3.2.1函数的最大（小）值课件-2020-2021学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册(共20张PPT)

(共20张PPT)
函数的最大(小)值
安徽淮南第四中学
2020.10
新课程标准
核心素养
1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义．
数学抽象
2.能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．
数学运算
3.理解一次函数、二次函数等常见函数的最大(小)值问题．
数据分析
4.能利用函数的最值解决有关的实际应用问题．
数学建模
5.掌握利用函数的图象和函数的单调性求一些简单函数的最大(小)值的方法．
数据分析
知识点一
：函数的最大(小)值的概念
　曲线的最高点对应的纵坐标为函数的最大值，最大值为9；曲线的最低点对应的纵坐标为函数的最小值，最小值为－2.
1．最大值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤
M;
（2）存在x0∈I，使得f(x0)
=
M
那么，称M是函数
y=f(x)
的最大值
2．最小值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥
M;
（2）存在x0∈I，使得f(x0)
=
M
那么，称M是函数y=f(x)的最小值
思考2：若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？
提示：不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．
函数的最值与值域有怎样的关系？
(1)函数的值域一定存在，函数的最值不一定存在．
(2)若函数的最值存在，则最值一定是值域中的元素．
(3)若函数的值域是开区间，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值．
题型一
利用函数的图像求函数的最值(值域)
x
y
o
1
2
3
4
1
2
3
4
-1
-2
5
(2)由图可知f(x)的单调递增区间为(－1，0)，(2，5)，单调递减区间为(0，2)，值域为
[－1，3].
1．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是________．
－1、2
x
y
o
1
2
3
1
2
3
-1
-2
故f(x)的最大值为1，最小值为0
题型二
利用函数的单调性求最值(值域)
x1－x2
(x1+1)(x2+1)
同理f(x)在[2,4]上是增函数．
∴当x＝2时，f(x)取得最小值4；当x＝1或x＝4时，f(x)取得最大值5.
2.求函数
在区间[2，6]上的最大值和最小值．
解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1f(x1)－f(x2)＝
－
=
2
x2-1
2
x1-1
2(x2－x1)
(x1-1)(x2-1)
由于2得x2-
x1>0,
(x1-1)(x2-1)>0,于是
f(x1)－f(x2)>0,
f(x1)>f(x2)
所以，函数
y＝
是区间[2,6]上的单调递减.
2
x-1
x=2时取最大值，最大值是2，在x=6时取最小值，最小值为0.4
.
题型三
二次函数的最值问题
例3.已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值．
(1)R；(2)[0,3]；(3)[－1,1]．
[解析]　f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7，作出函数y＝f(x)的图象，
如图所示．
x
y
o
2
4
2
4
5
-7
(1)当x∈R时，f(x)＝3(x－2)2－7≥－7，当x＝2时，等号成立．
故当x∈R时，函数f(x)的最小值为－7，无最大值．
(2)[－7,5]
(3)[－4,20]
例4.求函数f(x)＝x2－2x＋2在区间[t，t＋1]上的最小值g(t)．
x
y
o
1
2
1
2
-1
-2
x
y
o
1
2
1
2
-1
-2
x
y
o
1
2
1
2
-1
-2
t＋1
t＋1
t
t
t＋1
t
当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图1所示，
函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以
最小值为g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；
当t>1时，函数图象如图3所示，
函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，
所以最小值为g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.
当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，
函数图象如图所示，最小值为
g(t)＝f(1)＝1
例5.已知函数f(x)＝x2－ax＋1，求f(x)在[0,1]上的最大值．
x
y
o
1
2
1
2
-1
-2
x
y
o
1
2
1
2
-1
-2
[解析]　(1)令x＝y＝1，得f(1)＝2f(1)，故f(1)＝0.
1．函数y＝x2－2x，x∈[0，3]的值域为(　　)
A．[0，3]　　
B．[－1，0]
C．[－1，＋∞)
D．[－1，3]
x
y
o
1
2
1
2
-1
-2
3．函数y＝ax＋1在区间[1，3]上的最大值为4，则a＝______．
若a<0，则函数y＝ax＋1在区间[1，3]上是减函数，并且在区间的左端点处取得最大值，即a＋1＝4，解得a＝3，不满足a<0，舍去；若a>0，则函数y＝ax＋1在区间[1，3]上是增函数，并且在区间的右端点处取得最大值，即3a＋1＝4，解得a＝1.综上，a＝1
1
4
∴
函数g(x)的值域为[－
，+∞)
17
8