3.2.1函数的单调性 课件-2020-2021学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册(共26张PPT)

(共26张PPT)
函数的单调性
安徽淮南第四中学
2020.10
新课程标准
核心素养
1.根据一次函数，二次函数了解并理解函数单调性的概念．
数学抽象
2.会利用函数图象判断一次函数，二次函数的单调性．
直观想象
3.理解一次函数、二次函数等常见函数的最大(小)值问题．
数据分析
4.能利用函数的最值解决有关的实际应用问题．
数学建模
5.掌握利用函数的图象和函数的单调性求一些简单函数的最大(小)值的方法．
数据分析
【学法解读】
1．函数单调性的学习，学生要正确使用符号语言清晰地刻画函数的性质．
2．单调性的有关概念比较抽象，要注意结合具体的函数(如一次函数、二次函数、比例函数等)加深理解其含义及应用．
3．应少做偏题、怪题，避免繁琐的技巧训练．
x
y
o
1
2
3
4
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
5
6
?
?
?
?
?
思考：当时间x逐渐增大时，对应的函数值y有什么变化趋势？如何用数学语言来描述？
函数值随自变量的增大而增大(减小)的性质叫做函数的单调性.
x
y
o
观察函数
图象的变化规律：
x1
x2
下降
(-∞,0]
1.在y轴左侧，从左到右函数图象___（上升/下降），在区间
_____
上，
的值随x的增大而
_____．
减小
(0,+∞)
2.在y轴右侧，从左到右函数图象___
（上升/下降），
在区间
_____
上，
的值随
x的增大而
_____
增大
x1
x2
f(x)=x2在(-∞,0]上是单调递减的
f(x)=x2在(0,+∞)上是单调递增的
上升
知识点1
增函数与减函数的定义
1.增函数.
O
x
y
x1
x2
f(x1)
f(x2)
如果函数f(x)在定义域上单调递增，则称f(x)为
增函数.
设函数y=f(x)的定义域为I：若对于定义域内某个区间D
上的任意两个自变量x1
,
x2，当x1都有f(x1
)>f(x2
)
那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，
D称为f(x)的单调递增区间
x
O
y
x1
x2
f(x1)
f(x2)
2.减函数.
设函数y=f(x)的定义域为I：若对于定义域内某个区间D
上的任意两个自变量x1
,
x2，当x1都有f(x1
)>f(x2
)
那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，D称为f(x)
的单调递减区间
如果函数f(x)在定义域上单调递减，则称f(x)为
减函数.
思考1：增(减)函数定义中的x1，x2有什么特征？
提示：定义中的x1，x2有以下3个特征：
(1)
任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，
证明时不能以特殊代替一般；
(2)
有大小，通常规定x1(3)
属于同一个单调区间．
函数的单调性与单调区间
如果函数y=f(x)在某个区间上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.
1.函数的单调性也叫函数的增减性
2.函数的单调性是对某个区间而言的,它是一个局部概念.
函数单调性定义的等价形式(对于任意的x1
,
x2
∈D且x1
≠
x2)：
f(x)在D上为增函数；
f(x)在D上为减函数；
知识点2
1
-1
x
y
o
2
3
-3
1
2
3
-2
-1
-2
1
-1
x
y
o
2
3
-3
1
2
3
-2
-1
-2
与对称轴、开口方向有关
题型一
求函数的单调区间
例1.如图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的单调区间．
x
y
o
1
2
3
4
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
5
6
7
[解析]　函数的单调增区间为[－1,3)，[5,6)，
单调减区间为[－4，－1)，[3,5)，[6,7]
(1)由函数图象确定函数的单调区间是一种直观简单的方法
(2)单调区间必须是一个区间，不能是两个区间的并集，用和或“，”隔开.
1
-1
x
y
o
2
3
-3
1
2
3
-2
-1
-2
1
-1
x
y
o
2
3
-3
1
2
3
-2
-1
-2
°
根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，
x
y
o
1
-1
3
-3
函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0)，[0,1)，[1，＋∞)．
f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数．
题型二
用定义法证明函数的单调性
[证明]
设x1，x2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝(
)－(
)=(
x1－
x2)+(
－
)
=(
x1－
x2)+
=
x1+
1
x1
x2+
1
x2
1
x1
1
x2
x2－x1
x1x2
(x2－x1)(－1+x1x2)
x1x2
∵0(x2－x1)(－1+x1x2)
x1x2
>0
即f(x1)>f(x2)，
设
作差
化成积的形式
判定符号
例题4.
根据定义，研究函数
f(x)
=
kx
+
b
(k≠0)
的单调性.
【解】函数
f(x)
=
kx
+
b
(k≠0)的定义域是R，对于任意的x1，x2
∈R
,且
x1f(x1)－f(x2)＝(
kx1
+
b)－(
kx2
+
b)=k(x1－x2)
，
由x1知x1－x2<0，所以：当k>0时，k(x1－x2)<0，
f(x1)这时，函数
f(x)
=
kx
+
b
(k≠0)是增函数；
当k<0时，k(x1－x2)>0，
f(x1)>f(x2)，这时，函数
f(x)
=
kx
+
b
(k≠0)是减函数；
题型三
单调性的应用
例5.(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________．
(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．
(1)∵f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的开口向下，要使f(x)在(－∞，3]上是增函数，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4.
∴实数a的取值范围为(－∞，－4]．
(2)∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，
∴2x－3>5x－6，即x<1.∴实数x的取值范围为(－∞，1).
1．(变条件)若本例(1)的函数f(x)在(1,2)上是单调函数，求a的取值范围．
[解]由题意可知－(a＋1)≤1或－(a＋1)≥2，即a≤－3或a≥－2.
所以a的取值范围为(－∞，－3]∪[－2，＋∞)．
x
y
o
1
-1
2
-2
2．(变条件)若本例(2)的函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的范围
3
2
(
，＋∞)
自变量的取值必须在单调区间内
(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.
(2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.
课堂小结
1．思考辨析
(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性．(　　)
(2)若函数y＝f(x)在区间[1,3]上是减函数，则函数y＝f(x)的单调递减区间是[1,3]．(　　)
(3)函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)>f(3)．(　　)
(4)若函数y＝f(x)在定义域上有f(1)(5)若函数f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．(　　)
2．如果函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b的取值范围为(　　)
A．b＝3　　　B．b≥3
C．b≤3
D．b≠3
x
y
o
1
3
2
4