第4章多项式的运算复习
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第4章多项式的运算复习
教学目标
1 掌握多项式的加减法、乘法运算法则，并能熟练地进行多项式的加减、乘运算。
2掌握同底数的幂的乘法、幂的乘方运算法则并能熟练的进行运算。
教学重点、难点
重点：整式加、减、乘运算法则及应用。
难点：多项式加、减、乘混合运算
教学过程
知识网络
二 知识要点
什么叫同类项？怎样合并同类项？
所含字母_____,且相同字母的指数也_______的项，叫同类项。同类项可以合并方法是：系数_________，字母和字母的指数_______.如：2a2b-3a2b=(2-3)a2b= -a2b
（2）多项式的加减法：合并同类项。
（3）同底数幂的乘法：同底数的幂相乘，底数不变指数相加。即：am.an=am+n(m,n是正整数)
（4）幂的乘方：底数不变，指数相乘。即：（am）n=amn.(m,n是正整数)
（5）单项式乘以单项式：系数乘以系数，同底数的幂相乘。如：2a2b.3ab2=6a3b3
（6）单项式乘以多项式：用单项式分别乘以多项式的每一项。即：a(b+c+d)=ab+ac+ad
（7）多项式乘以多项式：用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即：（a+b）(c+d)=ac+ad+bc+bd
(8)乘法公式
①平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差。
②（a±b）2=a2±2ab+b2
两个数的和或差的平方，等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的二倍。
二 专题训练
1、把握公式特征，灵活运算法则
【例1】有这样一道题：“计算（2x3-3x2y-2xy2）-(x3-2xy2+y3)+(-x3+2x2y-y3)
的值，其中x= ,y=-1.”错抄成了“x= ”，但他计算的结果也是正确的，这是怎么回事呢？
【分析】先化简，由于x的值抄错成它的相反数，所以，化简后的式子含有x的项中，只有x2,而没有x3、x项或者没有含有x的项。
【解】原式=2x3-3x2y-2xy2-x3+2xy2-y3-x3+2x2y-y3=-x2y-2y3
当x=0.5,y=-1时，原式=-0.52×（-1）-2×（-1）3=2.25
当x=-0.5,y=-1时，原式=-（-0.5）2×（-1）-2×（-1）3=2.25
【变式练习】
1、（2010福建泉州）若a、b 是正数，a﹣b=l，ab=2，则a+b=（ ）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．9
【分析】根据（a+b）2=（a﹣b）2+4ab，代值计算，再开平方求解．注意若a、b 是正数，则a+b＞0．
【解】：∵（a+b）2=（a﹣b）2+4ab=12+4×2=9，开平方，得a+b=±3，又∵a、b 是正数，
∴a+b＞0，∴a+b=3．故选B．
【点评】本题考查了完全平方公式，熟记公式的几个变形公式对解题大有帮助．
2、（2011广东湛江）下列计算正确的是（ ）
A、a2 a3=a5 B、a+a=a2 C、（a2）3=a5 D、a2（a+1）=a3+1
【分析】：根据同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加，以及合并同类项：只把系数相加，字母及其指数完全不变．积的乘方：等于把积的每一个因式分别乘方再把所得的幂相乘，分别求出即可．
【解】：A．a2 a3=a5，故此选项正确；
B．a+a=2a，故此选项错误；
C．（a2）3=a6，故此选项错误；
D．a2（a+1）=a3+a2，故此选项错误；
故选：A．
3、计算：（x2+xy+y2）(x2-xy+y2)
【分析】若利用多项式的乘法法则展开，再合并同类项，比较麻烦，可以考虑变形，使其符合乘法公式。
【解】原式=[(x2+y2)+xy)][(x2+y2)-xy]=(x2+y2)2-(xy)2=x4+2x2y2+y4-x2y2==x4+x2y2+y4
4、已知2m=3,2n=4,则2m+n=________。
【分析】2m+n=2m.2n,再整体代入。
【解】2m+n=2m.2n=3×4=12
