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5.4三角形的内角和（1）
新课引言
我们每一位同学都有两块三角板，你知道这两块三角板的每一个角有多大吗？每一块三角板的内角和等于多少？
30
60
45
45
90
90
30 +60 +90
=180
45 +45 +90
=180
任意三角形的三个内角是不是也等于180度呢？
主题讲解
主题一、探索三角形内角和
分组完成：用量角器测量P124页图５－２7 中△ＡＢＣ 的三个内角∠Ａ， ∠Ｂ，∠Ｃ 的大小， 得出三组数据， 计算∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ 的值并推测三角形的内角和应该等于多少？
在小学我们将三角形三个角通过拼接的方法得出三角形的内角和等于180
测量出三个三角形的内角和等于180度，还不能说明所有的三角形内角和等于180度，用拼接的方法得出三角形的内角和等于180度是建立在拼接后的两个角的边在一条直线上，这条直线是凭眼睛观察得到的，能说明理由吗？
几何画板
主题二、三角形内角和的推导
【解】：延长BC到D，过C作CE∥AB，则
∠1=∠A, （两直线平行，内错角相等）∠2=∠B, （两直线平行，同位角相等）
∵∠ACB+∠1+∠2=180 , （平角定义）
∴∠A+∠B+∠ACB=180 （等量代换）
1
2
D
E
【分析】：若延长BC到D，那么 则∠BCD=180 ,如果能把∠A,∠B拼成∠ACD问题就解决了，怎样添加辅助线才能是∠A,∠B拼成∠ACD呢？
1、 只作CE ∥AB，不延长BC到D，能说明三角形内角和等于180 吗？
过C作CE∥AB
∴ ∠B+ ∠ACE=180
（两直线平行，同旁内角互补）
即：∠1+∠ACB+∠B=180
∠1=∠A（两直线平行，内错角相等）
∴∠A+∠B+∠ACB=180 （等量代换）
2、能否把三角形的三个角顶点拼在三角形的边上呢？
【解】在BC边上取点D，
过D作DE ∥AC,交AB于E，
DF ∥AB交AC于F，
则∠ 1=∠B, ∠2= ∠C, ∠A= ∠3= ∠EDF
(两直线平行，同位角相等）
∵ ∠1+ ∠2+ ∠EDF=180 （平角定义）
∴ ∠A+ ∠B+ ∠C=180 （等量代换）
3、能否把三角形三个顶点拼在三角形内甚至三角形外呢？课后思考。
【点评】
上面说明三角形内角和等于180度的思路是：把三角形的三个角通过平行线移动到三角形的顶点、边上。
三角形的内角和等于１８０°．
如图， △ABC中，
∠A+ ∠ B+∠C=180
说明：
△ABC中，若已知一个角可以求出另外两个角的和，如：已知∠C,则∠A+ ∠B=180 - ∠C
若已知两个角，可以求出第三个角，如：已知∠ A,∠B,则∠ C=180 -(∠A+ ∠B)
下面三个三角形有什么不同？
主题三、三角形的分类
三个角都是______
有一个角是______
有一个角是______
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
锐角
直角
钝角
主题三、三角形的分类
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
三角形按角分两类：斜三角形、直角三角形。
斜三角形
直
角
边
直角边
斜边
直角三角形
用Rt △表示
下面两个三角形有什么不同？
三角形按边分两类：不等边三角形、等腰三角形。
三条边________
有两条边________
不等边三角形
等腰三角形
都不相等
相等
两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形（ｉｓｏｓｃｅｌｅｓ ｒｉｇｈｔ ｔｒｉａｎｇｌｅ）．
主题四、直角三角形两锐角的关系
如图，Rt △ABC中， ∠C=90 ,
则∠ A+∠B=_______
直角三角形两锐角互余
Rt△ABC中, 若∠C=90 , ∠A=30 ,
则∠B=______.
