8.3.2.2球的内切、外接课件-2020-2021学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册(共20张PPT)

(共20张PPT)
球的内切、外接
安徽淮南第四中学
2021.4
1、外接球的问题：
几何体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径或确定球心O的位置问题，其中球心的确定是关键。
(1)由球的定义确定球心
在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，
那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心
结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点。
结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点．
O1
O
结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．
O
O1
结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到。
P
A
B
C
R
R
O
O2
O2
O1
(2)构造正方体或长方体确定球心
长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点，以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．
途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥都分别可构造正方体．
P
A
B
C
途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥都分别可构造长方体或正方体．
P
A
B
C
途径3：若已知棱锥含有线面垂直的关系，则可将棱锥补成长方体或正方体．
P
A
B
C
途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，
则可将三棱锥补成长方体或正方体．
P
A
B
C
O1
O2
O
R
A
B
C
D
E
F
A1
B1
C1
D1
E1
F1
例1
A
B
C
D
E
F
A1
B1
C1
D1
E1
F1
O
练习
(1)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是(　　)
A．16π
B．20π
C．24π
D．32π
由V＝Sh，得S＝4，得正四棱柱底面边长为2.
该正四棱柱的对角线即为球的直径，所以球的半径为
所以球的表面积为S＝4πR2＝24π.
O1
O2
O
A
B
C
O2
O1A=1,R=2,S表=4πR2=16π
B
A
C
D
P
O
R
R
O1
PO1=4,PO=OA=R,O1O=4-R,AO1=
,
(4-R)2+(
)2=R2
R=
9
4
已知正方形ABCD的面积为8，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D－ABC的外接球表面积等于(　　)
A
B
C
D
A
B
C
D
O
2、内切球的问题：
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
1.正方体的内切球
A
B
C
D
D1
C1
B1
A1
O
O
球的外切正方体的棱长等于球直径。
切点：各个面的中心
球心：正方体的中心
直径：相对两个面中心连线
2.正方体的棱与球相切（棱切球）
切点：各棱的中点
球心：正方体的中心
直径：
“对棱”中点连线
球的直径等于正方体一个面上的对角线长
3.直棱柱的内切球
若球与直三棱柱各个面相切，
则球的直径为棱柱高.
若球与直三棱柱三个侧面相切，可由平行于底面截面图
求出球的半径.
设正三棱柱的底面边长为a，则球的半径
3.一块底面为直角三角形，直角边分别为6和8，高为12的直三棱柱的石材．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于(　　)
A．1　
B．2
C．3
D．4
只需球与直三棱柱的三个侧面都相切，则其半径r等于直角三角形ABC的内切圆半径，由8－r＋6－r＝10，
A
B
C
A1
B1
C1
利用等体积直接来求半径(球内切于多面体，则球心到各个面的距离相等)
4.
轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的表面积.
A
B
C
D
O
解：如图所示，作出轴截面，因为ΔABC为正三角形，
CD=
AC=2,AC=4,AD=2
,
1
2
Rt△AOE
~
Rt△AOE,所以
E
=
OE
AO
CD
AC
OE=R=
3
2
S=
16π
3
5．正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切，求内切球的表面积与体积．
A
B
C
D
P
O
E
设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的
四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥
已知某正四面体的内切球的体积是1，则该正四面体的外接球的体积是(　　)
A．27
B．16
C．9
D．3
P
A
B
C
D
E
AD=
a
3
(
a-R)2
+
(
a)2=R2
3
3
R=
a
4
P
A
B
C
r=
a
12
即R=3r