人教版数学八年级上册13.4 课题学习 最短路径问题 同步练习（word解析版）
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级上册13.4 课题学习 最短路径问题 同步练习（word解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 611.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-29 14:01:15 | ||
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文档简介
13.4
课题学习
最短路径问题
一、单选题
1．A，B，C三个车站在东西方向笔直的一条公路上，现要建一个加油站使其到三个车站的距离和最小，则加油站应建在( )
A．在A的左侧
B．在AB之间
C．在BC之间
D．B处
2．如图，点P是直线a外一点，PB⊥a，点A，B，C，D都在直线a上，下列线段中最短的是(
)
A．PA
B．PB
C．PC
D．PD
3．已知两点M（3，5），N（1，－1），点P是x轴上一动点，若使PM＋PN最短，则点P的坐标应为（
）
A．（
，－4）
B．（
，0）
C．（
，0）
D．（
，0）
4．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（ ）
A．750米
B．1000米
C．1500米
D．2000米
5．如图所示，从点A到点F的最短路线是( )
A．A→D→E→F
B．A→C→E→F
C．A→B→E→F
D．无法确定
6．如图，矩形的顶点的坐标为，是的中点，是上的一点，当的周长最小时，点的坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
7．如图，∠AOB＝30°，内有一点P且OP＝，若M、N为边OA、OB上两动点，那么△PMN的周长最小为（
）
A．
B．6
C．
D．
8．如图，等边△ABC的边长为4，AD是边BC上的中线，F是边AD上的动点，E是边AC上一点，若AE=2，则EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为（
）
A．15°
B．22.5°
C．30°
D．45°
9．加油站A和商店B在马路MN的同一侧（如图），A到MN的距离大于B到MN的距离，AB＝7米，一个行人P在马路MN上行走，问：当P到A的距离与P到B的距离之差最大时，这个差等于（
）米
A．8
B．9
C．6
D．7
10．如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
11．如图，平行河岸两侧各有一城镇，，根据发展规划，要修建一条桥梁连接，两镇，已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（
）
B．
C．
D．
12．如图所示，OB是一条河流，OC是一片菜田，张大伯每天从家（A点处）去河处流边挑水，然后把水挑到菜田处，最后回到家中．请你帮他设计一条路线，使张大伯每天行走的路线最短．下列四个方案中你认为符合要求的是（）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．已知点和点，若点在轴上，则的最小值为__________．
14．如图，在等边中，是的中点，是的中点，是上任意一点．如果，，那么的最小值是
．
15．如图，等腰三角形的底边长为10，面积是40，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为______．
16．如图，在中，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值是________．
17．如图，∠AOB＝30°，M，N分别是OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，如果记∠AMP＝，∠ONQ＝，当MP＋PQ＋QN最小时，则与的数量关系是_________________.
三、解答题
18．（1）如图①，点在直线两侧，请你在直线上画出一点，使得的值最小，简述画法、画出图形；
（2）如图②，点在直线同侧，请你在直线上画出一点，使得的值最小，简述画法并画出示意图.
19．某班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，BO桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？（尺规作图，并写出作法）
20．平面上有四个点A、B、C、D，按照以下要求作图：
（1）连接AB并延长AB至E，使BE＝AB；
（2）画∠BCD，并用量角器测出∠BCD的度数（精确到1°）；
（3）在直线BD上确定点G，使得AG+GC最短．
21．如图，等边（三边相等，三个内角都是的三角形）的边长为，动点和动点同时出发，分别以每秒的速度由向和由向运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为，，和交于点．
（1）在运动过程中，与始终相等吗？请说明理由；
（2）连接，求为何值时，；
（3）若于点，点为上的点，且使最短．当时，的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由．
参考答案
1．D
解：设P、B的距离为xkm，
如图1：
路程之和为PA+PC+PB=（AC+x）km；
如图2：
路程之和为PA+PC+PB=（AC+x）km；
综上所述：路程之和为=（AC+x）km，
当x=0时，路程之和为AC的长度，则加油站应建在B处．
故选D
2．B
解：如图，PB是点P到a的垂线段，
∴线段中最短的是PB.
故选B.
