中小学教育资源及组卷应用平台
2.4.2圆的一般方程教学设计
课题
圆的一般方程
单元
第二单元
学科
数学
年级
高二
教材分析
本节内容是在学习了圆的标准方程的基础上，进一步研究圆的一般方程，发现圆的方程的特点，即为特殊的二元二次方程。理解圆的一般方程的特点，掌握与圆有关的轨迹问题。在这一过程中，使学生体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力，
同时，圆也是特殊的圆锥曲线，圆的方程的学习，是进一步学习圆锥曲线的基础，对后续知识的学习，具有重要的意义。坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一。
教学
目标与
核心素养
1数学抽象：
圆的一般方程及其特点
2逻辑推理：
会用圆的一般方程求圆心、半径等
3数学运算：
求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹问题
4数学建模：
圆的一般方程和标准方程的互化
5直观想象：
圆的一般方程
6数据分析：
从
圆的标准方程——原点一般方程——例题——课堂练习，让学生体会数学知识的逻辑性和严密性.
重点
求圆的一般方程，求与圆有关的轨迹方程.
难点
运用一般方程解决相关问题.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
问题：
前面，我们学习直线方程，都研究了哪些问题
？
提示：
问题2
类比直线方程的研究过程，我们如何研究圆的方程？
问题3
圆的方程是否也有一般式？
复习导入
通过对圆的标准方程的讨论，引出圆的一般方程，同时类比直线方程的多种形式，帮助学生认识圆的一般方程于二元二次方程的关系。学会联系旧知识，制定解决问题的策略。
感知从特殊到一般的研究方法.
讲授新课
思考
我们知道，方程
表示以（1，-2）为圆心，2为半径的圆.
可以将此方程变形为.
一般地，圆的标准方程
可以变形为
⑵
的形式.
反过来，形如⑵的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗？
例如，对于方程，对其进行配方，得，因为任意一个点的坐标（x,
y）都不满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形.所以，形如⑵的方程不一定能通过恒等变形变为圆的标准方程.这表明，形如⑵的方程不一定是圆的方程.
探究
方程中的D，E，F满足什么条件时，这个方程表示圆？
将方程⑵的左边配方，并把常数项移到右边，得
①
(1)当时，
比较方程①和圆的标准方程，可以看出方程（2）表示以为圆心，为半径的圆；
(2)当时，
方程（2）只有实数解
,它表示一个点;
(3)当时，
方程（2）没有实数解，它不表示任何图形.
因此，当时，方程（2）表示一个圆.
我们把方程（2）叫做圆的一般方程.
思考
圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？
圆的一般方程的特点：
（1）①的系数相同，不等于0.
②没有xy这样的二次项
③
（2）圆的一般方程中有三个特定的系数D，E，F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了.
（3）与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显
例4
求过三点O（0，0），，的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.
分析:
将点O，，的坐标分别代入圆的一般方程，可得一个三元一次方程组，解方程组即可求出圆的方程.
解：设圆的方程是
①
因为
O，，三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解.
把它们的坐标依次代入方程①，得到关于D，E，F的一个三元一次方程组
解这个方程组，得
所以，所求圆的方程是
由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是（4，-3），半径
.
求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是：
根据题意，选择标准方程或一般方程；
根据条件列出关于a,
b,
r或D，E，F的方程组；
解出a,
b,
r或D，E，F，得到标准方程或一般方程.
例5
已知线段AB的端点B的坐标是（４，３），端点A在圆上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
分析：如图
点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程
.建立点M与点A坐标之间的关系，就可以利用点A的坐标所满足的关系式得到点M的坐标满足的关系式，求出点M的轨迹方程.
解：设点M的坐标是（x,
y），点A的坐标是.
由于点B的坐标是（4，3），且M是线段AB的中点，所以
于是有
①
因为点A在圆上运动，所以点A的坐标满足圆的方程，即
②
把①代入②，得
整理，得
这就是点M的轨迹方程，它表示以为圆心，半径为1的圆.
