第9章平面向量单元检测A卷-2020-2021学年高一下学期数学苏教版 (2019) 必修第二册（Word含解析）

单元检测一　平面向量(A卷)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1.
设a＝(＋1，－1)，b＝(，3)，则a与b的夹角θ为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.
　　　
B.
　　　
C.
　
　　
D.
2.已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2，1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|的值为(　　)
A.
　　　
B.
2　　　
C.
3　
　
D.
3.在?ABCD中，AC为一条对角线，＝(1，2)，＝(3，5)，则向量的坐标为(　　)
A.
(－1，－1)
　　　
B.
(－1，1)
C.
(1，－1)　
　　
D.
(1，1)
4.已知a＝(1，2)，b＝(x，1)．若a＋2b与2a－b平行，则x的值为(　　)
A.
　　　
B.
－　　
C.
1　
　　
D.
－1
5.已知向量a＝(1，1)，b＝(2，－3)．若ka－2b与a垂直，则实数k的值为(　　)
A.
1
　　　
B.
－1　　　
C.
　
　　
D.
－
6.点C在线段AB上，且＝，则等于(　　)
A．　　　　　B．
C．－
D．－
7.已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，|c|＝.若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角为(　　)
A.
30°　　
B.
60°　　
C.
120°
　
D.
150°
8.设点D为△ABC边BC上的中点，点P满足＋＋＝0，＝λ，则实数λ的值为　(　　)
A.
－1
　　　
B.
1　　　
C.
－2　
　　
D.
2
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9.下列选项中正确的是
A.相等向量的坐标相同；
B.平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；
C.一个坐标对应于唯一的一个向量；
D.平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应.
10.如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中正确的是(　　)
A.＋＋＝0
B.＋＋＝0
C.＋＋＝
D.＋＋＝
11..在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式不成立的是(　　)
||2＝·
B.||2＝·
C.||2＝·
D.||2＝
12.给出下列四个命题，其中正确的选项有（
）
A.非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角是30°
B.若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形
C.若单位向量a，b的夹角为120°，则当|2a＋xb|(x∈R)取最小值时x＝1
D.若＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是m＞－.
二、
填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.
若，，若，则向量与的夹角为
．
14.
已知A(a，0)，B(3，2＋a)，直线y＝ax与线段AB相交于点M，且＝2，则a＝________．
15.
已知向量＝(1，1)，＝(1，7)，＝(5，1)，设M点是直线OP上任意一点(O为坐标原点)，则·的最小值为________．
16.
定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下列说法正确的是________．(填序号)
①
若a与b共线，则a⊙b＝0；
②
a⊙b＝b⊙a；
③
对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)
；
④
(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2.
三、
解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.
(本小题满分10分)
如图，在△OAB中，已知P为AB上的一点．若＝3，||＝4，||＝2，且与向量的夹角为60°，求·的值．
18.(本小题满分12分)
已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－x，－3－y)．
(1)
若点A，B，C不能构成三角形，求x，y应满足的条件；
(2)
若＝2，求x，y的值.
19.
(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1).
(1)
求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)
设实数t满足(－t)·＝0，求t的值.
20.(本小题满分12分)
设向量a＝(cos
α，sin
α)，b＝(－，)(0≤α＜2π).
求证：向量a＋b与向量a－b互相垂直；
(2)
若向量a＋b与a－b的模相等，求α的大小.
21.
(本小题满分12分)
已知点A(1，0)，B(0，1)，C(2sin
θ，cos
θ).
(1)
若||＝||，求tan
θ的值；
(2)
若(＋2)·＝1，其中O为坐标原点，求sin
θ＋cos
θ的值.
22.(本小题满分12分)
已知△OAB的顶点坐标为O（0，0），A（2，9），B（6，﹣3），点P的横坐标为14，且，点Q是边AB上一点，且．
（1）求实数λ的值与点P的坐标；
（2）求点Q的坐标；
（3）若R为线段OQ上的一个动点，试求的取值范围．
单元检测一
平面向量(A卷)
1.
B　解析：cos
θ＝＝?θ＝.
2.
A　解析：由λa＋b＝0，得a＝－b＝，所以|a|＝＝1，所以|λ|＝.
3.
D　解析：∵
＋＝，∴
＝－＝(2，3)，∴
＝－＝－＝(1，1)．
4.
A　解析：由题知a＋2b＝(1，2)＋(2x，2)＝(1＋2x，4)，2a－b＝(2，4)－(x，1)＝(2－x，3)．∵
a＋2b与2a－b平行，∴
3(1＋2x)－4(2－x)＝0，∴
x＝.
5.
B　解析：由题意知ka－2b＝(k，k)－(4，－6)＝(k－4，k＋6)．∵
ka－2b与a垂直，
∴
(ka－2b)·a＝2k＋2＝0?k＝－1.
6.
D　[∵＝，∴＝－，∴＝－.]
7.
C　解析：由条件知|a|＝，|b|＝2，a＋b＝(－1，－2)，∴
|a＋b|＝.∵
(a＋b)·c＝，∴
×·cos
θ＝，其中θ为a＋b与c的夹角，∴
θ＝60°.∵
a＋b＝－a，∴
a＋b与a方向相反，∴
a与c的夹角为120°.
8.
C　解析：∵
＋＋＝0?＝，∴
四边形BACP为平行四边形．又＝λ且点D为边BC的中点，∴
D为?BACP对角线的交点，∴
λ＝－2.
9.A，B，D【解析】由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误.