2、建立方程，破解参数
【例2】若（x2+nx+3）(x2-3x+m)的展开式中不含x2和x3的项，求m，n的值。
【分析】没有必要全部相乘，只需要考虑哪些项相乘得到含有x2的项，哪些项相乘，得到含有x3的项。
【解】展开后得到含有x2的项目是：mx2++3x2-3nx=(m-3n+3)x2
展开后得到含有x3的项是：-3x3+nx3=(n-3)x3
由题意，得：
【点评】解决一个问题有几种不同的方法，我们应该先考虑哪种方法简单些，有选择的使用。
【变式练习】
已知（3x2-2x+1）(x+b)中不含x2项，求b的值。
【解】展开后含有x2的项是：3bx2-2x2=(3b-2)x2,所以3b-2=0，b=
3、适当转化，柳暗花明又一村
【例3】计算：0.25201142012-86700.52011
【分析】逆用同底数幂的乘法法则，运算变得十分简单。
【点评】有时适当转化，使问题能逆用公式，复杂的问题，会变得简单。
【变式练习】
比较216×310与210×314
【解】216×310=26×210×310=26×610，210×314=210×310×34=610×34
26=64<34=81, ∴26×610<610×34, ∴216×310<210×314
4、运用整体思想，化繁为简
【例4】（贵州2010）已知x2-2x=1,求(x-1)(3x+1)-(x+1)2的值。
【分析】由条件无法求出x，可以先化简要求的式子，再整体代入。
【解】(x-1)(3x+1)-(x+1)2=3x2+x-3x-1-(x2+2x+1)
= 3x2+x-3x-1-x2-2x-1
=2x2-4x-2
=2(x2-2x)-2=2×1-2=0
【变式练习】已知a+b=17,ab=60,则(a-b)2=______,a2+b2=_________.
【解】（a-b）2=(a+b)2-4ab=172-4×60=289-240=49
a2+b2=(a+b)2-2ab=172-2××60=289-120=169
5、数形结合，变抽象为直观
【例5】（2011浙江衢州）有足够多的长方形和正方形卡片，如下图：
（1）如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．
这个长方形的代数意义是 a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b） ．
（2）小明想用类似方法解释多项式乘法（a+3b）（2a+b）=2a2+7ab+3b2，那么需用2号卡片 3 张，3号卡片 7 张．
【分析】：（1）先根据题意画出图形，然后求出长方形的长和宽，长为a+2b，宽为a+b，从而求出长方形的面积；
（2）先求出1号、2号、3号图形的面积，然后由（a+3b）（2a+b）=2a2+7ab+3b2得出答案．
【解】：（1）
或
a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b），
故答案为a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）
（2）1号正方形的面积为a2，2号正方形的面积为b2，3号长方形的面积为ab，
所以需用2号卡片3张，3号卡片7张，
故答案为3，7．
【点评】：本题主要考查了整式的混合运算，用到的知识点有长方形的面积公式和正方形的面积公式．
【变式练习】
（2011湖州，16，4分）如图，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽边长分别是2和1的长方形．现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，则应至少取丙类纸片 张才能用它们拼成一个新的正方形．
【分析】：根据构成的新正方形的面积一定是一个完全平方数，根据三张纸片的面积即可确定．
【解】：解：甲类纸片1张，乙类纸片4张，总面积是4+4=8，大于8的完全平方数依次是9，16，25…，而丙的面积是2，因而不可能；当总面积是16时，取的丙纸片的总面积是8，因而是4张．因而应至少取丙类纸片4张才能用它们拼成一个新的正方形．故答案为4．
【点评】：本题主要考查了完全平方公式的几何背景，正确理解新正方形的面积是完全平方数是解题的关键．
三、课堂练习
1 、先化简再求值：其中x=-2,y=-3,z=1.