60
90
利用“直接三角形两
锐角互余”更简单
应用迁移
1、三角形内角和
【例1】在△ABC中，∠A-∠B=35 ，∠C=55 ,则∠B=( )
A 50 , B 55 ，C 45 ，D 40
【解】∵∠A+∠B=180 -∠C
=180-55
=125
由 ∠A=80 ,∠B=45 ，选C
C
【变式练习】
1、在△ABC中， ,则
∠A=___ , ∠B=_____ ,∠C=______
【解】设∠A=X , ∠B=3X , ∠C=5X ,
根据“三角形内角和等于180 ”得：
x+3x+5x=180, 解得x=20,
∴∠A=20 ，∠B=60 ，∠C=100
20
60
100
2、如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90 ，若沿着图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2=（ ）
A 90 ,B 135 ,C 270 ,D 315
【解】“直角三角形两锐角互余”，因此，与∠1、∠2相邻的角之和都为90 ，所以∠1+∠2=180 ×2-90 =270 ，选C。
C
2、三角形的分类
【例2】已知三角形两个内角的差等于第三个内角，那么这个三角形是（ ）
A 直角三角形， B 钝角三角形，
C 等腰直角三角形，D 锐角三角形。
【解】设∠A-∠B=∠C,
∴∠B+∠C=∠A,
∵ ∠A+∠B+∠C=180
∴∠A+∠A=180 , ∠A=90 ,
∴三角形ABC是直角三角形。选A
A
计算最大的角，由此
确定三角形的类型
【变式练习】
关于三角形的分类下面说法是否正确？
三角形按角可以分为：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形、等边三角形。
【答】不对，因为三角按角分类只有两类：斜三角形，直角三角形。
课堂练习
图形 三角形的个数 多边形的内角和
2 2×180
3 3×180
4 4×180
n边形 n-2 (n-2).180
填写下表，探究规律
反思小结
这节课你有什么收获？
1、三角形三个内角的关系：
三角形三个内角的和等于180
2、直角三角形两锐角互余。
3、按角对三角形分类，可以分为：
作业
P 128 A 1 ,B 2
1、△ABC中，∠A 比∠B大25 ，∠C的2倍比∠A大60 ，求∠A,∠B,∠C的度数。
2 如图，在△ABC中，∠ABC=66 ，∠ACB=54 ，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求∠ABE，∠ACF，∠BHC的度数。
5.4三角形的内角和（1）
教学目标
【知识与技能】
1 掌握三角形内角和性质，并能运用它解决有关问题。
2 了解锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的概念，会将三角形按角分类。
3 掌握直角三角形两锐角互余的性质。
【过程与方法】经历观察、操作、推理、交流等活动，发展学生的空间观念，推理能力和有条理的表达能力。
【情感态度与价值观】通过探究活动激发学生学习数学的兴趣，培养动手操作的能力。
重点、难点
重点：三角形内角和及其运用
难点：三角形内角和的推导
教学过程
一 创设情境，导入新课
1、我们每一位同学都有两块三角板，你知道这两块三角板的每一个角有多大吗？
2、每一块三角板的内角和等于多少呢？请你算一算。
3、任意三角形的三个内角是不是也等于180度呢？你怎么知道它等于180度的？
二 合作交流，探究新知
1、在小学我们是采用拼接的方法来说明的，
即把∠A撕下来放在∠1的位置上，把∠B撕下来放在∠2的位置上。这时就可得
∠ACB、∠1和∠2组成了一个平角，从而∠ACB+∠1+∠2=180゜，就可说明∠A+∠B+∠C=180゜了
但是这种说明方法是建立在BC和CD在一条直线上。
BC和CD在一条直线上是凭眼睛观察得到的，能说明理由吗？
很难？有没有办法说明道理呢？这节课我们来学习---
2、三角形内角和的推导
分析：若延长BC到D，那么 则∠BCD=180 ,如果能把∠A,∠B拼成∠ACD问题就解决了，怎样添加辅助线才能是∠A,∠B拼成∠ACD呢？
解：延长BC到D，过C作CE∥AB，则∠1=∠A,
∠2=B,又∵∠ACB+∠1+∠2=180 , ∴∠A+∠B+∠ACD=180
