5.2.1三角函数的概念课件-2020-2021学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册(共24张PPT)

(共24张PPT)
三角函数的概念
安徽淮南第四中学
2020.11
新课程标准
核心素养
1.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
数学建模
2.理解三角函数的概念．
数学抽象
3.熟练掌握三角函数值在各象限的符号．
直观想象
4．通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等．
数学运算
O
x
y
r=1
P
风景区内有半径r=1的水车，为了让水车更加美观，需要进行装饰，遇到了这样一个问题：点p与o点在同一水平位置，随着水车逆时针旋转角α＝
，点到中心水平线的高度h为多少？
π
6
P
α＝
、
、任意角？
3π
4
7π
6
1.初中时，我们怎样利用直角三角形定义了锐角三角函数的呢？
α
O
M
P
a
b
c
2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
x
y
O
a
b
M
P
﹒
﹒
如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
x
y
M
∽
为了使sinα
，cosα的表示式更简单，你认为点P的位置选在何处最好？
y
x
o
P
M
作单位圆与角的终边相交于P(a,b)
以原点为圆心,以单位长度为半径的圆叫做单位圆
如果α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），sinα，cosα，tanα对应的值怎样？
y
x
o
三角函数的定义
对应关系
，
，
都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,分别称为正弦函数、余弦函数和正切函数，并统称为三角函数.
注意：无论角a是第几象限角，它的三角函数的定义都是一样。
说
明
(1).正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点的横坐标，
正切就是交点的纵坐标与横坐标的比值.
(2).正弦、余弦总有意义.当
的终边在
轴上时，点P
的横坐标等
于0，
无意义，此时
(3).由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数.
x
y
o
的终边
设角
是一个任意角，
是终边上的任意一点，
点
与原点的距离
.
那么①
叫做
的正弦，即
②
叫做
的余弦，即
③
叫做
的正弦，即
任意角
的三角函数值仅与
有关，而与点
在角的终边上的位置无关.
例1.求
的正弦、余弦和正切值.
﹒
﹒
解：在直角坐标系中，作
，易知
的终边与单位圆的交点坐标为
所以
例2.已知角
的终边经过点
，求角
的正弦、余弦和正切值
.
解:由已知可得
P0
P
M
M0
几个特殊角的三角函数值
角α
0o
30o
45o
60o
90o
180o
270o
360o
角α的弧度数
sinα
cosα
tanα
1
2
3
2
3
3
2
2
2
2
1
3
2
1
2
3
1
0
0
0
0
-1
-1
1
0
0
1.
角α的终边经过点P(0,
b)则(
)
A.sin
α=0
B.sin
α=1
C.sin
α=-1
D.sin
α=±1
D
2.若角600o的终边上有一点(-4,
a),则a的值是(
)
600o的终边落在第三象限，∴a<0，
60°
3.已知角α的终边经过点P(2a,-3a)，求角α的正弦、余弦、正切值．
x
=2a,
y
=
-3a
r=
=
=
x2+y2
(2a)2+(-3a)2
a
13
当a<0时，sinα=
,cosα=-
,
tanα=-
3
13
13
3
2
2
13
13
当a>0时，sinα=-
,cosα=
tanα=-
3
13
13
2
13
13
3
2
4.已知角的终边落在直线y＝2x上，求sinα、c
osα、tanα的值．
[解析]　当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1,2)，
(
)
(
)
三角函数在各象限内的符号：
y
x
o
y
x
o
y
x
o
+
（
）
（
）
（
）
（
）
（
）
（
）
（
）
（
）
（
）
（
）
（
）
+
-
-
+
+
-
-
+
+
-
-
例3
确定下列三角函数值的符号：
(1)
(2)
(3)
(1)因为250°是第三象限角，所以cosα<0；
解：
(2)∵－672?=－2×360?+48?，∴tan(－672?)>0.
π
4
(3)因为－
是第四象限角，所以
π
4
sin(－
)<0
探究
　　
根据三角函数的定义:
终边相同的角的同一三角函数值是否相等？
∵终边相同的角的集合为：
终边相同
点的坐标相同
三角函数值相同
终边相同的角的三角函数关系
　　终边相同的角的同一三角函数值相等，由此得到一组公式（公式一）：
（其中
）
　　利用公式一，作用在于可将求任意角的三角函数值，转化为求0～2π
（或0°～360°)范围内的三角函数值.
(1)
cos390°=cos(360°+30°)=cos30°=
3
2
(2)
7π
4
sin(－
)=sin(－2π+
)=sin
=
π
4
π
4
2
2
(3)tan(－675°)=tan(－2×360°+45°)=tan45°=1
(4)tan3π=tan(2π+π)=tanπ=0
C
2.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2)，且cosα≤0，sinα>0，则a的取值范围是____________
(-2,3]
3a-9≤0
a+2>0
归纳
总结
1.
内容总结：
①三角函数的概念.
②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号.
③诱导公式一.
2
.方法总结：
运用了定义法、公式法、数形结合法解题.
3
.体现的数学思想：
划归的思想，数形结合的思想.