(共25张PPT)
2.5.2
圆与圆的位置关系
人教A版（2019）
选择性必修第一册
新知导入
上图是日食的变化过程
日食，又称“日蚀”，是一种天文学现象，仅当月球在太阳与地球之间运行时才会发生。日食仅在月亮和太阳处于合的状态时发生。在民间传说中，称此现象为天狗食日。日食有四种类型，即日全食，日环食，日偏食和全环食。
将太阳、月亮抽象为圆，观察这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？
新知讲解
两个圆之间存在以下三种位置关系：
2.
两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；
两圆相交，有两个公共点；
3.
两圆相离，包括外离与内含，没有公共点
思考
类比运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置关系的方法，如何利用圆的方程，判断它们之间的位置关系？
新知讲解
观察下图：
问题1：根据上图，结合平面几何，圆与圆的位置关系有几种？
提示：5种，即内含、内切、相交、外切、外离．
问题2：能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关系？
提示：可以，利用圆心距与半径的关系可判断
问题3：直线与圆的位置关系可利用几何法与代数法判断，那么圆与圆的位置关系能否利用代数法判断？
提示：可以
合作探究
例5
已知圆,
圆，试判断圆的位置关系.
分析：
思路1：圆与圆的位置关系由它们有几个公共点确定，而它们有几个公共点又由它们的方程所组成的方程组有几组实数解确定；
思路2：借助图形，可以依据连心线的长与两半径的和或两半径的差的绝对值的大小关系，判断两圆的位置关系.
合作探究
例5
已知圆,
圆，试判断的位置关系.
解法1：
联立方程，得
,得
x+2y-1=0
③
代入，并整理，得
方程的根的判别式
所以，方程有两个不相等的实数根
.把分别代入方程③，得到
.
因此圆与圆有两个公共点,
,
这两个圆相交.
合作探究
例5
已知圆,
圆，试判断的位置关系.
解法2：
圆化成标准方程，得
圆的圆心（-1，-4）,
半径
圆化成标准方程，得
圆的圆心（2，2），半径
圆与圆的连心线的长为
圆与圆的两半径之和
，两半径之差
因为
即
合作探究
例5
已知圆,
圆，试判断圆的位置关系.
所以圆与圆相交（见右图），它们有两个公共点A，B.
合作探究
例6
已知圆O的直径AB=4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍.
试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系.
分析：
通过建立适当的平面直角坐标系，求得满足条件的动点M的轨迹方程，从而得到点M的轨迹；通过研究它的轨迹方程与圆O方程的关系，判断这个轨迹与圆O的位置关系.
合作探究
例6
已知圆O的直径AB=4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍.
试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系.
解：
如图
以线段AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
由AB=4，得A（-2，0），B（2，0）.
设点M的坐标为（x,
y）,由，得
化简，得
即
所以点M的轨迹是以P（6，0）为圆心，半径为的一个圆
（见上图）
因为两圆的圆心距，两圆的半径分别为
，又
所以点M的轨迹与圆O相交.
合作探究
总结：
1
圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．
2
圆与圆的位置关系的判定
几何法：若两圆的半径分别为r1，r2
，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
外离
外切
相交
内切
内含
?
?
?
?
?
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
d＜|r1－r2|
合作探究
代数法：设两圆的一般方程为
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0
(D＋E－4F1>0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)，
联立方程组得
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数
2组
1组
0组
两圆的公共点个数
2个
1个
0个
两圆的位置关系
相交
内切或外切
外离或内含
课堂练习
1已知两圆
(1)
求证：圆与圆相交；
(2)
求圆与圆
的公共弦所在直线方程和公共弦长.
分析：
(1)
分别求出圆与圆的圆心和半径，再求出圆心距
，由圆心距大于半径之差的绝对值，小于半径之和，能证明圆与圆相交.
(2)
两圆与相减，得圆与圆的公共弦所在直线方程；求出圆心(5,6)到公共弦所在直线的距离，由此能求出圆与圆的公共弦长.
课堂练习
1已知两圆
(1)
求证：圆与圆相交；
(2)
求圆与圆
的公共弦所在直线方程和公共弦长.
解答：
（1）证明：
的圆心(1,3),
半径
的圆心(5,6)，
半径，
∵
∴
圆与圆相交.
课堂练习
1已知两圆
(1)
求证：圆与圆相交；
(2)
求圆与圆
的公共弦所在直线方程和公共弦长.
（2）解：∵两圆
∴两圆相减，得圆与圆的公共弦所在直线方程为：8x+6y-46=0,
即
4x+3y-23=0
圆心(5,6)到直线
4x+3y-23=0
的距离
∴
圆与圆的公共弦长为
.
课堂练习
2
圆,
圆,
则圆与圆的位置关系为（
）
A．相交
B.
相离
C.
内切
D.
