=∠DAF∠B=∠DAB=AD ，
∴ △ABE≌△ADF (AAS)；
故答案为：B可以；
C. 添加 AE=AD 不可以，条件是边边角故不能判定；
故答案为：C不可以；
D. 添加 ∠AEB=∠AFD 可以，
在△ABE和△ADF中
{∠BEA=∠DFA∠B=∠DAB=AD ，
∴ △ABE≌△ADF (SAS).
故答案为：D可以；
故答案为：C.
4.解：连接BD，过点E作EM⊥AD，
∵ AE=BF=2 ， ∠A=60° ，
∴ME=AE×sin60°=2× 32 = 3 ，AM= AE×cos60°=2× 12 =1，
∵在菱形ABCD中，
∴AD＝AB＝BC＝CD，∠C＝∠A＝60°，???
∴△ABD和△BCD均为等边三角形，
∴∠DBF=∠A=60°，BD=AD，
又∵ AE=BF=2 ，
∴△BDF≌△ADE，
∴∠BDF=∠ADE，DE=DF，
∴∠ADE＋∠BDE＝60°＝∠BDF＋∠BDE，即：∠EDF=60°，
∴ △DEF 是等边三角形，
∵ △DEF 的周长为 36 ，
∴DE= 13 × 36 = 6 ，
∴DM= (6)2-(3)2=3 ，
∴AD=AM+DM=1+ 3 .
故答案为：C.
5.如图，连接PB
∵四边形ABCD是菱形，其周长为12cm
∴AB=BC=3cm， S△ABC=12S菱形=3 cm2
∵ S△PAB+S△PBC=S△ABC ，PF⊥AB ， PE⊥BC
∴ 12AB·PF+12BC·PE=3
即PE+PF=2cm
故答案为：C．
6.解：∵四边形ABCD是菱形，
∴O为BD中点，∠DBE＝ 12 ∠ABC＝70°．
∵DE⊥BC ，
∴在Rt△BDE中，OE＝BE＝OD ，
∴∠OEB＝∠OBE＝70°．
∴∠OED＝90°﹣70°＝20°．
故答案为：A ．
7.解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=6，OB=OD ， AC⊥BD ，
∴AC=12，
∵DH⊥AB ，
∴∠BHD=90°，
∴ OH=12BD ，
∵菱形ABCD的面积 =12×AC×BD=12×12×BD=48 ，
∴BD=8，
∴ OH=12BD=4 ；
故答案为：A．
8.解：连接BE ， BD ， 如图,?
∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°,?
∴△BDC为等边三角形， ∠C=∠A=60°,
∴∠CBE=90°-60°=30°.
∵E点为CD的中点，?
∴CE=DE=1,BE⊥CD.?
在Rt△BCE中，
BC=2CE=2，
BE= 22-12=3 .?
∵AB∥CD,?
∴BE⊥AB.
∵菱形纸片翻折,使点A落在CD的中点E处,
∴EF=AF.
设EF=AF=x,则BF=2-x,?
在Rt△BEF中,
(2-x)2+(3)2=x2 ,
解得 x=7x .
故答案为：A.?
9.∵在菱形ABCD中，AC=2 6 ， BD=23 ，
∴AO=CO= 12 AC= 6 ，BO=DO= 12 BD= 3 ，
∴AB= 6+3 =3，
∴DH×3= 12 AC×BD，
∴DH= 12×26×233 = 22 ，
∴BH= (23)2-(22)2 =2，
故答案为：C.
10.解：如图，由菱形的对称轴可知，点 A 和点 C 关于 BD 对称，连接 AQ ， AQ 即为所求 PC+PQ 的最小值．
连接 AC ，
∵∠BAD=120° ，四边形 ABCD 是菱形，
∴∠ABC=60° ， AB=BC ，
∴△ABC 是等边三角形，
∵ 点 Q 为 BC 的中点，
∴AQ⊥BC ，
∵ 菱形 ABCD 的周长为16，
∴AB=BC=4 ，
在 Rt△ABQ 中， ∠ABC=60° ，
∴∠BAQ=30° ，
∴BQ=12AB=12×4=2 ，
∴AQ=AB2-BQ2=42-22=23 ．
故答案为：A．
二、填空题
11.解：如图所示：

∵菱形ABCD的边长为5cm，对角线AC=6cm，
∴OA=OC=3cm，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，由勾股定理得OB=AB2-OA2=4 ，
∴BD=8cm，
∴菱形的面积=12×6×8=24（cm2） ，
故答案为：24.
12.解： ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴OA=OC ，
∵ 点 E 是边 AB 的中点，
∴OE 是 △ABC 的中位线，
∴BC=2OE=2×6=12 ，
故答案为：12.
13.解：如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，即AE为菱形ABCD的高，
∵菱形ABCD中，AC=10，BD=24，
∴OB= 12 BD=12，OA= 12 AC=5，
在Rt△ABO中，AB=BC= 122+52 =13，
∵S菱形ABCD= 12×AC×BD=BC×AE ，
∴ 12×10×24=13×AE ，
解得：AE= 12013 ，
故答案为： 12013 .
14.∵∠BAD=60°，
?
∴连接对角线AC,BD，则AC⊥BD，且AC平分∠BAD,???