3．C
解：如图，因为PM+PN最短,所以M,P,N三点共线,因为M(3,5),N(1,
－1),所以设解析式为把M(3,5),
N(1,
－1),分别代入解析式可得:
,解得,
其解析式为,
当y=0时,,
故P点坐标为(,0).
4．B
解：作A的对称点A’,连接A’B交CD于P,
,
,,
两点之间直线最短，A’B=AP+PB=1000米
5．C
解：由图中可以看出,从点A到点F,AB,EF是必须经过的路线,点B到点E的路线中BE最短,所以点A到点F的最短路线为A→B→E→F,
故答案选C.
6．B
解：如图，画出A点关于y轴的对称点A＇,连接A＇D,与y轴交于点E,根据连接两点的连线中，线段最短，可知此时的周长最小，再由A,可得A＇（4,5），因D(-2，0)，即可求得直线DE表达式是，所以点的坐标是，故选B.
7．D
解：作P关于OA的对称点D,作P关于OB的对称点E,连接DE交OA于M,交OB于N,连接PM,PN,则此时△PMN的周长最小,此时周长最小值等于DE,
因为P,D关于OA对称,
所以OD=OP,
∠DOM=∠POM,
因为P,E关于OB对称,
所以OE=OP,
∠EON=∠PON,
因为∠DOE=∠DOM+∠POM+∠PON+∠EON=2∠MON,
∠AOB=30°,
所以∠DOE=2∠AOB=60°,
所以△DOE是等边三角形,
所以DE=OD=OP=,
所以△PMN的周长最小是,故选D.
8．C
解：过E作EM∥BC，交AD于N，
∵AC=4，AE=2，
∴EC=2=AE，
∴AM=BM=2，
∴AM=AE，
∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，
∴AD⊥BC，
∵EM∥BC，
∴AD⊥EM，
∵AM=AE，
∴E和M关于AD对称，
连接CM交AD于F，连接EF，
则此时EF+CF的值最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC，
∵AM=BM，
∴∠ECF=∠ACB=30°，
故选C．
9．D
解：当A,B,P三点不在同一直线上时,此时三点构成三角形,因为两边AP与BP的差小于第三边AB,所以A,B,P在同一直线上,所以P到A的距离与P到B的距离之差最大,这个差就是AB的长,故答案为:7.
10．B
解：如图,在AC上截取AE=AN,连接BE,
因为∠BAC的平分线交BC于点D,
所以∠EAM=∠NAM,
在△AME与△AMN中,,
所以△AME=△AMN,
所以ME=MN,
所以BM+MN=BM+ME≥BE,
因为BE是点B到直线AC的距离时,BE⊥AC,又AB=,
∠BAC=45°,此时,
△ABE为等腰直角三角形,所以BE=4,即BE取最小值为4,所以BM+MN的最小值是4,故选B.
11．C
解：如图，作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河宽，连接QP′，与河岸L相交于N，作NM⊥L，则MN∥PP′且MN＝PP′，于是四边形PMNP′为平行四边形，故PM＝NP′．根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PM+NQ最短．观察选项，选项C符合题意．
故选C．
12．D
解：要找一条最短路线，以河流为轴，取A点的对称点A'，连接A'N与河流相交于M点，再连接AM，则张大伯可沿着AM走一条直线去河边M点挑水，然后再沿MN走一条直线到菜园去，同理，画出回家的路线图如下：
故选D．
13．5
解：作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，则P即为所求点；
∵点A（0，2），
∴点A关于x轴的对称点A′的坐标为（0，-2），
∵A′（0，-2），B（4，1），
∴A′B==5．
即PA+PB的最小值为5．
故答案为5．
14．
解：∵△ABC是等边三角形,
∴B点关于AD的对称点就是C点,
连接CE交AD于点H,此时HE+HB的值最小．
∴CH=BH,
∴HE+HB=CE,
根据等边三角形的性质,可知三条高的长度都相等,
∴CE=AD=．
故答案为:
．
15．13
解：连接AD，AM．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴
，
解得AD=8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴MA=MC，
∵
∴AD的长为的最小值，
∴△CDM的周长最短=．
故答案为：13．
16．7
解：∵垂直平分，
∴B，C关于直线对称．设交于点D，
∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长，
∴周长的最小值是．
17．α－β＝90°
解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，
易知∠OPM=∠OPM′=∠NPQ，∠OQP=∠AQN′=∠AQN，
∵∠OQN=180°-30°-∠ONQ，∠OPM=∠NPQ=30°+∠OQP，
∠OQP=∠AQN=30°+∠ONQ，
∴．
∵，
∴
故答案为：.
