3.2.2函数的奇偶性课件-2020-2021学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册(共28张PPT)

(共28张PPT)
函数的奇偶性
安徽淮南第四中学
2020.10
新课程标准
核心素养
1.理解奇函数、偶函数的概念．
数学抽象
2.掌握判断某些函数奇偶性的方法．
逻辑推理
3.掌握奇偶函数的图象特征．
直观想象
4.会根据概念和图象判断简单函数的奇偶性．
逻辑推理
【学法解读】
1．学习本节知识要注意结合前面所学的知识，如单调性、函数图象、解析式等，加强它们的联系．
2．学生应理解“奇偶性”的实质，也就是图象的对称性：是关于原点的中心对称还是关于y轴的轴对称．
情境引入
生活中的对称
在平面直角坐标系中，利用描点法作出函数
y=x2
和y=2-|x|
的图象并观察这两个函数图象，总结出它们的共同特征。
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
f(x)=x2
…
…
9
4
1
0
1
4
9
x
y
o
1
2
3
1
2
3
-1
-2
-3
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
f(x)=|x|
…
…
-1
0
1
2
1
0
-1
x
y
o
1
2
3
1
2
3
-1
-2
-3
图象关于y轴对称
自变量取互为相反数两个数时，函数值相等，即f(-x)=f(x)
知识点1
函数的奇偶性
偶函数定义
一般地，设函数
f(x)的定义域为A，如果对?x∈A，都有-x∈A，
且f(-x)=f(x)，即f(x)的图像关于y轴对称，那么就称f(x)为偶函数.
偶函数的图象关于y轴对称.
思考1：
(1)如果定义域内存在x0，满足f(－x0)＝f(x0)，
函数f(x)是偶函数吗？
不一定，必须对于定义域内的任意一个x都成立
(2).x∈A(A为定义域)，-x∈A说明什么？
偶函数的定义域关于原点对称.
1.判断下列函数是否为偶函数
是
不是
2.函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是偶函数，则a等于(　　)
A．－1　　
B．0
C．1
D．无法确定
观察函数
f(x)=x
和f(x)=
的图象，并完成下面的两个函数值对应表，你能发现这两个函数有什么共同特征吗？
1
x
x
y
o
1
2
3
1
2
3
-1
-2
-3
x
y
o
1
2
3
1
2
3
-1
-2
-3
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
f(x)=x
…
…
-3
-2-1
0
1
2
3
x
…
-3
-2
-1
1
2
3
…
f(x)=
…
…
1
x
1
3
-
1
2
-
1
3
1
2
-1
1
奇函数的定义
一般地，设函数
f(x)的定义域为A，如果对?x∈A，都有-x∈A，
且f(-x)=-f(x)，即f(x)的图像关于原点对称，那么就称f(x)为奇函数.
奇函数图象特征：
奇函数的图象关于原点对称，反之，一个函数的图象关于原点对称，那么它是奇函数．
如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.
判定函数奇偶性基本方法:
①定义法:先看定义域是否关于原点对称,
再看f(-x)与f(x)的关系.
②图象法:
看图象是否关于原点或y轴对称.
例1：判断下列函数的奇偶性：
偶函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
既是奇函数又是
偶函数
非奇非偶
奇函数
图象法
奇函数
偶函数
O
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
知识点2
函数的奇偶性应用
题型一
奇偶函数图象的应用
例1.已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．
(1)画出在区间[－5,0]上的图象；
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．
x
y
o
1
2
3
1
2
3
-1
-2
-3
-4
-5
4
5
(2)由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2,5)．
【对点练习】已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．
(1)请补全完整函数y＝f(x)的图象；
(2)根据图象写出函数y＝f(x)的增区间．
(2)据图可知，单调增区间
为(－1,0)，(1，＋∞)．
题型二
利用函数奇偶性求解析式
例2.已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x＞0时，
f(x)＝x2－2x＋3.试求f(x)在R上的表达式．
[解析]　∵函数f(x)的图象关于原点对称．∴f(x)为奇函数，
则f(0)＝0，设x＜0，则－x＞0，
∵x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3
已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=
，试求f(x)的解析式.
2
x+1
解：设x＜0，则－x＞0，f(x)=f(-x)=
2
-x+1
2
-x+1
x＜0
x≥0
2
x+1
f(x)=
即
f(x)=
2
|x|+1
利用奇偶性求函数解析式的关注点
(1)“求谁设谁”,即在哪个区间求解析式,x就设在哪个区间内.
(2)利用已知区间的解析式代入.
(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而解出f(x).
【跟踪训练】
1.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(x-2),
则当x<0时,f(x)的解析式为
(　　)
A.f(x)=x(x-2)
B.f(x)=x(x+2)
C.f(x)=-x(x-2)
D.f(x)=-x(x+2)
D
2.已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，
求x∈(－∞，0)时，f(x)的解析式．
[解析]　设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1，
∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2－x－1.
