第11章 解三角形单元检测B卷-2020-2021学年高一下学期数学苏教版(2019)必修第二册（Word含解析）

单元检测三　解三角形(B卷)
一、
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
在△ABC中，a＝2，b＝，c＝1，则该三角形最小角的大小为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.
　
B.
C.
　
D.
以上都不对
2.
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c＝，b＝，B＝120°，则a的值为(　　)
A.
1　
B.
　
C.
　
D.
3.
在△ABC中，已知C＝，b＝4，△ABC的面积为2，则c的值为(　　)
A.
　
B.
　
C.
　
D.
2
4.
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＋c＝2b，sin
B＝sin
C，则cos
A等于　(　　)
A.
　
B.
　
C.
　
D.
5.
已知△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)．若p∥q，则角C的大小为(　　)
A.
　
B.
　
C.
　
D.
6.
已知a，b，c分别为的内角A，B，C所对的边，且，则　　
A.
可能为锐角三角形
B.
一定不是锐角三角形
C.
一定为钝角三角形
D.
不可能为钝角三角形
7.
如图，树顶A离地面，树上另一点B离地面，在离地面的C处看此树，离此树多少m时看A，B的视角最大（
）
A.
B.
2
C.
D.
8.如图，在上，D是BC上的点，且，，，则等于　　
A.
B.
C.
D.
二、
多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.
下列判断不正确的是(　　)
A.
满足“a＝7，b＝14，A＝30°”的△ABC有两解
B.
满足“a＝30，b＝25，A＝150°”的△ABC有一解
C.
满足“a＝6，b＝9，A＝45°”的△ABC有一解
D.
满足“b＝9，c＝10，B＝60°”的△ABC不存在　
10.
在△ABC中，若a4＋b4＋c4＝2c2(a2＋b2)，则C的大小可以是(　　)
A.
45°　
B.
90°　
C.
135°　
D.
150°
11.
中,，，,在下列命题中,是真命题的有(
)
A．若>0，则为锐角三角形
B．若=0.则为直角三角形
C．若,则为等腰三角形
D．若,则为直角三角形
12
.四边形内接于圆，，下列结论正确的有（
）
A．四边形为梯形
B．圆的直径为7
C．四边形的面积为
D．的三边长度可以构成一个等差数列
三、
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.
如果满足∠A＝60°，BC＝6，AB＝m的锐角△ABC有且只有一个，那么实数m的取值范围是________.
14.
在△ABC中，已知(tan
A＋1)(tan
B＋1)＝2，则cos
C＝________.
15.在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，则角B的取值范围为______
．
16.
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＝b2＋c2＋bc，a＝，S为△ABC的面积，则A＝________，S＋cosBcosC的最大值为________.
四、
解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.
(本小题满分10分)
在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18.
(本小题满分12分)
已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，b＝.
(1)
若C＝，△ABC的面积为，求c的值；
(2)
若B＝，求2a－c的取值范围.
　　
19.
(本小题满分12分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC＋c＝b.
(1)
求角A的大小；
(2)
若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围.
20.
(本小题满分12分)
如图，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声监测点，B，C两点到点A的距离分别为20
km和50
km.某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8
s后A，C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5
km/s.设A到P的距离为
x
km，求x的值以及B，C到P的距离.
21.
(本小题满分12分)
如图，在四边形ABCD中，AC平分，已知，，面积。
求和的值；求边BC，AB的长度．
22.
(本小题满分12分)
如图，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC上的点，点A关于直线DE的对称点A1恰好在线段BC上.
(1)
设A1B＝x∈[0，1]，试用x表示AD；
(2)
设∠A1AB＝θ()，用θ表示AD；
(3)
求AD长度的最小值.
单元检测三　解三角形(B卷)
1.
B　解析：∵
a>b>c，∴
C最小．
cos
C＝＝＝，0C＝.故选B.
2.
C　解析：由正弦定理得＝，即sin
C＝＝＝，∵
cC为锐角．∴
C＝30°，∴
A＝180°－120°－30°＝30°.∴
a＝c＝.故选C.
3.
D　解析：由三角形的面积公式，得absinC＝×4a×＝2，解得a＝2.由余弦定理，得c＝＝2.故选D.
4.
C　解析：利用正弦定理将sin
B＝sin
C化简得b＝c，代入a＋c＝2b中，得a＋c＝2c，即a＝c，所以cos
A＝＝＝.故选C.
5.
A　解析：∵
p∥q，∴
(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，∴
c2＝a2＋b2－ab.c2＝a2＋b2－2abcos
C，∴
cos
C＝.∵
0C＝.故选A.
6.B【解析】当，即，
，
，不可能为锐角．故选：B．
7.
【解析】设他应离此树x米，在中，米，米，
，
在中，米，米，，
在中，
，
，当且仅当，即时取等号；离此树时看A，B的视角最大；
故选D．
8.C【解析】由题意设，则，，
在中由余弦定理可得，
，
在中由正弦定理可得，故选C．
9.
ACD　解析：A中，∵
a＝bsin
A，∴
只有一解，错误；B中，∵
A>90°，a>b，∴
只有一解，正确；C中，∵
aA，∴
这样的三角形不存在，错误；D中，∵
c>b>csin
B，∴
这样的三角形有两解，错误．
10.
AC　解析：由a4＋b4＋c4＝2c2a2＋2b2c2，得cos2C＝＝＝，∴
cos
C＝±.∴
C为45°或135°.故选AC.
11.