18．（1）答案见详解；（2）答案见详解.
解：(1)如图①，连接AB，交直线l于点P，即为所求；
(2)如图②，作点E关于直线l的对称点E′，连接FE′，交直线l于点Q，即为所求.
19．见详解
解：如图．
作法：
（1）作点C关于OA的对称点A′，
（2）作点C关于OB的对称点B′，
（3）连接A′B′，分别于OA、OB相交于点D、点E，
（4）连接CD、CE，
则C→D→E→C就是小明所走的最短路线．
20．（1）图见解析；（2）∠BCD＝45°；（3）图见解析.
解：（1）如图，线段BE即为所求；
（2）如图，连接CD并延长CD，连接CB并延长CB，∠BCD即为所求的角，∠BCD＝45°；
（3）如图，当AGC三点共线时AG+GC最短，所以连接AC交BD于G，交点G即为所求点．
21．（1）CD与BE始终相等；（2）5；（3）7
解：（1）由已知可得AD=t，EC=t，
∴AD=CE，
∵△ABC是等边三角形
∴∠A=∠ACB=60°，BC=AC，
∴△ADC≌△CEB（SAS），
∴BE=CD，
∴CD与BE始终相等；
（2）∵DE∥BC，
∴AD=AE，
∵AB=AC=10，
∴t=10-t，
∴t=5；
（3）∵BM⊥AC，
∴BM平分∠ABC，
作D点关于BM的对称点D'交BC于点D'，连接D'E，交BM于点P，
∵DP=D'P，
∴DP+PE=D'P+PE=D'E，
∵t=7，
∴AE=BD=BD′=3，AD=CE=7，
∴CD′=7，又∠C=60°，
∴△CD′E为等边三角形，
∴D'E=CD′=7，
∴PD+PE的最小值为7．
课题学习
最短路径问题
一、单选题
1．A，B，C三个车站在东西方向笔直的一条公路上，现要建一个加油站使其到三个车站的距离和最小，则加油站应建在( )
A．在A的左侧
B．在AB之间
C．在BC之间
D．B处
2．如图，点P是直线a外一点，PB⊥a，点A，B，C，D都在直线a上，下列线段中最短的是(
)
A．PA
B．PB
C．PC
D．PD
3．已知两点M（3，5），N（1，－1），点P是x轴上一动点，若使PM＋PN最短，则点P的坐标应为（
）
A．（
，－4）
B．（
，0）
C．（
，0）
D．（
，0）
4．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（ ）
A．750米
B．1000米
C．1500米
D．2000米
5．如图所示，从点A到点F的最短路线是( )
A．A→D→E→F
B．A→C→E→F
C．A→B→E→F
D．无法确定
6．如图，矩形的顶点的坐标为，是的中点，是上的一点，当的周长最小时，点的坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
7．如图，∠AOB＝30°，内有一点P且OP＝，若M、N为边OA、OB上两动点，那么△PMN的周长最小为（
）
A．
B．6
C．
D．
8．如图，等边△ABC的边长为4，AD是边BC上的中线，F是边AD上的动点，E是边AC上一点，若AE=2，则EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为（
）
A．15°
B．22.5°
C．30°
D．45°
9．加油站A和商店B在马路MN的同一侧（如图），A到MN的距离大于B到MN的距离，AB＝7米，一个行人P在马路MN上行走，问：当P到A的距离与P到B的距离之差最大时，这个差等于（
）米
A．8
B．9
C．6
D．7
10．如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
11．如图，平行河岸两侧各有一城镇，，根据发展规划，要修建一条桥梁连接，两镇，已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（
）
B．
C．
D．
12．如图所示，OB是一条河流，OC是一片菜田，张大伯每天从家（A点处）去河处流边挑水，然后把水挑到菜田处，最后回到家中．请你帮他设计一条路线，使张大伯每天行走的路线最短．下列四个方案中你认为符合要求的是（）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．已知点和点，若点在轴上，则的最小值为__________．
14．如图，在等边中，是的中点，是的中点，是上任意一点．如果，，那么的最小值是
．
15．如图，等腰三角形的底边长为10，面积是40，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为______．
16．如图，在中，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值是________．
17．如图，∠AOB＝30°，M，N分别是OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，如果记∠AMP＝，∠ONQ＝，当MP＋PQ＋QN最小时，则与的数量关系是_________________.