∴当x∈(－∞，0)时，
f(x)＝x2－x－1.
题型三
函数奇偶性与单调性的关系
角度1：比较大小
例3定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意x1
,
x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，
有
<0，则
(
)
A.f(3)B.f(1)C.f(-2)D.f(3)x1－x2
f(x1)－f(x2)
偶函数,
f(-2)=f(2),
在[0，＋∞)单调递减
【跟踪训练】
定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,
x2∈(-∞,0](x1≠x2),
有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0,则当n∈N
时,有
(　　)
A.
f(-n)B.
f(n+1)C.
f(n-1)D.
f(n+1)角度2：解不等式
例4.定义在(－1,1)上的奇函数f(x)在整个定义域上是减函数，
若f(1－a)＋f(1－3a)<0，求实数a的取值范围．
[解析]　原不等式化为f(1－3a)<－f(1－a)．
因为f(x)是奇函数，所以－f(1－a)＝f(a－1)．
所以原不等式化为f(1－3a)转化为f(
))
或f(
)>f(
)
因为f(x)是减函数，且定义域为(－1,1)，
利用区间单调性
列不等式组
已知定义在[－2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上是减函数，若f(1－m)[解]　因为f(x)在区间[－2，2]上为奇函数，且在区间[0，2]上是减函数，所以f(x)在[－2，2]上为减函数．
又f(1－m)故实数m的取值范围是[－1，
)
因为函数f(x)在实数集上是偶函数，且f(3)1或a<－2.
C
2．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．
(－1，3)
3.已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时，f(x)=x2-
4x，则
不等式f(x)>x的解集用区间表示为————————
(-5,0)∪(5,+∞)
4.偶函数y=f(x)在[0,+∞)上是减函数,且满足f(2x)>f(x+1),
则x的取值范围为__________.?
f(2x)>f(x+1)?f(|2x|)>f(|x+1|)?|2x|<|x+1|,变形可得:3x2-2x-1<0,
(－
，1)
1
3
5.已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)等于(　　)
A．－26
B．－18
C．－10
D．10
令g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知g(x)是R上的奇函数，从而g(－2)＝－g(2)，
又f(x)＝g(x)－8，∴f(－2)＝g(－2)－8＝10，∴g(－2)＝18，
∴g(2)＝－g(－2)＝－18.∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.
6.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2.
若对任意的x∈[a，a＋2]，不等式f(x＋a)≥2f(x)恒成立，
则实数a的取值范围是________________.
已知f(x)，g(x)均为R上的奇函数，且F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2
在区间(0，＋∞)上的最大值为8，则在区间(－∞，0)上的最
小值为______.
因为f(x)和g(x)的具体表达式并没有给出，因此应充分利用
“f(x)，g(x)均为R上的奇函数”这一条件，构造一个新函
数来间接求解．
由f(x)，g(x)均为R上的奇函数，知af(x)＋bg(x)为R上的奇函数．
由F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上的最大值为8，
得F(x)－2＝af(x)＋bg(x)在(0，＋∞)上的最大值为6.
根据奇函数的性质可知F(x)－2＝af(x)＋bg(x)
在(－∞，0)上的最小值为－6，故F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2
在(－∞，0)上的最小值为－6＋2＝－4.
题型四
函数图像的对称性
2.函数f(x)的图像关于点对称
若函数f(x)对定义域内任一x，都有
(1)f(a－x)＝－f(a＋x)?y＝f(x)的图像关于点(a，0)对称；
(2)f(x)＝－f(a－x)?y＝f(x)的图像关于点
(
,
0)对称；
(3)f(a＋x)＝－f(b－x)?y＝f(x)的图像关于点
(
,0)对称
a
2
a+b
2
1.已知函数f(x＋1)是偶函数，则函数f(x)的对称轴是　　　　
．
直线x＝1
2.已知函数f(x＋1)是奇函数，则函数f(x)的对称中心是　
　
．
(1，0)
∵f(x＋1)是奇函数，∴f(-x＋1)=-f(x＋1)，即f(-x＋1)+f(x＋1)=0
f(x＋1)表示是f(x)向左平移一个单位
3.若函数f(x)＝x2－ax－b满足对于任意的实数x都有f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)的最小值为－2，求实数a，b的值．
f(x＋1)=f(1-x)，关于直线x=1对称，且最小值为-2，
则f(x)=(x-1)2-2=x2-2x-1，a=2，b=1
已知函数f(x)对于任意的实数x、y，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)
(1)求f(0)的值；
(2)试判断函数f(x)的奇偶性；
(3)若x＞0都有f(x)＞0，试判断函数的单调性．
(1).f(0)=0
(2)令y
=
-x，则f(x-x)＝f(x)＋f(-x)=0，奇函数
设0x1＞0
，
f(x2)－f(x1)＞0
，
f(x2)=f[(x2－x1)+
x1]=f(x2－x1)+f(x1)＞f(x1)，
函数
是增函数