4.5.1函数的零点与方程的解课件-2020-2021学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册(共20张PPT)

(共20张PPT)
函数的零点与方程的解
安徽淮南第四中学
2020.11
新课程标准
核心素养
1.了解函数零点的定义，并会求简单函数的零点；
数学抽象
2.了解函数零点与方程解的关系；
数学抽象
3.结合具体连续函数及其图像的特点，了解函数零点存在性定理.
逻辑推理
情境引入
我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，
知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点.
例如，方程x2－12x＋20＝0的解为x1＝2，x2＝10，,则二次函数f(x)=y=x2－12x+20的零点就是2和10
x
y
o
2
10
在图像上显示为
画出下列函数的图象
(1)
f(x)=x－1
f(x)=x2－2x+1
(2)
f(x)=
f(x)=
(3)
f(x)=2x
－1
f(x)=log2x
2
1
-1
-2
1
2
0
y
x
-1
2
1
-1
-2
1
2
0
y
x
-1
2
1
-1
-2
1
2
0
y
x
-1
°
思考：当函数和x轴有交点时，
其交点横坐标与方程
f(x)=0的
解有什么关系？
如图为函数
在
上的图象：
x
y
o
1
-2
2
4
3
-3
-1
-4
问题1：根据函数的图象，你能否得出方程
的实根？
x=-3，x=-1，x=2
问题2：你认为方程f(x)=0的实根和对应函数的图象
与x轴交点的横坐标有什么关系？
方程f(x)=0的实数根
函数y=
f(x)图象与x轴交点的横坐标
函数零点的定义:
与二次函数的零点一样，对于一般函数
y=f(x)，我们把使得
f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
知识点一
这样，函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函
数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标.所以：
方程f(x)=0有实数解
函数y=f(x)有零点
函数y=f(x)的图像与x轴有交点
思考
(1)函数的零点是点吗？
(2)函数的零点个数、函数的图象与x轴的交点个数、方程f(x)＝0根的个数有什么关系？
①数值上相等
②存在性相同
③个数相等
函数的零点不是点，而是实数
问：求函数零点的方法有哪些？
零点的定义给出了求解函数零点的基本方法
(1)代数法：
若方程
f(x)=0可解，其实数根就是函数y=f(x)的零点.
(2)图像法：
若方程f(x)=0
难以直接求解，将其改为f(x)=g(x)-
h(x)=0
,
进一步改为g(x)=h(x)，在同一坐标系中分别画出两个函数
y=g(x)
和
y=h(x)
的图像，两图像交点的横坐标就是函数
y=f(x)的零点.
.
1.函数
的零点是（
）
A.（－1,0）或（6,0）
B.
x=6
C.（6,0）
D.
－1和6
　　　　　　
2.求下列函数的零点.
1
2
-1，3
以二次函数
f(x)=x2-2x-3为例,观察它的图象,发现它在区间[2,
4]上有零点。
这时，函数图象与x轴有什么关系?在区间[-2,
0]上是否也有这种关系?
你认为应如何利用函数
f(x)的取值规律来刻画这种关系?
再任意画几个函数的图象，观察函数零点所在区间，
以及这一区间内函数图象与x轴的关系，并探究用
f(x)的取值刻画这种关系的方法.