三、解答题
18．（1）如图①，点在直线两侧，请你在直线上画出一点，使得的值最小，简述画法、画出图形；
（2）如图②，点在直线同侧，请你在直线上画出一点，使得的值最小，简述画法并画出示意图.
19．某班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，BO桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？（尺规作图，并写出作法）
20．平面上有四个点A、B、C、D，按照以下要求作图：
（1）连接AB并延长AB至E，使BE＝AB；
（2）画∠BCD，并用量角器测出∠BCD的度数（精确到1°）；
（3）在直线BD上确定点G，使得AG+GC最短．
21．如图，等边（三边相等，三个内角都是的三角形）的边长为，动点和动点同时出发，分别以每秒的速度由向和由向运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为，，和交于点．
（1）在运动过程中，与始终相等吗？请说明理由；
（2）连接，求为何值时，；
（3）若于点，点为上的点，且使最短．当时，的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由．
参考答案
1．D
解：设P、B的距离为xkm，
如图1：
路程之和为PA+PC+PB=（AC+x）km；
如图2：
路程之和为PA+PC+PB=（AC+x）km；
综上所述：路程之和为=（AC+x）km，
当x=0时，路程之和为AC的长度，则加油站应建在B处．
故选D
2．B
解：如图，PB是点P到a的垂线段，
∴线段中最短的是PB.
故选B.
3．C
解：如图，因为PM+PN最短,所以M,P,N三点共线,因为M(3,5),N(1,
－1),所以设解析式为把M(3,5),
N(1,
－1),分别代入解析式可得:
,解得,
其解析式为,
当y=0时,,
故P点坐标为(,0).
4．B
解：作A的对称点A’,连接A’B交CD于P,
,
,,
两点之间直线最短，A’B=AP+PB=1000米
5．C
解：由图中可以看出,从点A到点F,AB,EF是必须经过的路线,点B到点E的路线中BE最短,所以点A到点F的最短路线为A→B→E→F,
故答案选C.
6．B
解：如图，画出A点关于y轴的对称点A＇,连接A＇D,与y轴交于点E,根据连接两点的连线中，线段最短，可知此时的周长最小，再由A,可得A＇（4,5），因D(-2，0)，即可求得直线DE表达式是，所以点的坐标是，故选B.
7．D
解：作P关于OA的对称点D,作P关于OB的对称点E,连接DE交OA于M,交OB于N,连接PM,PN,则此时△PMN的周长最小,此时周长最小值等于DE,
因为P,D关于OA对称,
所以OD=OP,
∠DOM=∠POM,
因为P,E关于OB对称,
所以OE=OP,
∠EON=∠PON,
因为∠DOE=∠DOM+∠POM+∠PON+∠EON=2∠MON,
∠AOB=30°,
所以∠DOE=2∠AOB=60°,
所以△DOE是等边三角形,
所以DE=OD=OP=,
所以△PMN的周长最小是,故选D.
8．C
解：过E作EM∥BC，交AD于N，
∵AC=4，AE=2，
∴EC=2=AE，
∴AM=BM=2，
∴AM=AE，
∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，
∴AD⊥BC，
∵EM∥BC，
∴AD⊥EM，
∵AM=AE，
∴E和M关于AD对称，
连接CM交AD于F，连接EF，
则此时EF+CF的值最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC，
∵AM=BM，
∴∠ECF=∠ACB=30°，
故选C．
9．D
解：当A,B,P三点不在同一直线上时,此时三点构成三角形,因为两边AP与BP的差小于第三边AB,所以A,B,P在同一直线上,所以P到A的距离与P到B的距离之差最大,这个差就是AB的长,故答案为:7.
