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2.5.1直线与圆的位置关系教学设计
课题
直线与圆的位置关系
单元
第二单元
学科
数学
年级
高二
教材分析
在平面几何中，我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系。前面我们学习了直线的方程、圆的方程，以及用方程研究两条直线的位置关系。下面我们类比用方程研究两条直线位置关系的方法，利用直线和圆的方程，通过定量计算研究直线与圆的位置关系。
本节课，引导学生根据初中学习图形与几何的经验，研究直线和圆的位置关系.
教学
目标与
核心素养
1数学抽象：
直线与圆的位置关系；
2逻辑推理：
判断直线与圆的位置关系；
3数学运算：
根据直线与圆的方程判断直线与圆的位置关系；
4数学建模：
能用直线与圆的位置关系解决一些简单的问题；
5直观想象：
直线与圆的位置关系；
6数据分析：
从“直线与圆的位置关系”（形）到“直线与圆的位置关系”的判断（数），再到例题，最后到课堂练习，让学生体会数学知识的逻辑性和严密性.
重点
利用直线与圆的方程判断直线与圆的位置关系；用坐标法解决几何问题
难点
利用直线与圆的方程解决简单问题；理解代数法、几何法的关系，灵活运用多种方式表达、判断直线与圆位置关系.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
“大漠孤烟直，长河落日圆”出自唐代诗人王维的《使至塞上》，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．
如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片．
问题1：
图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？
提示：(1)相离，(2)相切，(3)相交．
问题2：
结合初中平面几何中学过的直线与圆的位置关系，直线与圆有几种位置关系？
提示：3种，分别是相交、相切、相离．
问题3：
如何判断直线与圆的位置关系？
提示：可利用圆心到直线的距离d与半径r的关系．
情景引入
观察图形，整理三种位置关系的图形表示、定义、几何表示.
通过古诗等具体的情景，激发学生兴趣，帮助学生回顾初中几何中已学的直线与圆的位置关系.
提出问题，激发兴趣，
复习直线与圆的位置关系.
讲授新课
我们知道，直线与圆有三种位置关系：
直线与圆相交，有两个公共点；
直线与圆相切，只有一个公共点；
直线与圆相离，没有公共点.
思考
在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？根据上述定义，如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？
提示：
直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断
位置关系相交相切相离公共点个数两个一个零个判
定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝d＜rd＝rd＞r代数法：由消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜0
下面，我们通过具体例子进行研究
例1
已知直线
l:
3x+y-6=0
和
圆心为C的圆
，判断直线l
与圆C的位置关系：如果相交，求直线l
被圆C所截得的弦长.
分析：
思路1：将判断直线l
与圆C的位置关系转化为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解；若相交，可以由方程组解得两交点的坐标，利用两点间的距离公式求得弦长.
思路2：依据圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系；若相交，则可利用勾股定理求得弦长.
解法1
(代数法)
联立直线l
与圆的方程，得
消去y
，得
,
解得
所以，直线l
与圆C相交，有两个公共点.
把
分别代入方程，
得
所以，直线l
与圆C的两个交点是A（2，0），B（1，3）.
因此
解法2
(几何法)
圆C的方程
可化为
,
因此圆心C的坐标为（0，1），半径为
，圆心C（0，1）到直线l
的距离
所以，直线l
与圆C相交，有两个公共点.
如图
由垂径定理，得
通过上述解法我们发现，在平面直角坐标系中，要判断直线l:
Ax
+By
+C=0
与圆C：
的位置关系，可以联立它们的方程，通过判定方程组
的解的个数，得出直线与圆的公共点的个数.
进而判断直线与圆的位置关系.
若相交，可以由方程组解得两交点坐标，利用两点间的距离公式求得弦长.
我们还可以根据圆的方程求得圆心坐标与半径r
，从而求得圆心到直线的距离d
，通过比较d
与r
的大小，判断直线与圆的位置关系.
若相交，则可利用勾股定理求得弦长.