2 、若n为正整数，且x2n=3求(x3n)2-4(x2)2n的值。
【解】(x3n)2-4(x2)2n
=x6n-4x4n
=(x2n)3 -4(x2n)2
=33 -4 × 32
=27-36
=-9
3 、计算：(-a2b)3+5(a2)2.(-b)3.a2+3b3a6
【解】原式=-a6b3+5a4.(-b3).a2+3b3a6=-a6b3-5a6b3+3a6b3=-3a6b3
4、（2011湖南衡阳）先化简，再求值．（x+1）2+x（x﹣2）．其中．
【分析】：本题需先把要求的式子进行化简整理，再把x的值代入即可求出结果．
【解】：（x+1）2+x（x﹣2）
=x2+2x+1+x2﹣2x
=2x2+1
当时原式=2×+1=
四、反思小结
这节课你掌握了整式运算中哪些法则？
1、熟练掌握整式的加减法、乘法法则、乘法公式是解题的基础；2、适当训练，提高解题能力；3、注意总结经验，归纳解题技巧。
作业P 109 A 1、2、3 ，B 2,3
教学目标
1 掌握多项式的加减法、乘法运算法则，并能熟练地进行多项式的加减、乘运算。
2掌握同底数的幂的乘法、幂的乘方运算法则并能熟练的进行运算。
教学重点、难点
重点：整式加、减、乘运算法则及应用。
难点：多项式加、减、乘混合运算
教学过程
知识网络
二 知识要点
什么叫同类项？怎样合并同类项？
所含字母_____,且相同字母的指数也_______的项，叫同类项。同类项可以合并方法是：系数_________，字母和字母的指数_______.如：2a2b-3a2b=(2-3)a2b= -a2b
（2）多项式的加减法：合并同类项。
（3）同底数幂的乘法：同底数的幂相乘，底数不变指数相加。即：am.an=am+n(m,n是正整数)
（4）幂的乘方：底数不变，指数相乘。即：（am）n=amn.(m,n是正整数)
（5）单项式乘以单项式：系数乘以系数，同底数的幂相乘。如：2a2b.3ab2=6a3b3
（6）单项式乘以多项式：用单项式分别乘以多项式的每一项。即：a(b+c+d)=ab+ac+ad
（7）多项式乘以多项式：用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即：（a+b）(c+d)=ac+ad+bc+bd
(8)乘法公式
①平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差。
②（a±b）2=a2±2ab+b2
两个数的和或差的平方，等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的二倍。
二 专题训练
1、把握公式特征，灵活运算法则
【例1】有这样一道题：“计算（2x3-3x2y-2xy2）-(x3-2xy2+y3)+(-x3+2x2y-y3)
的值，其中x= ,y=-1.”错抄成了“x= ”，但他计算的结果也是正确的，这是怎么回事呢？
【分析】先化简，由于x的值抄错成它的相反数，所以，化简后的式子含有x的项中，只有x2,而没有x3、x项或者没有含有x的项。
【解】原式=2x3-3x2y-2xy2-x3+2xy2-y3-x3+2x2y-y3=-x2y-2y3
当x=0.5,y=-1时，原式=-0.52×（-1）-2×（-1）3=2.25
当x=-0.5,y=-1时，原式=-（-0.5）2×（-1）-2×（-1）3=2.25
【变式练习】
1、（2010福建泉州）若a、b 是正数，a﹣b=l，ab=2，则a+b=（ ）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．9
【分析】根据（a+b）2=（a﹣b）2+4ab，代值计算，再开平方求解．注意若a、b 是正数，则a+b＞0．
【解】：∵（a+b）2=（a﹣b）2+4ab=12+4×2=9，开平方，得a+b=±3，又∵a、b 是正数，
∴a+b＞0，∴a+b=3．故选B．
【点评】本题考查了完全平方公式，熟记公式的几个变形公式对解题大有帮助．
2、（2011广东湛江）下列计算正确的是（ ）
A、a2 a3=a5 B、a+a=a2 C、（a2）3=a5 D、a2（a+1）=a3+1
【分析】：根据同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加，以及合并同类项：只把系数相加，字母及其指数完全不变．积的乘方：等于把积的每一个因式分别乘方再把所得的幂相乘，分别求出即可．
【解】：A．a2 a3=a5，故此选项正确；
B．a+a=2a，故此选项错误；
C．（a2）3=a6，故此选项错误；
D．a2（a+1）=a3+a2，故此选项错误；
故选：A．
3、计算：（x2+xy+y2）(x2-xy+y2)
【分析】若利用多项式的乘法法则展开，再合并同类项，比较麻烦，可以考虑变形，使其符合乘法公式。
【解】原式=[(x2+y2)+xy)][(x2+y2)-xy]=(x2+y2)2-(xy)2=x4+2x2y2+y4-x2y2==x4+x2y2+y4
4、已知2m=3,2n=4,则2m+n=________。
【分析】2m+n=2m.2n,再整体代入。
【解】2m+n=2m.2n=3×4=12
2、建立方程，破解参数
【例2】若（x2+nx+3）(x2-3x+m)的展开式中不含x2和x3的项，求m，n的值。