【答案】
BCD
【解析】如图所示，
中，，，，
①若，则是钝角，是钝角三角形，错误；
②若，则，为直角三角形，正确；
③若，，，，取中点，则，所以，即为等腰三角形，正确，
④若，则，即，即，
由余弦定理可得：，即，即，即为直角三角形，即正确，
综合①②③④可得：真命题的有，
故选：
12.
【答案】ACD
【解析】
可证
显然不平行
即四边形为梯形，故正确；
在中由余弦定理可得
圆的直径不可能是，故错误；
在中由余弦定理可得
解得或（舍去）
故正确；
在中，，，，满足
的三边长度可以构成一个等差数列，故正确；
故选：
13.
(2，4)　解析：由题意，得30°＜C＜90°，＜sinC＜1.由正弦定理可得＝，解得m＝4sinC，∴
m∈(2，4)．　
14.
－　解析：在△ABC中，由(tan
A＋1)(tan
B＋1)＝2，得(sin
A＋cos
A)(cos
B＋sin
B)＝2cos
Acos
B，∴
sin
Acos
B＋cos
Asin
B＝cos
Acos
B－sin
Asin
B，化简得sin
(A＋B)＝cos
(A＋B)，即tan
(A＋B)＝1.又0A＋B＝，
∴
C＝π－(A＋B)＝，cos
C＝－.
15.
【答案】
【解析】，
当且仅当，即为等边三角形时，．
又，．故答案为：．
16.
　　解析：因为a2＝b2＋c2＋bc，所以b2＋c2－a2＝－bc，则cosA＝＝－.又0＜A＜π，则A＝.因为a＝，所以由正弦定理，得＝＝＝2，则S＝bcsinA＝sinBsinC，则S＋cosBcosC＝sinBsinC＋cosBcosC＝cos(B－C)＝cos，当2B－＝0，即B＝时，S＋cos
Bcos
C取得最大值.
17.
解：
方案一：选条件①．
由和余弦定理得．
由及正弦定理得．
于是，由此可得．
由①，解得．
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时．
方案二：选条件②．
由和余弦定理得．
由及正弦定理得．
于是，由此可得，，．
由②，所以．
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时．
方案三：选条件③．
由和余弦定理得．
由及正弦定理得．
于是，由此可得．
由③，与矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．
18.
解：(1)
∵
C＝，△ABC的面积为，b＝，
∴
absinC＝×a××＝，
∴
a＝2.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋3－2×2××＝13.
∴
c＝.
(2)
由正弦定理得＝＝，
∴
a＝＝2sinA，c＝＝2sinC.
∴
2a－c＝4sinA－2sinC
＝4sin－2sinC
＝4－2sinC
＝2cosC.
∵
B＝，∴
0＜C＜，
∴
－＜cosC＜1，
∴
－＜2cos
C＜2，
∴
2a－c的取值范围是(－，2)．
19.
解：(1)
由acosC＋c＝b及正弦定理，得sinAcosC＋sinC＝sinB.
sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，　
∴
sinC＝cosAsinC.
∵
sinC≠0，∴
cosA＝.
∵
0＜A＜π，∴
A＝.
(2)
由正弦定理得b＝＝sinB，c＝＝sinC，
则l＝a＋b＋c＝1＋(sinB＋sinC)
＝1＋[sinB＋sin(A＋B)]
＝1＋2
＝1＋2sin.
∵
A＝，∴
B∈，
∴
B＋∈，
∴
sin∈，
∴
△ABC的周长l的取值范围是(2，3]．
20.
解：依题意，AB＝20，AC＝50，PA＝PC＝x，PB＝x－1.5×8＝x－12.
在△PAB中，由余弦定理得cos∠PAB＝＝＝.
在△PAC中，由余弦定理得cos∠PAC＝＝＝，∴
＝，解得x＝31.
故PC＝31
km，PB＝19
km.
21.
，解得．
再由AC平分，可得，
．
中，，由正弦定理可得，即，解得．
再由余弦定理可得，即，
解得，或?舍去．
综上，，．
22.
解：(1)
连结A1D，设AD＝y，
在△A1BD中，BD＝1－y，A1D＝AD＝y.
由余弦定理得y2＝(1－y)2＋x2－2x(1－y)cos
60°＝1－2y＋y2＋x2－x＋xy，
∴
y＝，即AD＝(0≤x≤1)．
(2)
在△A1AB中，由正弦定理得
＝，
∴
AA1＝，
∴
AD＝·＝，
即AD＝(θ∈[0，])．
(3)
(解法1)由(1)知AD＝(0≤x≤1)．
∵
x2－x＋1＝(2－x)2－3(2－x)＋3，1≤2－x≤2，
∴
AD＝(2－x)＋－3.令t＝2－x，则AD＝t＋－3(1≤t≤2)．利用函数单调性的定义，容易证明函数AD＝t＋－3(1≤t≤2)在区间[1，]上是减函数，在[，2]上是增函数(证明过程略)．∴
当t＝时，AD＝t＋－3(1≤t≤2)取最小值2－3，此时x＝2－.
(解法2)由(2)知AD＝(θ∈[0，])．
4sin(120°－θ)cos
θ＝4(cos
θ＋sin
θ)cos
θ＝2cos2θ＋2sin
θcos
θ＝(1＋cos
2θ)＋sin
2θ＝＋2sin，
∴
当θ＝∈时，4sin(120°－θ)cos
θ取最大值2＋，此时AD的长度取最小值＝2－3.