思考
与初中的方法比较，你认为用方程判断直线与圆的位置关系有什么优点？例1中两种解法的差异是什么？
提示：
1
采用几何法判断直线与圆的位置关系时，必须准确计算出圆心坐标、圆的半径及圆心到直线的距离.
2利用代数法判断直线与圆的位置关系时，不必求出方程组的实数解，只需将直线方程代入到圆的方程中，并消去一个未知数，得到一个关于x(或y)的一元二次方程组解的个数，进一步判断两者的位置关系.
3当直线所过定点在圆内时，直线与圆恒相交.
例2
过点P（2，1）作圆O：的切线l
，求切线l的方程.
分析：
如图
容易知道，点
P（2，1）位于圆O：
外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切.
我们设切线方程为y-1=k(x-2)
,
k
为斜率，由直线与圆相切可求出k的值.
解法1
设切线l的斜率为k，则切线l方程为y-1=k(x-2)
,
即
kx-y+1-2k=0
.
由圆心（0，0）到切线l的距离等于圆的半径1，得
解得
因此，所求切线l的方程为
y=1,或4x-3y-5=0
.
解法2
设切线l的斜率为k，则切线l方程为y-1=k(x-2)
.
因为直线l与圆相切，所以方程组
只有一组解.
消元，得
因为方程只有一个解，所以
解得
所以，所求切线l的方程为
y=1,
或4x
-3y
-5=0
.
拓展：
1．过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法
先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
2．过圆外一点(x0，y0)的切线方程的求法
设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．
3圆的切线方程常用结论
过圆上一点的圆的切线方程为
.
过圆上一点的圆的切线方程为
过圆外一点作圆的两条切线，则切点所在直线方程为
.
例3
如图（1）
（1）
图（1）是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度AB=20m
，拱高OP=4m
,
建造时每间隔4m
需要用一根支柱支撑，求支柱的高度（精确到0.01m）.
分析：
建立如图（2）所示直角坐标系，要得到支柱的高度，只需求出点的纵坐标.
（2）
解：建立如图（2）所示的直角坐标系，使线段AB所在直线为x
轴，O为坐标原点，圆心在y
轴上.
由题意，点P，B的坐标分别为（0，4），（10，0）.
设圆心坐标是（0，b），圆的半径是r，那么圆的方程是
下面确定b和r的值.
因为P，B两点都在圆上，所以它们的坐标（0，4），（10，0）都满足方程
.于是，得到方程组
解得
所以，圆的方程是
把的横坐标x=-2代入圆的方程，得
即
(的纵坐标y>0,平方根取正值).
所以
答：支柱的高度约为3.86m
.
思考
如果不建立平面直角坐标系，你能解决这个问题吗？由此比较综合法和坐标法的特点.
例4
一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20km的圆形区域内.
已知小岛中心位于轮船正西40km处，港口位于小岛中心正北30km处.如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？
分析：先画出示意图，了解小岛中心、轮船、港口的方位和距离.如图.
根据题意，建立适当的平面直角坐标系，求出暗礁所在区域的边缘圆的方程，以及轮船返港直线的方程，利用方程判断直线与圆的位置关系，进而确定轮船是否有触礁危险.
解：
以小岛的中心为原O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系.
为了运算的简便，我们取10km为单位长度，则港口所在位置的坐标为（0，3），轮船所处的位置的坐标为（4，0）.
这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为
轮船航线所在直线l
的方程为
即
3x+4y-12=0
联立直线l与圆O的方程，得
消去y,
得
由
可知方程无解.
所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险.
思考
你还能用其他方法解决上述问题吗？
用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论.
这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
课堂练习
1若直线4x－3y＋a＝0与圆x2＋y2＝100有如下关系：①相交；②相切；③相离，试分别求实数a的取值范围．
解：
法一：(代数法)
由方程组消去y，
得25x2＋8ax＋a2－900＝0.
Δ＝(8a)2－4×25(a2－900)＝－36a2＋90
000.
当直线和圆相交时，Δ>0，
即－36a2＋90
000>0，－50
当直线和圆相切时，Δ＝0，
即a＝50或a＝－50；
当直线和圆相离时，Δ<0，
即a<－50或a>50.