10．B
解：如图,在AC上截取AE=AN,连接BE,
因为∠BAC的平分线交BC于点D,
所以∠EAM=∠NAM,
在△AME与△AMN中,,
所以△AME=△AMN,
所以ME=MN,
所以BM+MN=BM+ME≥BE,
因为BE是点B到直线AC的距离时,BE⊥AC,又AB=,
∠BAC=45°,此时,
△ABE为等腰直角三角形,所以BE=4,即BE取最小值为4,所以BM+MN的最小值是4,故选B.
11．C
解：如图，作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河宽，连接QP′，与河岸L相交于N，作NM⊥L，则MN∥PP′且MN＝PP′，于是四边形PMNP′为平行四边形，故PM＝NP′．根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PM+NQ最短．观察选项，选项C符合题意．
故选C．
12．D
解：要找一条最短路线，以河流为轴，取A点的对称点A'，连接A'N与河流相交于M点，再连接AM，则张大伯可沿着AM走一条直线去河边M点挑水，然后再沿MN走一条直线到菜园去，同理，画出回家的路线图如下：
故选D．
13．5
解：作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，则P即为所求点；
∵点A（0，2），
∴点A关于x轴的对称点A′的坐标为（0，-2），
∵A′（0，-2），B（4，1），
∴A′B==5．
即PA+PB的最小值为5．
故答案为5．
14．
解：∵△ABC是等边三角形,
∴B点关于AD的对称点就是C点,
连接CE交AD于点H,此时HE+HB的值最小．
∴CH=BH,
∴HE+HB=CE,
根据等边三角形的性质,可知三条高的长度都相等,
∴CE=AD=．
故答案为:
．
15．13
解：连接AD，AM．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴
，
解得AD=8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴MA=MC，
∵
∴AD的长为的最小值，
∴△CDM的周长最短=．
故答案为：13．
16．7
解：∵垂直平分，
∴B，C关于直线对称．设交于点D，
∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长，
∴周长的最小值是．
17．α－β＝90°
解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，
易知∠OPM=∠OPM′=∠NPQ，∠OQP=∠AQN′=∠AQN，
∵∠OQN=180°-30°-∠ONQ，∠OPM=∠NPQ=30°+∠OQP，
∠OQP=∠AQN=30°+∠ONQ，
∴．
∵，
∴
故答案为：.
18．（1）答案见详解；（2）答案见详解.
解：(1)如图①，连接AB，交直线l于点P，即为所求；
(2)如图②，作点E关于直线l的对称点E′，连接FE′，交直线l于点Q，即为所求.
19．见详解
解：如图．
作法：
（1）作点C关于OA的对称点A′，
（2）作点C关于OB的对称点B′，
（3）连接A′B′，分别于OA、OB相交于点D、点E，
（4）连接CD、CE，
则C→D→E→C就是小明所走的最短路线．
20．（1）图见解析；（2）∠BCD＝45°；（3）图见解析.
解：（1）如图，线段BE即为所求；
（2）如图，连接CD并延长CD，连接CB并延长CB，∠BCD即为所求的角，∠BCD＝45°；
（3）如图，当AGC三点共线时AG+GC最短，所以连接AC交BD于G，交点G即为所求点．
21．（1）CD与BE始终相等；（2）5；（3）7
解：（1）由已知可得AD=t，EC=t，
∴AD=CE，
∵△ABC是等边三角形
∴∠A=∠ACB=60°，BC=AC，
∴△ADC≌△CEB（SAS），
∴BE=CD，
∴CD与BE始终相等；
（2）∵DE∥BC，
∴AD=AE，
∵AB=AC=10，
∴t=10-t，
∴t=5；
（3）∵BM⊥AC，
∴BM平分∠ABC，
作D点关于BM的对称点D'交BC于点D'，连接D'E，交BM于点P，
∵DP=D'P，
∴DP+PE=D'P+PE=D'E，
∵t=7，
∴AE=BD=BD′=3，AD=CE=7，
∴CD′=7，又∠C=60°，
∴△CD′E为等边三角形，
∴D'E=CD′=7，
∴PD+PE的最小值为7．