外切
解答：
根据题意，圆,
其圆心为(-2,0),半径
圆,
其圆心为(2,2),半径
圆心距
则两圆外切，故选D.
D
课堂练习
3已知圆和圆
,
若圆与圆有公共点，则r的取值范围是（
）
A．（0，1]
B.
（0，3]
C.
[1，3]
D.
[1，+∞)
分析：
根据圆与圆有公共点结合圆心距和半径之间的关系进行求解即可.得到两圆相切或相交，
解：
当圆与圆有公共点时，则两圆相切或相交
圆心(0,0),
半径R=1
圆心(0,2),半径r，
则
若两圆相交，则满足
即
得
故选C
C
课堂练习
4
如图，在平面直角坐标系xoy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．
(1)设圆N与
x
轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线
l
的方程；
课堂练习
4
如图，在平面直角坐标系xoy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．
(1)设圆N与
x
轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
解：
圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25
所以圆心M(6,7)，半径为5.
(1)
由圆心N在直线
x＝6上，可设N(6，y0)
．
因为圆N与x轴相切，与圆M外切，
所以0＜y0＜7，圆N的半径为y0，
从而7－y0＝5＋y0，
解得y0
＝1.
因此，圆N的标准方程为
(x－6)2＋(y－1)2＝1.
课堂练习
4
如图，在平面直角坐标系xoy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．
(2)设平行于OA的直线
l
与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线
l
的方程；
因为直线
l∥OA，
解：
所以直线
l
的斜率为＝2.
设直线
l
的方程为y＝2x＋m，
即2x－y＋m＝0，
则圆心M到直线
l
的距离
d＝
因为BC＝OA＝，
而
所以
解得
m＝5或
m＝－15.
故直线
l
的方程为2x－y＋5＝0
或2x－y－15＝0.
课堂总结
1.
圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．
2.
圆与圆的位置关系的判定
几何法、代数法
板书设计
1.
圆与圆的位置关系
2.
圆与圆的位置关系的判定
作业布置
课本98页习题2.5
4
，5
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2.5.2圆与圆的位置关系教学设计
课题
圆与圆的位置关系
单元
第二单元
学科
数学
年级
高二
教材分析
图形之间的位置关系，既可以直观定性描述，也可以严格定量刻画.定量刻画的方法既可以完全运用代数方法，通过运算求解，得到图形的性质，也可以综合使用几何方法，代数方法，得到图形的性质.
下面我们类比用方程研究两条直线位置关系的方法，利用直线和圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系。
教学
目标与
核心素养
1数学抽象：圆与圆的位置关系；
2逻辑推理：判断圆与圆的位置关系；
3数学运算：判断圆与圆的位置关系；
4数学建模：圆与圆的方程解决实际问题；
5直观想象：圆与圆的位置关系；
6数据分析：学习圆与圆的位置关系，同时类比直线与圆的位置关系的研究方法，提高学生数学判断的能力，以及参与数学活动的能力.
重点
圆与圆的位置关系
难点
判断圆与圆的位置关系
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
上图是日食的变化过程。
日食，又称“日蚀”，是一种天文学现象，仅当月球在太阳与地球之间运行时才会发生。日食仅在月亮和太阳处于合的状态时发生。在民间传说中，称此现象为天狗食日。日食有四种类型，即日全食，日环食，日偏食和全环食。
将太阳、月亮抽象为圆，观察这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？
通过具体的情景，帮助学生回顾初中几何中已学的圆与圆的位置关系，同时类比直线与圆的位置关系的研究方法.
讲授新课
前面我们运用直线的方程，圆的方程，研究了直线与圆的位置关系.现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系.
我们知道，两个圆之间存在以下三种位置关系：
两圆相交，有两个公共点；
两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；
两圆相离，包括外离与内含，没有公共点.
思考
类比运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置关系的方法，如何利用圆的方程，判断它们之间的位置关系？
观察下图：
问题1：
根据上图，结合平面几何，圆与圆的位置关系有几种？
提示：
5种，即内含、内切、相交、外切、外离．
问题2：
能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关系？
提示：可以，利用圆心距与半径的关系可判断．
问题3：
直线与圆的位置关系可利用几何法与代数法判断，那么圆与圆的位置关系能否利用代数法判断？
提示：可以．
例5
已知圆,
圆，试判断的位置关系.
分析：
思路1：圆与圆的位置关系由它们有几个公共点确定，而它们有几个公共点又由它们的方程所组成的方程组有几组实数解确定；
思路2：借助图形，可以依据连心线的长与两半径的和或两半径的差的绝对值的大小关系，判断两圆的位置关系.
解法1：
将圆与圆的方程联立，得到方程组
,得
x+2y-1=0
,
③
由③，得
把上式代入，并整理，得
方程的根的判别式
所以，方程有两个不相等的实数根
.把分别代入方程③，得到
.