法二：(几何法)
圆x2＋y2＝100的圆心为(0,0)，半径r＝10，
则圆心到直线的距离d＝＝.
当直线和圆相交时，d即<10，－50②当直线和圆相切时，d＝r，
即＝10，a＝50或a＝－50；
③当直线和圆相离时，d>r，
即>10，a<－50或a>50.
2已知点,
M(3,1),
圆C：
（1）过点P的圆C的切线方程；
（2）过点M的圆C的切线方程，并求出切线长.
解：
由题意得圆心C（1，2）
半径r=2.
∵
∴
点P在圆C上.
又
∴
切线的斜率
∴过点P的圆C的切线方程是
即
(2)
∵
∴点M在圆C外部.
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x=3,
即
x-3=0
.
又点C（1，2）到直线
x-3=0的距离d=3-1=2=r,
即此时满足题意，所以直线
x=3是圆的切线方程.
当切线的斜率存在时，设切线方程为y-1=k(x-3),
即kx-y+1-3k=0,
则圆心C到切线的距离
解得
∴切线方程为
即3x-4y-5=0
综上可得，过点M的圆C的切线方程
x-3=0或
3x-4y-5=0
∵
∴
过点M的圆C的切线长为
3已知圆的方程为x2＋y2＝8，圆内有一点P(－1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦．
(1)当α＝135°时，求AB的长；
(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．
解：
(1)法一：(几何法)
如图所示，过点O作OC⊥AB.
由已知条件得直线的斜率为k＝tan
135°＝－1，
∴直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋y－1＝0.
∵圆心为(0,0)，∴|OC|＝＝.
∵r＝2，∴|BC|＝＝，
∴|AB|＝2|BC|＝.
法二：(代数法)
当α＝135°时，直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，即y＝－x＋1，代入x2＋y2＝8，
得2x2－2x－7＝0.
∴x1＋x2＝1，x1x2＝－，
∴|AB|＝|x1－x2|
＝＝.
(2)如图，当弦AB被点P平分时，
OP⊥AB.∵kOP＝－2，
∴kAB＝，
∴直线AB的方程为y－2＝(x＋1)，
即x－2y＋5＝0.
拓展
求直线与圆相交时弦长的两种方法
(1)几何法：如图①，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有2＋d2＝r2，即|AB|＝2.
(2)代数法：如图②所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝·|x1－x2|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在)．
4已知圆C：
,
l是过点P(3,
0)的直线，则（）
l与C相交
B.
l与C相切
C.
l与C相离
D.
以上三个选项均有可能
解析：
是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，而点P（3，0）到圆心的距离
点P(3,
0)恒在圆内，过点P(3,
0)不管怎么画直线，总与圆相交，故选A
答案：
A
5
已知动直线
l:
mx-y-m=0
与
交于A、B两点，当l
将
分成两部分的面积之差最大时，则l的方程为_________.
分析：求出动直线l所过的定点C的坐标，判断点C在
内；由l将
分成两部分的面积之差最大时，弦AB的长度最小，弦心距最大，求出直线l的斜率，写出l的方程即可.
解：
动直线l：
mx-y-m=0
可化为
m(x-1)-y=0,
令
,
解得
所以直线l过的定点C(1,0),
可化为
且
所以点C在
内；
当
l将
分成两部分的面积之差最大时，则弦AB的长度最小，所以弦心距最大，因此
因为
所以
所以直线l
的方程为
y-0=-(x-1)
即
x+y-1=0
通过直线与圆公共点的个数，判定直线与圆的位置关系.
复习初中判断直线与圆的位置关系的方法，引导学生将直观几何进行定量表达，提出本节课的研究内容，利用直线与圆的方程，通过定量计算，判断直线与圆的位置关系，使学生体会这种研究思路的逻辑，能够在教师的引导下自主研究。
通过例题，帮助学生进一步学习两种基本方法，判断直线与圆的位置关系，发展学生数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养
学生结合例题，通过思考，容易发现，本章我们在坐标系中建立了直线方程、圆的方程，并通过它们的方程研究与直线、圆有关的几何问题.通过坐标系，将几何元素，用坐标、方程表示，将几何问题转化为代数问题，再通过代数方法研究几何图形的性质.