∴在Rt△ADO中， DO=12AD=12×6=3
利用勾股定理得 AO=AD2-DO2=62-32=33
又∵AC=2AO,
∴AC= 63 ，
由题可知 AA' = 23 ，
∴A’C= AC-AA'=63-23=43 ;
由平移可知 ∠D'A'C =∠DAC=30°,而∠DAC=∠DCA,???
∴ ∠D'A'C =∠DCA，即 ∠EA'C = ∠ECA' =30°，
∴ △EA'C 是等腰三角形；
过点E作EF⊥AC，垂足为F，如图所示：
则由等腰三角形三线合一可得：A’F=FC= 12A'C=23 ,
在Rt△ECF中， EF=12EC ,设EF=x，则EC=2x，
由勾股定理得： CF2+EF2=EC2
x2+(23)2=(2x)2 ，解得x=2，
故填：2.
15.解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB=AD,AD//BC ，
∵ ∠BAD=60° ，
∴ ∠ABE=120° ， △ABD 是等边三角形，即 ∠ABD=60° ，
∵ AB'⊥BD ，
∴ ∠BAB'=30° ，
由折叠的性质可得 ∠BAE=∠EAB'=15° ， BE=B'E=2 ， ∠BEA=∠B'EA ，
在 △BEA 中，由三角形内角和可得 ∠BEA=45° ，
∴ ∠BEA=∠B'EA=45° ，即 ∠BEB'=90° ，
∴ △BEB' 是等腰直角三角形，
∴ BB'=2BE=22 ；
故答案为 22 ．
16.解：已知四边形ABCD为菱形，AC=6，PE+PF的最小值为 42 ，
∵CE= 13 BC ， CF= 13 CD ，
∴CE=CF ，
如图①，在AB上取AE′=CE ，
则BE′=BE ， 又BP=BP ， ∠PBE=∠PBE′，
∴△BE′P≌△BEP（SAS），
∴PE′=PE ，
则PE+PF=PE′+PF ，
∵AE=CF ，
∴E′，O ， F三点共线，
∵两点之间线段最短，
∴PE+PF最短为点P在点O处，
则E′F= 42 ，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD ， AO= 12 AC=3，E′O= 12 E′F= 22 ，四边形ABCD的面积=△ABO的面积的4倍，
将△ABO单独拿出，
如图②，AO⊥BO ， E′为三等分点，
∴△BAO∽△BE′H ，
∴E′H= 23 AO=2，E′H⊥BO ，
设BO=x ， 则HO= 13 x ，
在△E′HO中， E'H2+HO2=E'O2 ，
即 22+(x3)2=(22)2 ，
解得：x=6，
∴△BOA的面积= 12BO?AO=12×6×3=9 ,
∴平行四边形ABCD的面积=4×△BOA的面积=36，
故答案为：36．
三、解答题
17. 证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，∠ADC=∠ABC，
∴∠CDF=∠CBE，
在△BEC和△DFC中，
{BE=DF∠CBE=∠CDFBC=CD ，
∴△BEC≌△DFC（SAS），
∴CE=CF
18. 证明：∵ ∠BAC=90° ， D 是 BC 的中点，
∴ AD=BD=12BC ．
∵四边形 ADCF 是菱形，
∴ AD=AF ．
∴ BD=AF ．
（以下解答提供两种不同方法供参考）
方法一：
∵ AF//BC ，
∴ ∠AFE=∠DBE ， ∠FAE=∠BDE ．
在 △AFE ， △DBE 中， {∠AFE=∠DBE，BD=AF，∠FAE=∠BDE.
∴ △AFE≌△DBE ．
∴ BE=FE ．
方法二：连接 DF ，
∵ AF//BC ，
∴四边形 ABDF 是平行四边形．
∵点 E 是 ?ABDF 对角线 AD 、 BF 的交点，
∴ BE=FE ．
19. （1）证明：连接AC，
∵菱形ABCD中，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵∠EAF=60°，
∴∠BAE+∠CAE=∠CAE+∠CAF=60°，
∴∠BAE=∠CAF，
∵∠B=∠ACD=60°，AC=AB，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE=AF，
∴△AEF是等边三角形
（2）解：∵△AEF是等边三角形，
∴△AEF的周长=3AE，
过点A作AE⊥BC交于点E，
此时AE最短，即△AEF周长最小，
在Rt△ABE中，AB=2，∠B=60°，∠BAE=30°，
∴BE=1，AE= 3 ，
∴△AEF周长最小为 33
20. （1）解：证明： ∵ 四边形 ABCD 为菱形，
∴BC=CD ，
∵ 把线段 CE 绕点 C 顺时针旋转得到线段 CF ，
∴CE=CF ，
∵∠ECF=∠BCD ，
∴∠BCE=∠DCF ，
在 ΔBCE 与 ΔDCF 中，
{BC=CD∠BCE=∠DCFCE=CF ，
∴ΔBCE?ΔDCF(SAS) ，
∴BE=DF ．
（2）∵ΔBCE?ΔDCF ，
∴BE=DF ， ∠BEC=∠DFC ，
∵CB=CD ，
∴∠CBD=∠CDE ，
∵∠DFC=2∠CBD ，
∴∠BEC=2∠CDE ，
∵∠CEB=∠CDE+∠ECD ，
∴∠EDC=∠ECD ，
∴ED=EC=CF ，
∴BD=BE+EC=BE+CF=DF+DE=DF+CE=DF+CF ．