10.A，B，C
【解析】＋＋＝＋＝0，＋＋＝＋＋＝0，
＋＋＝＋＝＋＝，＋＋＝＋0＝＝≠.故选A，B，C.
11.A，B，D【解析】·＝·(＋)＝2＋·＝2＝||2，A正确；
同理||2＝·成立，B正确；
又＝
＝＝||2，D正确.故选A，B，D.
12.A，B，C
【解析】A中，令＝a，＝b.以，为邻边作平行四边形OACB.∵|a|＝|b|＝|a－b|，
∴四边形OACB为菱形，∠AOB＝60°，∠AOC＝30°，即a与a＋b的夹角是30°，故A正确.
B中，∵(＋)·(－)＝0，∴||2＝||2，故△ABC为等腰三角形.故B正确.
C中，∵(2a＋xb)2＝4a2＋4xa·b＋x2b2＝4＋4xcos
120°＋x2＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3，故|2a＋xb|取最小值时x＝1.故③正确.
D中，∵＝－＝(3，－4)－(6，－3)＝(－3，－1)，＝－＝(5－m，－3－m)－(6，－3)＝(－1－m，－m)，又∠ABC为锐角，∴·＞0，即3＋3m＋m＞0，∴m＞－.又当与同向共线时，m＝，故当∠ABC为锐角时，m的取值范围是m＞－且m≠.故D不正确.故选A，B，C.
13.解：∵，∴，
∴，
∴，∴cosθ=，
∵θ∈[0，π]，
∴向量与的夹角为，
故答案为：
14.
－4或2　解析：设M，∵
＝2，∴
＝2(3－x，2＋a－ax)，∴
?a＝－4或2.
15.
－　解析：设＝t＝(t，t)，则·＝(1－t，7－t)·(5－t，1－t)＝2t2－14t＋12＝2－，所以当t＝时，·取得最小值为－.
16.
①③④　解析：若a＝(m，n)与b＝(p，q)共线，则mq－np＝0，依运算“⊙”知a⊙b＝0，所以①正确；由于a⊙b＝mq－np，b⊙a＝np－mq，因此a⊙b＝－b⊙a，所以②不正确；由于λa＝(λm，λn)，因此(λa)⊙b＝λmq－λnp.又λ(a⊙b)＝λ(mq－np)＝λmq－λnp，所以③正确；(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2－2mnpq＋n2p2＋(mp＋nq)2＝m2(p2＋q2)＋n2(p2＋q2)＝(m2＋n2)·(p2＋q2)＝|a|2|b|2，所以④正确．
17.
解：(1)
若点A，B，C不能构成三角形，则这三点共线．
由＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－x，－3－y)，
得＝(3，1)，＝(2－x，1－y)，
∴
3(1－y)＝2－x.
∴
x，y满足的条件为x－3y＋1＝0.
(2)
∵
＝－＝(－x－1，－y)，
由＝2，得(2－x，1－y)＝2(－x－1，－y)，
∴
解得
18.
解：∵
＝3，
∴
＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
∴
·＝(－)
＝－2＋·＋2.
∵
||＝4，||＝2，∠AOB＝60°，
∴
·＝－×16＋×4×2×＋×4＝－9.
19.
解：(1)
由题设知＝(3，5)，＝(－1，1)，则＋＝(2，6)，－＝(4，4)，所以|＋|＝2，|－|＝4，故所求的两条对角线的长分别为4，2.
(2)
由题设知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t，5＋t)．
由(－t)·＝0，
得(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，
即5t＝－11，所以t＝－.
20.
(1)
证明：∵
(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝1－1＝0，
∴
向量a＋b与向量a－b互相垂直．
(2)
解：
∵
|a＋b|＝|a－b|，
∴
(a＋b)2＝(a－b)2，2a·b－b2＋a2＝0，|a|＝|b|＝1，
∴
－cos
α＋sin
α＝0?tan
α＝.
∵
0≤α<2π，∴
α＝或.
21.
解：(1)
因为A(1，0)，B(0，1)，C(2sin
θ，cos
θ)，
所以＝(2sin
θ－1，cos
θ)，＝(2sin
θ，cos
θ－1)．
因为||＝||，
所以
＝，
化简得2sin
θ＝cos
θ.
因为cos
θ≠0(若cos
θ＝0，则sin
θ＝±1，上式不成立)，
所以tan
θ＝.
(2)
因为＝(1，0)，＝(0，1)，＝(2sin
θ，cos
θ)，所以＋2＝(1，2)．
因为(＋2)·＝1，
所以2sin
θ＋2cos
θ＝1.
所以sin
θ＋cos
θ＝.
22.考点：
平面向量的综合题．
专题：
综合题．
分析：
（1）先设P（14，y），分别表示，然后由，建立关于y的方程可求y．
（2）先设点Q（a，b），则可表示向量，由，可得3a=4b，再由点Q在边AB上可得①②，从而可解a，b，进而可得Q的坐标．
（3）由R为线段OQ上的一个动点可设R（4t，3t），且0≤t≤1，则有分别表示，，由向量的数量积整理可得，利用二次函数的知识可求取值范围．
解答：
解：（1）设P（14，y），则，由，得（14，y）=λ（﹣8，﹣3﹣y），解得，所以点P（14，﹣7）．
（2）设点Q（a，b），则，又，则由，得3a=4b①又点Q在边AB上，所以，即3a+b﹣15=0②
联立①②，解得a=4，b=3，所以点Q（4，3）．
（3）因为R为线段OQ上的一个动点，故设R（4t，3t），且0≤t≤1，则，，，，则=，故的取值范围为．