课堂小结
直线与圆有三种位置关系
位置关系交点个数相交有两个公共点相切只有一个公共点相离没有公共点
2
直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断
位置关系相交相切相离公共点个数两个一个零个判
定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝d＜rd＝rd＞r代数法：由消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜0
3
用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
板书
直线与圆有三种位置关系
2
直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断
3用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”
4例题
教学反思
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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2.5.1
直线与圆的位置关系
人教A版（2019）
选择性必修第一册
新知导入
“大漠孤烟直，长河落日圆”出自唐代诗人王维的《使至塞上》，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．
新知导入
如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片．
问题1：
图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？
提示：(1)相交，(2)相切，(3)相离．
问题2：结合初中平面几何中学过的直线与圆的位置关系，直线与圆有几种位置关系？
提示：3种，分别是相交、相切、相离．
问题3：如何判断直线与圆的位置关系？
提示：可利用圆心到直线的距离d与半径r的关系．
新知讲解
我们知道，直线与圆有三种位置关系：
直线与圆相交，有两个公共点；
2.
直线与圆相切，只有一个公共点；
3.
直线与圆相离，没有公共点.
新知讲解
思考
在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？根据上述定义，如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？
提示：
直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
两个
一个
零个
判
定方法
几何法：
设圆心到直线的距离
d＜r
d＝r
d＞r
代数法：
由
消元得到一元二次方程的判别式Δ
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
合作探究
例1
已知直线
l:
3x+y-6=0
和圆心为C的圆
，判断直线l
与圆C的位置关系；如果相交，求直线
l
被圆C所截得的弦长.
分析：
思路1：将判断直线
l
与圆C的位置关系转化为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解；若相交，可以由方程组解得两交点的坐标，利用两点间的距离公式求得弦长.
思路2：依据圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系；；若相交，则可利用勾股定理求得弦长.
合作探究
例1
已知直线
l:
3x+y-6=0
和圆心为C的圆
，判断直线l
与圆C的位置关系；如果相交，求直线
l
被圆C所截得的弦长.
解法1
(代数法)
联立直线
l
与圆C的方程，得
得
所以，直线
l
与圆C相交，有两个公共点.
把
分别代入方程，得
所以，直线
l
与圆C的两个交点是A（2，0），B（1，3）.
因此
合作探究
例1
已知直线
l:
3x+y-6=0
和圆心为C的圆
，判断直线l
与圆C的位置关系：如果相交，求直线
l
被圆C所截得的弦长.
解法2
(几何法)
圆C的方程
可化为
,
因此圆心C的坐标为（0，1），半径为
圆心C（0，1）到直线
l
的距离
所以，直线l
与圆C相交，有两个公共点.
如图，由垂径定理，得
合作探究
思考
与初中的方法比较，你认为用方程判断直线与圆的位置关系有什么优点？
例1中两种解法的差异是什么？
提示：
1
采用几何法判断直线与圆的位置关系时，必须准确计算出圆心坐标、圆的半径及圆心到直线的距离；
2
利用代数法判断直线与圆的位置关系时，不必求出方程组的实数解，只需将直线方程代入到圆的方程中，并消去一个未知数，得到一个关于x(或y)的一元二次方程组解的个数，进一步判断两者的位置关系；
3
当直线所过定点在圆内时，直线与圆恒相交.
合作探究
例2
过点P（2，1）作圆O：的切线
l
，求切线
l
的方程.
分析：
如图
易知，点
P（2，1）位于圆O：
外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切.
我们设切线方程为
y-1=k(x-2)
,
k为斜率，由直线与圆相切可求出
k
的值.
合作探究
例2
过点P（2，1）作圆O：的切线
l
，求切线
l
的方程.
解法1
设切线
l
的斜率为k，则切线l的方程为y-1=k(x-2)
,
即
kx-y+1-2k=0
.