课堂练习：
1下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径．
(1)x2＋y2＋x＋1＝0；
(2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；
(3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)
解：(1)∵D＝1，E＝0，F＝1，
∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3＜0，
∴方程不表示任何图形．
(2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2，
∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，
∴方程表示点(－a,0)．
(3)两边同除以2，得x2＋y2＋ax－ay＝0，
D＝a，E＝－a，F＝0，∴D2＋E2－4F＝2a2＞0，
∴方程表示圆，它的圆心为，
半径r＝＝|a|.
2如图，某个圆拱桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面下降1米后，桥在水面的跨度为（
）
B.
C.
D.
解析：
以初始水面为x轴，拱顶所在直线为y轴，建立直角坐标系，则圆心C在y轴上，设半径为R，则
解得R=14.5，则圆心（0，-10.5），圆C的方程为
水面下降以后，，水面所在直线为y=-1,代入圆的方程得,
则该直线被圆截得的弦长为
故选C
3求过三点A（3，1），B（-7，1），C（2，4）的圆交y轴于M，N两点，则
（
）
8
B.
10
C.
D.
分析：
设出圆的方程，由已知可得关于D、E、F的方程组，求得D、E、F的值，得到圆的方程，取x=0得到关于y的一元二次方程，再由弦长公式及根与系数的关系求解.
解：
设过三点A（3，1），B（-7，1），C（2，4）的圆的方程为
则有
解得
所以，圆的方程为
令
x=0,
得
∴
故选D
4若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：
(1)实数m的取值范围；
(2)圆心坐标和半径．
解：
(1)据题意知
D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，
即4m2＋4－4m2－20m＞0，解得m＜，
故m的取值范围为.
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，
故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝.
5如果
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与x轴相切于原点，则（
）
F=0,
B.
E
=F=0,
C.
F=D=0,
D.
D=E=0,
解
因为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与x轴相切于原点
所以
圆心的横坐标
即
D=0
再把原点坐标代入，可得F=0
圆的方程即
x2＋y2
＋Ey＝0
所以
故选C
与例2的方法比较，你有什么体会？
通过学生对圆的一般方程的探究，使学生体会圆的一般方程的特点，及二元二次方程表示圆所满足的条件.
通过对圆的一般方程的讨论，帮助学生总结圆的一般方程的特点。发展学生的数学运算，数学抽象、数学建模的核心素养.
习题巩固
课堂小结
1圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
方程条件图形x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F<0不表示任何图形D2＋E2－4F＝0表示一个点D2＋E2－4F>0表示以为圆心，以为半径的圆
2
圆的一般方程与圆的标准方程的特点对比
圆的标准方程圆一般方程方程(r>0)x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
圆心(a,
b)半径长r优点几何特征明显突出方程形式上的特点
板书
1直线方程、圆的研究流程
2圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
3圆的一般方程与圆的标准方程的特点对比
4例题
教学反思
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共22张PPT)
2.4.2
圆的一般方程
人教A版（2019）
选择性必修第一册
新知导入
问题：
前面，我们学习直线方程，都研究了哪些问题
？
提示：
新知导入
问题2
类比直线方程的研究过程，我们如何研究圆的方程？
提示：
问题3
圆的方程是否也有一般式？
新知讲解
思考
圆的标准方程
可以变形为
⑵
的形式.
反过来，形如⑵的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗？
例如，
变形为
因为任意一个点的坐标（x,
y）都不满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形.
故
形如⑵的方程不一定是圆的方程.
新知讲解
探究
方程中的D，E，F满足什么条件时，这个方程表示圆？
将方程⑵的左边配方，并把常数项移到右边，得
⑵
①
合作探究
(1)
当时，
方程（2）表示以为圆心，为半径的圆；
⑵
①
(2)
当时，
方程（2）只有实数解
,它表示一个点;
(3)
当时，方程（2）没有实数解，它不表示任何图形.
因此，当时，方程（2）表示一个圆.
我们把方程（2）叫做圆的一般方程.
