课时作业(十八) 函数的单调性
[练基础]
1．[多选题]如图所示的是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)的图象，则下列关于函数f(x)的说法正确的是( )
A．函数在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数在区间[1,4]上单调递增
C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减
D．函数在区间[－5,5]上没有单调性
2．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是( )
A．y＝－3x＋2 B．y＝
C．y＝x2－4x＋5
D．y＝3x2＋8x－10
3．函数f(x)＝x|x－2|的增区间是( )
A．(－∞，1]
B．[2，＋∞)
C．(－∞，1]，[2，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
4．已知函数y＝f(x)在区间[－5,5]上是增函数，那么下列不等式中成立的是( )
A．f(4)>f(－π)>f(3)
B．f(π)>f(4)>f(3)
C．f(4)>f(3)>f(π)
D．f(－3)>f(－π)>f(－4)
5．若函数y＝f(x)在定义域为R，且为减函数，f(1－a)
6．已知函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的增函数，则满足f(2x－1)[提能力]
7．[多选题]已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5，下列关于函数f(x)的单调性说法正确的是( )
A．函数f(x)在R上不具有单调性
B．当a＝1时，f(x)在(－∞，0)上递减
C．若f(x)的单调递减区间是(－∞，－4]，则a的值为－1
D．若f(x)在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是
8．若函数f(x)＝在区间[m，＋∞)上为增函数，则实数m的取值范围是________．
9．已知函数f(x)＝.
(1)求f(f(3))的值；
(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用定义加以证明；
(3)确定x的取值范围，使得函数f(x)＝的图象在x轴上方(写出结论即可)．
[战疑难]
10．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)对任意x，y∈(0，＋∞)，恒有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且当00，f＝1.
(1)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性并加以证明；
(2)若f(x)＋f(2－x)<2，求x的取值范围．
课时作业(十八) 函数的单调性
1．解析：若一个函数出现两个或两个以上的单调性相同的区间，不一定能用“∪”连接，故选ABD.
答案：ABD
2．解析：显然A、B两项在(0,2)上为减函数，排除；对C项，函数在(－∞，2)上为减函数，也不符合题意；对D项，函数在上为增函数，所以在(0,2)上也为增函数，故选D.
答案：D
3.
解析：f(x)＝x|x－2|
＝
作出f(x)简图如图：
由图象可知f(x)的增区间是(－∞，1]，[2，＋∞)．
答案：C
4．解析：由函数y＝f(x)在区间[－5,5]上是增函数，得f(4)>f(π)>f(3)>f(－3)>f(－π)>f(－4)．
答案：D
5．解析：由减函数定义得1－a>2a－1,
解得a<.
答案：
6．解析：由函数的定义域和单调性知，不等式f(2x－1)答案：
7．解析：当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在R上是减函数，A错误；当a＝1时，f(x)＝2x2－8x＋5，其单调递减区间是(－∞，2]，因此f(x)在(－∞，0)上递减，B正确；由f(x)的单调递减区间是(－∞，－4]得a的值不存在，C错误；在D中，当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上是减函数；当a≠0时，由得0答案：BD
8．解析：f(x)＝＝＝2＋，根据函数图象平移法则，可理解为f(x)是由h(x)＝－图象向左平移一个单位，再向上平移两个单位得到．如图．要使函数f(x)＝在区间[m，＋∞)上为增函数，则需满足m∈(－1，＋∞)．
答案：(－1，＋∞)
9．解析：(1)因为f(3)＝，所以f(f(3))＝f＝＝3.
(2)函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
证明：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1由x1，x2∈(1，＋∞)，得(x1－1)(x2－1)>0，
由x10，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．由单调性的定义可知，f(x)＝在(1，＋∞)上单调递减．
(3)作出函数f(x)＝的图象，如图所示，由图象知，当x∈{x|x<0或x>1}时，f(x)＝的图象在x轴上方．
10．解析：(1)函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．证明如下：
?x1，x2∈(0，＋∞)，且x1∵x1，x2∈(0，＋∞)，且x1∴0<<1，∴f>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
(2)令x＝y＝，则f＝2f＝2.
由f(x)＋f(2－x)<2得f(x(2－x))∴
解得1－故x的取值范围是.课时作业(十九) 函数的最大(小)值
[练基础]
1．函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为( )
A．10,6
B．10,8
C．8,6
D．以上都不对
2．已知函数f(x)＝，x∈[－8，－4)，则下列说法正确的是( )
A．f(x)有最大值，无最小值
B．f(x)有最大值，最小值
C．f(x)有最大值
，无最小值
D．f(x)有最大值2，最小值
3．函数f(x)＝x－的最小值为( )
A．－
B．－
C．－1
D．0
4．函数f(x)＝的最大值为________．
5．函数f(x)＝在[1，b](b>1)上的最小值是，则b＝________.
