5.1.1任意角 课件-2020-2021学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册(共24张PPT)

(共24张PPT)
任意角
安徽淮南第四中学
2020.11
新课程标准
核心素养
1.了解任意角的概念，能区分各类角的概念；
数学抽象
2.掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角；
直观想象
3.理解终边相同的角的含义及表示，并能解决有关问题；
数学运算
4.能够根据任意角的概念，结合象限角的概念，分析角、倍角、半角所在象限，为以后的学习打好基础．
逻辑推理
情境导入
体操是力与美的结合，也充满了角的概念.
“前空翻转体540度”
“后空翻转体720度”
2002年在匈牙利世锦赛上，李小鹏在跳马时做出的“踺子后手翻转体180度接直体前空翻转体900度”获得“李小鹏跳”命名.
体操中有转体两周或转体两周半，如何度量这些角度呢？
再如钟表的指针、拧动螺丝的扳手等等按照不同方向旋转所成的角，不全是0°～360°范围内的角.
任意角的概念
初中是如何定义角的？
从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形.
这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是[0?,
360?)，
这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”.
顶点
边
边
1.角的概念的推广
生活中很多实例会不在该范围。
体操运动员转体720?，跳水运动员向内、向外转体1080?；
经过1小时，时针、分针、秒针各转了多少度？
这些例子不仅不在范围[0?,
360?)
，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，
想想用什么办法才能推广到任意角？
关键是用运动的观点来看待角的变化。
“旋转”形成角
一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．
旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．
顶点
始边　
终边
A
B
“正角”与“负角”、“0?角”
我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=－150°，γ=660°，
2.角的分类
特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零度角（0?）．
角的记法：角α或可以简记成∠α.
角的概念推广以后，包括任意大小的正角、负角和零角，统称为任意角．
要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样．
用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋转中心、旋转方向和旋转量）
（1）旋转中心：作为角的顶点.
（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么许多问题就可以解决了；
（3）旋转量：当旋转超过一周时，旋转量即超过360?，角度的绝对值可大于360?
.于是就会出现720?
，
－
540?等角度.
3．“象限角”
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。
角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）
例如：30?、390?、?330?是第Ⅰ象限角，
300?、
?60?是第Ⅳ象限角，
585?、1300?是第Ⅲ象限角，
135
?
、?2000?是第Ⅱ象限角等
2
1
-1
-2
1
2
0
y
x
-1
始边　
终边
A
B
o
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，或称
这个角为轴线角.
下列各角：-50°，405°，210°,
-200°，-450°分别是第几象限的角？
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
-50°
405°
210°
-200°
第四象限角
第一象限角
第三象限角
第二象限角
轴线角
思考：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？
象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.
4.终边相同的角
-32°，328°，-392°是第几象限的角？这些角有什么内在联系？
x
y
328°
-392°
-32°
所有与-32°角终边相同的角，连同-32°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？
这些角的终边相同，有无数个；相差360°的整数倍
与α终边相同角的集合为{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}
{β｜β＝-32°＋k·360°，k∈Z}
注意以下四点：
①
k∈Z；
②
?是任意角；
③
k·360?与?之间是“+”号，如k·360?－30?,应看成k·360?+(－30?)；
④
终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360?的整数倍.
与α终边相同角的集合为{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}
例1.
在0?到360?范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.
(1)
－120?；(2)
640?；(3)
－950?12′.
解：⑴∵－120?=－360?+240?，∴240?的角与－120?的角终边相同，
它是第三象限角．
⑵
∵640?=360?+280?，∴280?的角与640?的角终边相同，
它是第四象限角．
⑶
∵－950?12’=－3×360?+129?48’，∴129?48’的角与－950?12’的角终边相同，它是第二象限角．
各象限角的集合表示
象限角
集合表示
第一象限角
{α|k·360°<α第二象限角
{α|k·360°＋90°<α第三象限角
{α|k·360°＋180°<α第四象限角
{α|k·360°＋270°<α角的终边的位置
集合表示
终边落在x轴的非负半轴上
{α|α＝k·360°，k∈Z}
终边落在x轴的非正半轴上
{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
终边落在y轴的非负半轴上
{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}
终边落在y轴的非正半轴上
{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}
终边落在y轴上
{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
终边落在x轴上
{α|α＝k·180°，k∈Z}
终边落在坐标轴上
{α|α＝k·90°，k∈Z}
轴线角：
1.锐角是第几象限角？直角呢？钝角呢？
【解】锐角是第一象限角；直角是轴线角；钝角是第二象限角.
2.第一象限角一定是锐角吗？轴线角一定是直角吗？第二象限角一
定是钝角吗？
【解】第一象限角不一定是锐角，如390°；
轴线角不一定是直角，如180°；
第二象限角不一定是钝角，如-210°.
3.分别写出图中终边落在两个阴影部分的角α的集合
x
y
o
75°
30°
①
②
【解】①在0°~360°范围来看，阴影部分的角α的范围是30°≤α<105°，所以在坐标系中角α的范围是
{α|k·360°+30°≤α②在0°~360°范围来看，阴影部分的角α的范围是210°≤α<285°，所以在坐标系中角α的范围是
{α|k·360°+210°≤α4.若α是第二象限角，请确定2α的终边所在的位置
【解】①因为α是第二象限角，所以k·360°+90°＜α＜k·360°+180°,k∈Z
所以2k·360°+180°
＜
2α
＜
2k·360°+360°,k∈Z
x
y
o
如图，即2α的终边位于第三或者第四象限，或者位于y轴的负半轴上.
5.若α是第二象限角，请确定
的终边所在的位置
α
2
x
y
o
①
②
③
④
①
②
③
④
也可以运用图示的高阶方法，从
x轴正半轴沿逆时针把每个象限平分成2部分，并且依次标上①②③④，则标②的就是
所在的区域.
α
2
5.若α是第二象限角，请确定
的终边所在的位置
α
3
x
y
o
①
②
③
④
①
②
③
④
①
②
③
④
这次我们直接运用图示的高阶方法，从x轴正半轴沿逆时针把每个象限平分成3部分，并且依次标上①②③④，则标③的就是
所在的区域.
α
3
6.写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式
-360°≤β＜720°的元素?写出来
{β｜β＝45°＋k·180°，k∈Z}
－315°,-135，45°,
225，
405°，585°.
终边落在一条直线上
k·180°+α
7．若角2α与240°角的终边相同，则α＝
(　　)
A．120°＋k·360°，k∈Z
B．120°＋k·180°，k∈Z
C．240°＋k·360°，k∈Z
D．240°＋k·180°，k∈Z
解析：角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.
8.若角满足下列条件，求它们的关系式？
(1).终边关于x轴对称；
(2).终边关于y轴对称；
(3).终边互为反向延长线.
x
y
o
α
β
α+β=k·360°
x
y
o
α
β
α+β=(2k+1)·180°
x
y
o
α
β
β-
α
=(2k+1)·180°