8.4.1平面课件-2020-2021学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册(共34张PPT)

(共34张PPT)
平
面
安徽淮南第四中学
2021.4
考点
学习目标
核心素养
平面的概念
了解平面的概念，会用图形与字母表示平面
直观想象
点、线、面的位置关系
能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系
直观想象
三个基本事实及推论
能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实，理解三个基本事实的地位与作用
直观想象、逻辑推理
生活中有哪些给事物给我们以平面的形象？
平面和点、直线一样是不加定义的最基本、最原始的几何概念．
平静的海面
平整的纸张
桌面、黑板面
平面的形象
1.平面的特征
1.无限延展
（没有边界）
2.不计大小
（无所谓面积）
3.不计厚薄
（没有质量）
平面的概念
平面与平面图形的区别和联系
平面是不可度量的；是无限延展，无厚薄，无大小的理想的面
我们日常接触到的是平面图形，如三角形，正方形，圆等，它们有大小之分，它们都不是平面，而是平面的一部分
我们可以用平面图形来表示平面
练习一
判断下列各题的说法正确与否：
1、一个平面长
4
米，宽
2
米；
(
)
2、平面有边界；
(
)
3、一个平面的面积是
25
cm
2；
(
)
4、菱形的面积是
4
cm
2；
(
)
5、一个平面可以把空间分成两部分.
(
)
×
×
×
2.平面的表示
(1)
图形表示：（斜二测画法）
①水平放置的平面：
当平面水平放置时，通常将平行四边形的锐角化成45°，且使横边长等于其邻边长的2倍；
②垂直放置的平面：
当平面竖直放置时，通常将平行四边形的一组对边画成铅垂线.
β
如果一个平面被另一个平面遮挡，那么被遮挡部分一般用虚线画出或者不画.
相交平面示意图
看得见画实线，看不见画虚线
（2）文字表示
　
可以用希腊字母表示，也可以用代表表示平面的平行四边形的四个顶点或相对的两个顶点字母表示.
平面?
平面ABCD
(平面AC
)
A
B
C
D
点动成线
线动成面
面动成体
二、点、直线、平面之间的位置关系
文字语言
符号语言
图形语言
l
A在l上
A____l
A在l外
A____l
l
A
∈
?
A
A在α内
A____α
∈
α
A
A在α外
A____α
?
α
A
l在α内
l____α
?
l
l在α内
l____α
?
l
l，m相交于A
l∩m＝A
l
m
A
l与m平行
l∥m
l
m
l与m异面
l
l，α相交于A
l∩α＝A
l
A
α，β相交于l
α∩β＝l
l
α与β平行
α∥β
平面的基本性质
我们知道，两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面呢？
A
B
C
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.
(1)基本事实①的条件为“过不在一条直线上的三点”，如果改为“过三个点”，则可能存在无数个平面
(2)基本事实①的结论为“有且只有一个平面”，“有”指存在性，“只有”指唯一性
作用：（1）确定一个平面的主要依据，也可以简单说成不共线的三点确定一个平面；
（2）证明点、线共面的依据.
如果直线l与平面α有一个公共点P,直线l是否在平面α内？如果直线l与平面α有两个公共点呢?
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条
直线在这个平面内.
平面内有无数条直线,平面可以看成是直线的集合.如果直线l上所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，记作l?α；否则，就说直线l不在平面α内，记作l
?α.
图形语言：
符号语言
基本事实2表明，可以用直线的“直”刻画平面的“平”，用直线的“无限延伸”刻画平面的“无限延展”；
由基本事实1,给定不共线三点A、B、C,它们可以确定一个平面ABC;连接AB、BC、CA，由基本事实2,这三条直线都在平面ABC内，进而连接这三条直线上任意两点所得直线也都在平面ABC内，所有这些直线可以编织成一个“直线网”，这个“直线网”可以铺满平面ABC.组成这个“直线网”的直线的“直"和向各个方向无限延伸，说明了平面的“平”和“无限延展”.
A
B
C
如下图,把三角尺的一个角立在讲台桌面上，三角尺所在平面与讲台桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
B
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
α
l
P
β
平面α与β相交于直线l,记作α∩β=l.
基本事实3告诉我们，如果两个平面有一个公共点,那么这两个平面一定相交于过这个公共点的一条直线.两个平面相交成一条直线的事实，使我们进一步认识了平面的“平”和“无限延展”.