【分析】没有必要全部相乘，只需要考虑哪些项相乘得到含有x2的项，哪些项相乘，得到含有x3的项。
【解】展开后得到含有x2的项目是：mx2++3x2-3nx=(m-3n+3)x2
展开后得到含有x3的项是：-3x3+nx3=(n-3)x3
由题意，得：
【点评】解决一个问题有几种不同的方法，我们应该先考虑哪种方法简单些，有选择的使用。
【变式练习】
已知（3x2-2x+1）(x+b)中不含x2项，求b的值。
【解】展开后含有x2的项是：3bx2-2x2=(3b-2)x2,所以3b-2=0，b=
3、适当转化，柳暗花明又一村
【例3】计算：0.25201142012-86700.52011
【分析】逆用同底数幂的乘法法则，运算变得十分简单。
【点评】有时适当转化，使问题能逆用公式，复杂的问题，会变得简单。
【变式练习】
比较216×310与210×314
【解】216×310=26×210×310=26×610，210×314=210×310×34=610×34
26=64<34=81, ∴26×610<610×34, ∴216×310<210×314
4、运用整体思想，化繁为简
【例4】（贵州2010）已知x2-2x=1,求(x-1)(3x+1)-(x+1)2的值。
【分析】由条件无法求出x，可以先化简要求的式子，再整体代入。
【解】(x-1)(3x+1)-(x+1)2=3x2+x-3x-1-(x2+2x+1)
= 3x2+x-3x-1-x2-2x-1
=2x2-4x-2
=2(x2-2x)-2=2×1-2=0
【变式练习】已知a+b=17,ab=60,则(a-b)2=______,a2+b2=_________.
【解】（a-b）2=(a+b)2-4ab=172-4×60=289-240=49
a2+b2=(a+b)2-2ab=172-2××60=289-120=169
5、数形结合，变抽象为直观
【例5】（2011浙江衢州）有足够多的长方形和正方形卡片，如下图：
（1）如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．
这个长方形的代数意义是 a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b） ．
（2）小明想用类似方法解释多项式乘法（a+3b）（2a+b）=2a2+7ab+3b2，那么需用2号卡片 3 张，3号卡片 7 张．
【分析】：（1）先根据题意画出图形，然后求出长方形的长和宽，长为a+2b，宽为a+b，从而求出长方形的面积；
（2）先求出1号、2号、3号图形的面积，然后由（a+3b）（2a+b）=2a2+7ab+3b2得出答案．
【解】：（1）
或
a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b），
故答案为a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）
（2）1号正方形的面积为a2，2号正方形的面积为b2，3号长方形的面积为ab，
所以需用2号卡片3张，3号卡片7张，
故答案为3，7．
【点评】：本题主要考查了整式的混合运算，用到的知识点有长方形的面积公式和正方形的面积公式．
【变式练习】
（2011湖州，16，4分）如图，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽边长分别是2和1的长方形．现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，则应至少取丙类纸片 张才能用它们拼成一个新的正方形．
【分析】：根据构成的新正方形的面积一定是一个完全平方数，根据三张纸片的面积即可确定．
【解】：解：甲类纸片1张，乙类纸片4张，总面积是4+4=8，大于8的完全平方数依次是9，16，25…，而丙的面积是2，因而不可能；当总面积是16时，取的丙纸片的总面积是8，因而是4张．因而应至少取丙类纸片4张才能用它们拼成一个新的正方形．故答案为4．
【点评】：本题主要考查了完全平方公式的几何背景，正确理解新正方形的面积是完全平方数是解题的关键．
三、课堂练习
1 、先化简再求值：其中x=-2,y=-3,z=1.
2 、若n为正整数，且x2n=3求(x3n)2-4(x2)2n的值。
【解】(x3n)2-4(x2)2n
=x6n-4x4n
=(x2n)3 -4(x2n)2
=33 -4 × 32
=27-36
=-9
3 、计算：(-a2b)3+5(a2)2.(-b)3.a2+3b3a6
【解】原式=-a6b3+5a4.(-b3).a2+3b3a6=-a6b3-5a6b3+3a6b3=-3a6b3
4、（2011湖南衡阳）先化简，再求值．（x+1）2+x（x﹣2）．其中．
【分析】：本题需先把要求的式子进行化简整理，再把x的值代入即可求出结果．
【解】：（x+1）2+x（x﹣2）
=x2+2x+1+x2﹣2x
=2x2+1
当时原式=2×+1=
四、反思小结
这节课你掌握了整式运算中哪些法则？
1、熟练掌握整式的加减法、乘法法则、乘法公式是解题的基础；2、适当训练，提高解题能力；3、注意总结经验，归纳解题技巧。
作业P 109 A 1、2、3 ，B 2,3