由圆心（0，0）到切线
l
的距离等于圆的半径1，得
解得
因此，所求切线
l
的方程为
y=1,或4x-3y-5=0
.
合作探究
例2
过点P（2，1）作圆O：的切线
l
，求切线
l
的方程.
解法2
设切线
l
的斜率为
k，则切线
l
方程为
y-1=k(x-2)
因为直线
l
与圆相切，所以方程组
只有一组解.
消元，得
因为方程只有一个解，所以
解得
所以，所求切线
l
的方程为
y=1,
或4x
-3y
-5=0
.
合作探究
拓展：
1．过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法
2．过圆外一点(x0，y0)的切线方程的求法
先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．
合作探究
3圆的切线方程常用结论
(1)
过圆上一点的圆的切线方程为
.
(2)
过圆上一点的圆的切线方程为
(3)
过圆外一点作圆的两条切线，则切点所在直线方程
为.
合作探究
例3
如图
图（1）是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m
,
建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱的高度（精确到0.01m）.
分析：
建立如图（2）所示直角坐标系，要得到支柱的高度，只需求出点的纵坐标.
（1）
（2）
合作探究
（2）
解：
建立如图（2）所示的直角坐标系，使线段AB所在直线为x
轴，O为坐标原点，圆心在y
轴上.
由题意，点P，B的坐标分别为（0，4），（10，0）.
设圆心坐标是（0，b），圆的半径是r，那么圆的方程是
因为P，B两点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程，得
解得
所以，圆的方程是
把的横坐标x=-2代入圆的方程，得
即
(的纵坐标y>0,平方根取正值)
所以
答：支柱的高度约为3.86m
.
合作探究
例4
一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20km的圆形区域内.
已知小岛中心位于轮船正西40km处，港口位于小岛中心正北30km处.如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？
分析：
先画出示意图，了解小岛中心、轮船、港口的方位和距离.如图.
根据题意，建立适当的平面直角坐标系，求出暗礁所在区域的边缘圆的方程，以及轮船返港直线的方程，利用方程判断直线与圆的位置关系，进而确定轮船是否有触礁危险.
合作探究
解：
以小岛的中心为原点O，东西方向为x
轴，建立如图所示的直角坐标系.
取10km为单位长度，则港口所在位置的坐标为（0，3），轮船所处的位置的坐标为（4，0）.
则，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为
轮船航线所在直线
l
的方程为
即
3x+4y-12=0
联立方程，得
消去y,
得
由
可知方程组无解.
所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险.
合作探究
用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
课堂练习
1若直线4x－3y＋a＝0与圆x2＋y2＝100有如下关系：①相交；②相切；③相离，试分别求实数a的取值范围．
解：
法一：(代数法)
由方程组
消去y，
得
25x2＋8ax＋a2－900＝0.
Δ＝(8a)2－4×25(a2－900)＝－36a2＋90
000.
当直线和圆相交时，Δ>0，
即－36a2＋90
000>0，－50②当直线和圆相切时，Δ＝0，
即a＝50或a＝－50；
③当直线和圆相离时，Δ<0，
即a<－50或a>50.
课堂练习
1若直线4x－3y＋a＝0与圆x2＋y2＝100有如下关系：①相交；②相切；③相离，试分别求实数a的取值范围．
法二：(几何法)
圆x2＋y2＝100的圆心为(0,0)，半径r＝10，
则圆心到直线的距离
=
当直线和圆相交时，d即<10，－50②当直线和圆相切时，d＝r，
即
＝10，a＝50或a＝－50；
③当直线和圆相离时，d>r，
即
>10，a<－50或a>50
课堂练习
?2已知点,
M(3,1),
圆C：
（1）过点P的圆C的切线方程；
（2）过点M的圆C的切线方程，并求出切线长.
解：
由题意得圆心C（1，2）
半径r=2
∵
∴
点P在圆C上.
又
∴
切线的斜率
∴
过点P的圆C的切线方程是
即
课堂练习
?2已知点,
M(3,1),
圆C：
（1）过点P的圆C的切线方程；
（2）过点M的圆C的切线方程，并求出切线长.