你还有别的方法吗？（交流探讨）
过C作CE∥AB
则∠1+∠ACB+∠B=180 , ∠1=∠A
∴∠A+∠B+∠ACD=180
(2)如图，过点A作DE∥BC，则∠1=∠B,∠2=∠C,又∠1+∠2+∠BAC=180
∴∠BAC+∠B+∠C=180
上面方法共同特点是把△ABC的三个顶点拼在△ABC的顶点处，能否拼在三角形的边上，甚至三角形的内部或外部呢？请你根据下面图形思考
归纳：上面方法的共同特点是什么？
通过平行线把三角形的三个内角平移成一个平角。
3 、三角形的分类
（1）观察：
下面三角形，它们有什么特点？
第（1）个三角形三个角都是锐角，第（2）个三角形有一个角是直角，第（3）个三角形有一个角是钝角。我们把第（1）个三角形叫锐角三角形，第（2）个三角形叫直角三角形，第（3）个三角形叫钝角三角形。
你能说一说什么叫锐角三角形，什么叫直角三角形，什么叫钝角三角形吗？
三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形。钝角三角形和锐角三角形合称为斜三角形。
三角形按角的大小可以分几类？
（3）观察下面直角三角形，它们有什么不同？
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，如图，直角三角形ABC可以表示为：Rt△ABC,
直角三角形中，夹两直角的边叫直角边，直角对的边叫斜边。
图（1）的直角三角形两直角边是相等的，叫等腰直角三角形。
直角三角形两锐角有什么关系？为什么？
直角三角形两锐角互余
考考你：
若Rt△ABC中, ∠A=90 ,
∠B=30 ,求∠C.
强调：可以用三角形内角和等于180 计算，也可以用直角三角形两锐角互余计算，但后一种方法更简单。
三 应用迁移，巩固提高
1、三角形内角和
【例1】在△ABC中，∠A-∠B=35 ，∠C=55 ,则∠B=( )
A 50 , B 55 ，C 45 ，D 40
【解】因为∵∠A+∠B=180 -∠C=180-55 =125
由得：∠A=80 ,∠B=45 ，选C。
【变式练习】
1、在△ABC中，,则∠A=___ ,∠B=_____ ,∠C=______
【解】设∠A=X , ∠B=3X , ∠C=5X ,根据“三角形内角和等于180 ”得：
X+3x+5x=180,解得x=20, ∴∠A=20 ，∠B=60 ，∠C=100
2、如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90 ，若沿着图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2=（ ）
A 90 ,B 135 ,C 270 ,D 315
【解】根据“直角三角形两锐角互余”知道，与∠1、∠2相邻的角之和为90 ，所以∠1+∠2=180 ×2-90 =270 ，选C。
【变式练习】
2、三角形的分类
【例2】已知三角形两个内角的差等于第三个内角，那么这个三角形是（ ）
A 直角三角形，B 钝角三角形，C 等腰直角三角形，D 锐角三角形。
【解】设∠A-∠B=∠C, ∴∠B+∠C=∠A,又∠A+∠B+∠C=180
∴∠A+∠A=180 , ∠A=90 ,所以三角形ABC是直角三角形。选A
【变式练习】
关于三角形的分类下面说法是否正确？
三角形按角可以分为：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形、等边三角形。
【答】不对，因为三角按角分类只有两类：斜三角形，直角三角形。
四 课堂练习，巩固提高
探究
以三角形的内角和性质为依据，探究出四边形、五边形、六边形的内角和
P 125 ----126 1,2
图形名称 分割成几个独立的三角形 多边形的内角和
四边形
五边形
六边形
N边形
五 反思小结，拓展提高
这节课你有什么收获？
1、三角形三个内角的关系：三角形三个内角的和等于180
2、直角三角形两锐角互余。
3、按角对三角形分类，可以分为：
作业
P 128 A 1 ,B 2 补充
1△ABC中，∠A 比∠B大25 ，∠C的2倍比∠A大60 ，求∠A,∠B,∠C的度数。
2 如图，在△ABC中，∠ABC=66 ，∠ACB=54 ，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求∠ABE，∠ACF，∠BHC的度数。