合作探究
思考
圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？
圆的一般方程的特点：
（1）①的系数相同，不等于0；
②没有xy这样的二次项；；
③
（2）圆的一般方程中有三个特定的系数D，E，F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了.
（3）与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显.
合作探究
例4
求过三点O（0，0），，的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.
分析:
将点O，，的坐标分别代入圆的一般方程，可得一个三元一次方程组，解方程组即可求出圆的方程.
解：设圆的方程是
①
所以
得
所以
圆的圆心坐标是（4，-3），半径
.
合作探究
求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是：
根据题意，选择标准方程或一般方程；
2.
根据条件列出关于a,
b,
r或D，E，F的方程组；
3.
解出a,
b,
r或D，E，F，得到标准方程或一般方程.
合作探究
例5
已知线段AB的端点B的坐标是（４，３），端点A在圆上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
分析：如图
点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程
.建立点M与点A坐标之间的关系，就可以利用点A的坐标所满足的关系式得到点M的坐标满足的关系式，求出点M的轨迹方程.
合作探究
例5
已知线段AB的端点B的坐标是（４，３），端点A在圆上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
解：
设点M的坐标是（x,
y），点A的坐标是.
点B的坐标是（4，3），M是线段AB的中点,
所以
于是
①
因为点A在圆上运动，所以点A的坐标满足圆的方程，即
②
把①代入②，得
这就是点M的轨迹方程，它表示以为圆心，半径为1的圆.
课堂练习
1下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径．
(1)x2＋y2＋x＋1＝0；
(2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；
(3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)
解：
(1)∵D＝1，E＝0，F＝1，
∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3＜0，
∴方程不表示任何图形．
(2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2，∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，
∴方程表示点(－a,0)．
(3)
两边同除以2，得x2＋y2＋ax－ay＝0，
D＝a，E＝－a，F＝0，∴D2＋E2－4F＝2a2＞0，
∴方程表示圆，它的圆心为半径r＝＝|a|.
课堂练习
2如图，某个圆拱桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面下降1米后，桥在水面的跨度为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：
以初始水面为x轴，拱顶所在直线为y轴，建立直角坐标系，
则圆心C在y轴上，设半径为R，则
解得R=14.5
则圆心（0，-10.5），圆C的方程为
水面下降以后，，水面所在直线为y=-1,代入圆的方程得,
则该直线被圆截得的弦长为.
故选C
C
课堂练习
3求过三点A（3，1），B（-7，1），C（2，4）的圆交y轴于M，N两点，则（
）
A.
8
B.
10
C.
D.
解：设过三点A（3，1），B（-7，1），C（2，4）的
圆的方程为
则有
所以，圆的方程为
令
x=0,
得
∴
故选D
D
解得
课堂练习
4若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：
(1)实数m的取值范围；
(2)圆心坐标和半径．
解：
(1)据题意知
D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，
故m的取值范围为(-).
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成
标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，
故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝
.
即4m2＋4－4m2－20m＞0，解得m＜，
课堂练习
5如果
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与x轴相切于原点，则（
）
A.
F=0,
B.
E
=F=0,
C.
F=D=0,
D.
D=E=0,
解：
因为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与x轴相切于原点
所以
圆心的横坐标
即
D=0
再把原点坐标代入，可得F=0
圆的方程即
x2＋y2
＋Ey＝0
所以
故选C
C
课堂总结
1圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
方程
条件
图形
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
D2＋E2－4F<0
不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
表示一个点
D2＋E2－4F>0
表示以为圆心，以为半径的圆
课堂总结
2
圆的一般方程与圆的标准方程的特点对比
?
圆的标准方程
圆一般方程
方程
(r>0)
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
圆心
(a,
b)
半径长
r
优点
几何特征明显
突出方程形式上的特点
板书设计
1直线方程、圆的研究流程
2圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
3圆的一般方程与圆的标准方程的特点对比
4例题
作业布置
课本88页习题2.4
3,
4，5
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