解：
(2)
∵
∴点M在圆C外部.
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x=3,
即
x-3=0
.
又点C（1，2）到直线
x-3=0的距离d=3-1=2=r
即此时满足题意，所以直线
x=3是圆的切线方程.
当切线的斜率存在时，设切线方程为y-1=k(x-3),
即kx-y+1-3k=0,
课堂练习
∵
∴
过点M的圆C的切线长为
∴切线方程为
即3x-4y-5=0
综上可得，过点M的圆C的切线方程
x-3=0或
3x-4y-5=0
则圆心C到切线的距离
解得
课堂练习
3已知圆的方程为x2＋y2＝8，圆内有一点P(－1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦．
(1)当α＝135°时，求AB的长；
(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．
(1)法一：(几何法)
解：
如图所示，过点O作OC⊥AB.
由已知条件得直线的斜率为k＝tan
135°＝－1，
∴直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋y－1＝0.
∵圆心为(0,0)，∴|OC|＝＝
∵r＝2，∴|BC|＝＝，
∴|AB|＝2|BC|＝.
课堂练习
3已知圆的方程为x2＋y2＝8，圆内有一点P(－1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦．
(1)当α＝135°时，求AB的长；
(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．
解：
(1)法二：(代数法)
当α＝135°时，直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，即
y＝－x＋1，
代入
x2＋y2＝8，
得
2x2－2x－7＝0.
∴x1＋x2＝1，x1x2＝
∴|AB|＝
课堂练习
3已知圆的方程为x2＋y2＝8，圆内有一点P(－1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦．
(1)当α＝135°时，求AB的长；
(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．
(2)如图，当弦AB被点P平分时，
OP⊥AB.
∵＝－2，
∴＝，
∴直线AB的方程为
y－2＝(x＋1)，
即
x－2y＋5＝0.
解：
合作探究
拓展
求直线与圆相交时弦长的两种方法
(1)几何法
如图①，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有＋d2＝r2，即|AB|＝2.
(2)代数法
如图②所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)
，则|AB|＝·|x1－x2|
=|y1－y2|
(直线l的斜率k存在)．
课堂练习
4已知圆C：
,
l是过点P(3,
0)的直线，则（
）
A.
l与C相交
B.
l
与C相切
C.
l与C相离
D.
以上三个选项均有可能
解析：
是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，
而点P（3，0）到圆心的距离
点P(3,
0)恒在圆内，过点P(3,
0)不管怎么画直线，总与圆相交，
故选A
A
课堂练习
5
已知动直线
l:
mx-y-m=0
与
交于A、B两点，当
l
将
分成两部分的面积之差最大时，则l的方程为_________.
分析：
求出动直线
l
所过的定点C的坐标，判断点C在
内；
由
l
将
分成两部分的面积之差最大时，弦AB的长度最小，弦心距最大，
求出直线
l
的斜率，写出
l
的方程即可.
课堂练习
5
已知动直线
l:
mx-y-m=0
与
交于A、B两点，当
l
将
分成两部分的面积之差最大时，则l的方程为_________.
解：
动直线
l：
mx-y-m=0
可化为
m(x-1)-y=0,
令
,
解得
所以直线
l
过的定点C(1,0),
可化为
且
所以点C在
内；
当
l
将
分成两部分的面积之差最大时，则弦AB的长度最小，所以弦心距最大，因此
因为
所以
所以直线
l
的方程为
y-0=-(x-1)
即
x+y-1=0
课堂总结
直线与圆有三种位置关系
位置关系
交点个数
相交
有两个公共点
相切
只有一个公共点
相离
没有公共点
2.
直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2
的位置关系的判断
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
两个
一个
零个
判
定方法
几何法：
设圆心到直线的距离d＝
d＜r
d＝r
d＞r
代数法：
由
消元得到一元二次方程的判别式Δ
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
课堂总结
用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
板书设计
直线与圆有三种位置关系
2
直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2
的位置关系的判断
3
用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”
4
例题
作业布置
课本98页习题2.5
1,
2，3
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