因此圆与圆有两个公共点,
,
这两个圆相交.
解法2：把圆的方程化成标准方程，得
圆的圆心（-1，-4）,
半径
.
把圆的方程化成标准方程，得
圆的圆心（2，2），半径
圆与圆的连心线的长为
圆与圆的两半径之和
，两半径之差
因为，
即
，所以圆与圆相交（见下图），它们有两个公共点A，B.
思考
在解法1中，如果两圆方程联立消元后得到的方程的，它说明什么？你能据此确定两圆是内切还是外切吗？如何判断两圆是内切还是外切？
当时，两圆是什么位置关系.
例6
已知圆O的直径AB=4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍.
试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系.
分析：我们可以通过建立适当的平面直角坐标系，求得满足条件的动点M的轨迹方程，从而得到点M的轨迹；通过研究它的轨迹方程与圆O方程的关系，判断这个轨迹与圆O的位置关系.
解：如图
以线段AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，由AB=4，得A（-2，0），B（2，0）.
设点M的坐标为（x,
y）,由，得
化简，得
即
.
所以点M的轨迹是以P（6，0）为圆心，半径为的一个圆
（见上图）
因为两圆的圆心距，两圆的半径分别为
，又
所以点M的轨迹与圆O相交.
总结：
1圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．
2．圆与圆的位置关系的判定
几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
外离外切相交内切内含d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|
代数法：设两圆的一般方程为
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0
(D＋E－4F1>0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)，
联立方程组得
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数2个1个0个两圆的位置关系相交内切或外切外离或内含
课堂练习：
1已知两圆
(1)
求证：圆与圆相交；
(2)
求圆与圆
的公共弦所在直线方程和公共弦长.
分析：
(1)
分别求出圆与圆的圆心和半径，再求出圆心距
，由圆心距大于半径之差的绝对值，小于半径之和，能证明圆与圆相交.
(2)
两圆与相减，得圆与圆的公共弦所在直线方程；求出圆心(5,6)到公共弦所在直线的距离，由此能求出圆与圆的公共弦长.
解答：
（1）证明：
的圆心(1,3),
半径
的圆心(5,6)，
半径，
∵
∴圆与圆相交.
（2）解
∵两圆
∴两圆相减，得圆与圆的公共弦所在直线方程为：8x+6y-46=0,
即
4x+3y-23=0
圆心(5,6)到直线
4x+3y-23=0
的距离
∴圆与圆的公共弦长为
.
2
圆,
圆,
则圆与圆的位置关系为（）
A．相交
B.
相离
C.
内切
D.
外切
答案：D
解：
根据题意，圆,
其圆心为(-2,0),半径
圆,
其圆心为(2,2),半径
圆心
则两圆外切，故选D.
3已知圆和圆
,
若圆与圆有公共点，则r的取值范围是（）
A．（0，1]
B.
（0，3]
C.
[1，3]
D.
[1，+∞)
答案：
C
分析：根据圆与圆有公共点得到两圆相切或相交，结合圆心距和半径之间的关系进行求解即可.
解：
当圆与圆有公共点时，则两圆相切或相交
圆心(0,0),
半径R=1
圆心(0,2),半径r
则
若两圆相交，则满足
即
得
4
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；
解：
圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，
所以圆心M(6,7)，半径为5.
(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．
因为圆N与x轴相切，与圆M外切，
所以0＜y0＜7，圆N的半径为y0，
从而7－y0＝5＋y0，
解得y0＝1.
因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.
(2)
因为直线l∥OA，
所以直线l的斜率为＝2.
设直线l的方程为y＝2x＋m，
即2x－y＋m＝0，
则圆心M到直线l的距离
d＝＝.
因为BC＝OA＝＝2，
而MC2＝d2＋2，
所以25＝＋5，
解得m＝5或m＝－15.
故直线l的方程为2x－y＋5＝0
或2x－y－15＝0.
教师引导学生用几何法解决问题.
学生尝试自己总结本节内容，梳理知识要点。
学生自己完成课堂习题，后教师集体订正.
通过例题，帮助学生进一步学习两种基本方法，判断圆与圆的位置关系，发展学生数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养.
类比判断直线与圆位置关系的几何法，学生尝试用几何方法判断圆与圆位置关系，培养学生自主探究的意识.
通过小结使学生在小组的交流讨论过程中，理清本节知识的脉络，对所学知识技能和思想方法有一个全面系统的认识，培养了学生概括总结所学知识的能力．
通过练习巩固所学内容，发现和弥补学生学习中的遗漏和不足，强化基本技能训练，培养学生良好的思维品质和习惯.
课堂小结
1圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．
2．圆与圆的位置关系的判定
几何法、代数法
板书
1圆与圆的位置关系
2．圆与圆的位置关系的判定
教学反思
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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