可以发现，在零点附近，函数图象是连续不断
的，并且“穿过”x轴。函数在端点x=2和x
=4
的取值异号，即
f(2)
f(4)<0,函数
f(x)=x2-2x-3在
区间(2,
4)内有零点x
=3,它是方程x2-2x-3=0的一
个根。
2
1
-1
-2
1
2
0
y
x
3
-1
4
-2
同样地，f(-2)
f(0)<0，函数f(x)=x2-2x-3在(-2,
0)内有零点x=
-1,
它是方程x2-2x-3=0的另一个根。
观察函数的图象①在区间(a,b)上____(有/无)零点；f(a)
f(b)_____0（＜或＞）．
②
在区间(b,c)上______(有/无)零点；f(b)
f(c)
_____
0（＜或＞）．
③
在区间(c,d)上______(有/无)零点；f(c)
f(d)
_____
0（＜或＞）
b
a
c
0
y
x
d
有
＜
有
＜
有
＜
2
1
-1
-2
1
2
0
y
x
3
-1
4
-2
知识点二
函数零点存在定理
如果函数
y=f(x)
在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，
且有
f(a)
f(b)<0
，那么函数
y=f(x)在区间
(a,b)
内有零点，
即存在
c
∈
(a,b)，使得
f(c)
=0，这个c也就是方程
f(x)=0
的解。
思考1：如果函数
y=f(x)在区间[a,b]上有
f(a)
f(b)<0，那么函数
y=f(x)在区间
(a,b)
内是否一定有零点？
0
y
x
思考2：如果函数
y=f(x)在区间[a,b]上是
连续不断的一条曲线，那么函数
y=f(x)
在区间
(a,b)
内是否一定有零点？
0
y
x
“在给定区间[a,b]上连续”和“f(a)
f(b)<0”这两个条件缺一不可
思考3：如果函数
y=f(x)在区间[a,b]上是一条连续不断的曲线，且在区间
(a,b)
内有零点，是否一定有f(a)
f(b)<0
？
x
y
0
“在给定区间[a,b]上连续”和“f(a)
f(b)<0”这两个
条件是函数
y=f(x)在区间
(a,b)
内有零点的充分不必
要条件。
问题4
如果函数
y=f(x)
在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有
f(a)
f(b)<0
，那么函数
y=f(x)在区间
(a,b)
内有零点，但是否只有一个零点呢？
0
y
x
函数零点存在定理可以证明函数有零点，
但不能判定零点的个数。
例1
已知函数f(x)=lnx+2x－6，能判断出函数零点大致在哪个区间上吗？
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f(x)
-4
-1.3069
1.0986
3.3863
5.6094
7.7918
9.9459
12.0794
14.1972
解：用计算工具作出x、f(x)的对应值表和图象
x
0
－2
－4
－6
10
5
y
2
4
10
8
6
12
14
8
7
6
4
3
2
1
9
由函数零点存在定理可知，这个函数在区间(2,3)内至少有一个零点。
1．函数f(x)＝x－2＋log2x，则f(x)的零点所在区间为(　　)
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
[解析]　f(1)＝－1＋log21＝－1，f(2)＝log22＝1，∴f(1)·f(2)<0，
2.f(x)＝lnx＋x3－9的零点所在的区间为(　　)
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
[解析]　f(1)＝1－9＝－8<0，f(2)＝ln2＋8－9＝ln2－1<0，
f(3)＝ln3＋27－9＝ln3＋18>0，
∴f(2)·f(3)<0，∴函数f(x)的零点所在的区间为(2,3)．
例2.如何求方程lnx+2
x－6=0实数解的个数？
解：函数f(x)=lnx+2
x－6的定义域为(0,+∞)
∵y=lnx和y=2x-6在(0,+∞)上都是增函数，
∴f(x)=lnx+2x-6在(0,+∞)上是增函数，
又∵f(2)=ln2+2
×2－6<0,
f(3)=ln3+2
×3－6>0,
∴函数在定义域(0,+∞)内仅有一个零点
方程lnx+2
x－6=0实数解的个数化成f(x)=lnx和
f(x)=
-2x+6图像交点的个数？
思考
2
1
-1
-2
1
2
0
y
x
3
-1
y=lnx
y=
－2x+6
函数零点存在定理的推论：
如果函数
y=f(x)
在[a,b]上,图象是连续的,并且在闭区间的两个端点上的函数值互异，即f(a)f(b)﹤0,且是单调函数,那么，这个函数在(a,b)内必有惟一的一个零点。
C
D
3
1
0
y
x