基本事实①和基本事实②的三个推论
推论1
经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
a
A
A
?a，存在唯一平面α，使a∈α，A∈α
文字语言——即相当于基本事实①中不共线三点中的两点连成
一条线与第三个点构成直线与直线外一点确定一个平面.
推论2
经过两条相交直线，有且只有一个平面.
m
l
A
l∩m＝A,存在唯一平面α，使m?α，l?α，
α
文字语言——即相当于基本事实①中不共线三点中的两点连成
一条线与过这两个点中的其中一点和第三个点的
连线构成两条相交直线确定一个平面.
推论3
经过两条平行直线，有且只有一个平面.
l∥m,存在唯一平面α，使m?α，l?α，
α
m
l
文字语言——即相当于基本事实①中不共线三点中的两点连成一条线与过第三个点作的与该直线平行的直线构成两条平行直线确定一个平面.推理过程中直接
运用了两点确定一条直线及基本事实②.
1.下列命题正确的是（
）
经过三点确定一个平面
经过一条直线和一个点确定一个平面
两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
四边形确定一个平面
解：A，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B，根据平面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C，根据公理一可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；D，空间四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选C
C
2.(1)不共线的四点确定几个平面?
α
(2)共点的三条直线可以确定几个平面
1个或四个
1个或三个
考虑问题时要把点,直线放在空间中,通常是放在正方体中
例1.已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图.求证：P、Q、R三点共线.
A
B
C
P
Q
R
证法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.
∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，
同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上.
∴P、Q、R三点共线.
∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈面APR，C∈面APR，∴BC?面APR.
又∵Q∈面APR，Q∈α，∴Q∈PR.∴P、Q、R三点共线.
α
点共线问题
如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线．
A
B
C
G
E
F
α
D
H
证明：因为AB∥CD，所以AB，CD确定一个平面β(即平面ABCD)．又因为AB∩α＝E，AB?β，所以E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点．
同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点，两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，所以E，F，G，H四点必定共线．
线共面问题
例2.已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面.
a
b
l
A
B
证明：如图所示.由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.
设a∩l＝A，b∩l＝B，
∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，
∴l?α.即过a，b，l有且只有一个平面.
已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.
求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
l1
l2
l3
A
B
C
因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α.
因为l2∩l3＝B，所以B∈l2.
又因为l2?α，所以B∈α.同理可证C∈α.
又因为B∈l3，C∈l3，所以l3?α.
所以直线l1，l2，l3在同一平面内
l1
l2
l3
A
B
C
因为l1∩l2＝A，所以l1，l2确定一个平面α.
因为l2∩l3＝B，所以l2，l3确定一个平面β.
因为A∈l2，l2?α，所以A∈α.
因为A∈l2，l2?β，所以A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
所以不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．
所以平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
线共点问题
例3.已知：如图，空间四边形ABCD中，E、H分别为BC、AB的中点，F在CD上，G在AD上，且有DF︰FC＝DG︰GA＝1︰2．
A
B
C
D
E
F
G
H
O
求证：直线EF、BD、HG交于一点.
连接EH、AC、FG.
∥
=
∴E、F、G，H四点共面且EF与GH相交.
设EF∩GH＝O，则O∈GH，O∈EF.∵GH?平面ABD，EF?平面BCD，∴O∈平面ABD，O∈平面BCD.∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴O∈BD，即直线EF、BD、HG交于一点.
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1P＝2PA1，C1Q＝2QA1.求证：直线AA1，BP，CQ相交于一点．
A
B
C
P
Q
A1
B1
C1
证明：如图，连接PQ.由B1P＝2PA1，C1Q＝2QA1，得PQ//B1C1，且PQ＝
B1C1.又BC
//
B1C1，∴PQ//BC，且PQ＝
BC，∴四边形BCQP为梯形，∴直线BP，CQ相交，设交点为R，则R∈BP，R∈CQ.
1
3
1
3
∵BP?平面A1B，CQ?平面A1C，∴R∈平面A1B，
R∈平面A1C.∵平面A1B∩平面A1C＝A1A，∴R∈A1A
即直线A1A、BP、CQ交于一点
直线l在平面α
内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，图形如图所示．
l
A
m
6．下列各图均是正六棱柱，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是
(　　)
A
B
C
D
P
P
P
P
Q
Q
Q
Q
R
R
R
R
S
S
S
S
7．设平面α与平面β相交于l，直线a?α，直线b?β，a∩b＝M，则M________l.
∈
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
M
N
P
Q
E
F