3.4函数的应用（一）课件-2020-2021学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册(共16张PPT)

(共16张PPT)
函数的应用（一）
安徽淮南第四中学
2020.10
新课程标准
核心素养
1.了解函数模型(如一次函数、二次函数、幂函数、分段函数等是现实生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
数学抽象
2.能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题．
数学建模
【学法解读】
1．学生应理解如何用函数描述客观事物的变化规律，体会函数与现实世界的联系．
2．会用已学过的一次函数、二次函数、幂函数、分段函数处理有关实际应用问题．
一次函数模型
形如y＝kx＋b的函数为________________，其中k≠0.
知识点1
一次函数模型
类型一
一次函数模型的应用
【例1】　某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y＝6x＋30
000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒(　　)
A．2
000套　　
B．3
000套
C．4
000套
D．5
000套
1．A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地．
(1)试把汽车与A地的距离y(单位：千米)表示为时间x(单位：小时)的函数；
(2)根据(1)中的函数解析式，求出汽车距离A地100千米时x的值．
例2.一辆汽车在某段路程中的平均速率v(单位km/h)与时间t(单位h)之间的
关系
如图所示.
(1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
?
?
?
90
80
70
60
50
40
30
20
10
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
50
75
65
80
90
·
·
·
·
·
阴影部分的面积为：50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360
这个面积表示的含义是汽车在这5小时内行驶的路程为360km.
(2)假设开车前里程表读数为2020km，试求出里程表读数S与时间t的表达式.
S=
类型二
二次函数模型的应用
例3.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；
(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
[解]　(1)根据题意，得y＝90－3(x－50)，
化简，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)．
(2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9
600(50≤x≤55，x∈N)．
(3)因为w＝－3x2＋360x－9
600＝－3(x－60)2＋1
200，
所以当x<60时，w随x的增大而增大．又50≤x≤55，x∈N，所以
当x＝55时，w有最大值，最大值为1
125.所以当每箱苹果的售价
为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1
125元．
2.某租车公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3
000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加60元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每月需要维护费160元,未租出的车每月需要维护费40元.
①当每辆车的月租金定为3
900元时,能租出多少辆车?
②当每辆车的月租金为多少元时,租车公司的月收益最大?最大月收益是多少?
解:①租金增加了900元,900÷60=15,所以未租出的车有15辆,一共能租出85辆.
②设租金提高后有x辆未租出,则已租出(100-x)辆.租赁公司的月收益为y元,y=(3
000+60x)(100-x)-160(100-x)-40x,其中x∈[0,100],x∈N,整理得y=-60x2+3
120x+284
000=-60(x-26)2+324
560,当x=26时,y=324
560,即最大月收益为324
560元.此时,月租金为3
000+60×26=4
560(元).
如图所示,已知边长为8
m
的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4
m,CD=6
m.为合理利用这块钢板,在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM,使点P在边DE上.
(1)设MP=x
m,PN=y
m,将y表示成x的函数,求该函数的解析式及定义域;
(2)求矩形BNPM面积的最大值.
A
M
P
N
B
C
D
E
F
解:(1)如图,作PQ⊥AF于点Q.
所以PQ=(8-y)m,EQ=(x-4)m
.
又因为△EPQ∽△EDF,
Q
EQ
EF
PQ
FD
=
x-4
4
8-y
2
=
y=
-
x+10
1
2
(2)设矩形BNPM的面积为S
m2,
则S(x)=xy=
-
(x-10)2+50,
1
2
{x|4≤x≤8}.
对称轴为直线x=10,所以当x∈[4,8]时,S(x)单调递增.
所以当x=8时,矩形BNPM的面积取得最大值,为
48
m2.
类型三
幂函数模型的应用
例4.某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．
(1)分别写出两类产品的收益与投资额x的函数关系式；
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？
【对点练习】
在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R与管道半径r的四次方成正比．
(1)写出函数解析式；
(2)假设气体在半径为3
cm的管道中，流量速率为400
cm3/s.求该气体通过半径为r
cm的管道时，其流量速率R的解析式；
(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5
cm，计算该气体的流量速率．(结果保留整数)
[解析]　(1)由题意，得R＝kr4(k是大于0的常数)．
类型四
分段函数模型的应用
【对点练习】某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水量不超过4
t时，每吨3元，当用水量超过4
t时，超过部分每吨4元．现甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x
t,3x
t.
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)若甲、乙两户该月共交水费40元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
[解析]　(1)当甲户用水量不超过4
t，即5x≤4时，乙户用水量也不超过4
t，
y＝(5x＋3x)×3＝24x；
当甲户的用水量超过4
t而乙户的用水量不超过4
t，
当甲、乙两户的用水量均超过4
t，即3x>4时，
y＝4×3×2＋(5x－4)×4＋(3x－4)×4＝32x－8.
即5x>4且3x≤4时，y＝4×3＋3x×3＋4×(5x－4)＝29x－4；