6．已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明；
(2)求该函数的最大值和最小值．
[提能力]
7．[多选题]已知函数f(x)＝x2－2x＋2，关于f(x)的最大(小)值有如下结论，其中正确的是( )
A．f(x)在区间[－1,0]上的最小值为1
B．f(x)在区间[－1,2]上既有最小值，又有最大值
C．f(x)在区间[2,3]上有最小值2，最大值5
D．当01时，f(x)在区间[0，a]上的最小值为1
8．已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是________．
9．已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.
(1)求a、b的值；
(2)设f(x)＝，若不等式f(x)－k>0在x∈(2,5]上恒成立，求实数k的取值范围．
[战疑难]
10．已知≤a≤1，若函数f(x)＝ax2－2x＋1在区间[1,3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)＝M(a)－N(a)．
(1)求g(a)的函数表达式；
(2)求函数g(a)单调增区间与单调减区间，并求出g(a)的最小值．
课时作业(十九) 函数的最大(小)值
1．解析：当－1≤x<1时，6≤x＋7<8，
当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10.
∴f(x)min＝f(－1)＝6，
f(x)max＝f(2)＝10.故选A.
答案：A
2．解析：f(x)＝＝2＋，它在[－8，－4)上单调递减，因此有最大值f(－8)＝，无最小值．故选A.
答案：A
3．解析：令＝t≥0，则x＝t2－1，则f(t)＝t2－t－1＝2－，故函数的最小值在t＝取到，f(t)min＝－.
答案：A
4．解析：当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.
答案：2
5．解析：因为f(x)在[1，b]上是减函数，所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)＝＝，所以b＝4.
答案：4
6．解析：(1)函数f(x)在[3,5]上是单调递增的，
证明：设任意x1，x2，满足3≤x1因为f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝，
因为3≤x10，x2＋1>0，x1－x2<0.
所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)所以f(x)＝在[3,5]上是单调递增的．
(2)f(x)min＝f(3)＝＝，
f(x)max＝f(5)＝＝.
7．解析：函数f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1的图象开口向上，对称轴为直线x＝1.在选项A中，因为f(x)在区间[－1,0]上单调递减，所以f(x)在区间[－1,0]上的最小值为f(0)＝2，A错误；在选项B中，因为f(x)在区间[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，所以f(x)在区间[－1,2]上的最小值为f(1)＝1，又因为f(－1)＝5，f(2)＝2，f(－1)>f(2)，所以f(x)在区间[－1,2]上的最大值为f(－1)＝5，B正确；在选项C中，因为f(x)在区间[2,3]上单调递增，所以f(x)在区间[2,3]上的最小值为f(2)＝2，最大值为f(3)＝5，C正确；在选项D中，当01时，由图象知f(x)在区间[0，a]上的最小值为1，D正确．
答案：BCD
8．解析：∵y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，当x＝1时，ymin＝2；当y＝3时，x2－2x＋3＝3，解得x＝0或x＝2.由y＝x2－2x＋3的图象知，当m∈[1,2]时，能保证y的最大值为3，最小值为2.
答案：[1,2]
9．解析：(1)∵g(x)开口方向向上，且对称轴方程为x＝1，
∴g(x)在[2,3]上单调递增，
∴
解得a＝1且b＝0.
(2)∵f(x)－k>0在x∈(2,5]上恒成立．
所以只需k由(1)知f(x)＝＝x＋＝x－2＋＋2≥2
＋2＝4.
当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立．∴k<4.
即k的取值范围是(－∞，4)．
10．解析：(1)∵≤a≤1，
∴f(x)的图象为开口向上的抛物线，且对称轴x＝∈[1,3]．
∴f(x)有最小值N(a)＝1－.
当2≤≤3时，a∈，f(x)有最大值M(a)＝f(1)＝a－1；
当1≤<2时，a∈，f(x)有最大值M(a)＝f(3)＝9a－5.
∴g(a)＝
(2)设≤a1≤a2≤，则
g(a1)－g(a2)＝(a1－a2)>0，
∴g(a1)>g(a2)，∴g(a)在上是减函数．
设∴g(a1)∴当a＝时，g(a)有最小值.