8.6.1直线与直线垂直课件-2020-2021学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册(共18张PPT)

(共18张PPT)
直线与直线垂直
安徽淮南第四中学
2021.5
新课程标准解读
核心素养
1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直的关系.
逻辑推理
2.会求两异面直线所成的角.
直观想象
复习引入
1.两直线的位置关系
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
共面直线
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
a
b
P
a
b
2.直线夹角
在平面内两直线相交成四个角，不大于90°的角成为夹角
3.等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，且方向相同，那么这两个角相等.
课堂探究
一、异面直线所成的角
定义：已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′，b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a、b所成的角(或夹角)
a
b
O
a′
b′
注1：异面直线a、b所成角，只与a、b的相互位置有关，而与点O位置无关
注2：一般常把点O取在直线a或b上
注3：异面直线所成角的取值范围：0°?θ≤
90°
A
B
G
F
H
E
D
C
把空间图形问题转化为平面图形问题是我们研究立体几何的一般方法.
如果两条异面直线所成的角为直角，就说两条直线互相垂直，记作a⊥b.
空间中的直线垂直包括异面垂直与相交垂直
规定：当直线a与b平行时，它们所成的角为0°
如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线是否也与这条直线垂直？
垂直
例1　如图，已知正方体ABCD-A1
B1C1D1．
（1）哪些棱所在的直线与直线AA1垂直？
（2）求直线BA1与CC1所成角的大小．
（3）求直线BA1与AC所成角的大小．
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
AB、AD、BC、CD、B1C1、C1D1、A1D1、A1
B1
45°
60°
例2
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心．
求证:AO1⊥BD
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
O1
证明：连接B1D1．
正方体ABCD－A1B1C1D1中,BB1
DD1,
∥
=
∴四边形BB1D1D是平行四边形．∴B1D1∥BD
∴直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成的角．
连接AB1，AD1．易证AB1=AD1，又O1为底面A1B1C1D1的中心，则O1为B1D1的中点，∴
AO1⊥BD
例3.在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成锐角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小．
A
B
C
D
E
F
G
如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，
由AB＝CD知EG＝FG，从而可知∠GEF为EF与AB所成的角，∠EGF或其补角为AB与CD所成的角．
∵AB与CD所成角为30°，∴∠EGF＝30°或150°，
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，
求两异面直线所成角的一般步骤
(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角；
(2)计算角：求角度，常利用三角形；
(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．
如图所示，空间四面体A－BCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，MN＝5，则异面直线AC与BD所成的角为________．
A
B
C
D
M
N
如图，取AD的中点P，连接PM，PN.
P
∵M，N分别为AB，CD的中点，∴PM∥BD，PN∥AC，∴∠MPN为异面直线AC与BD所成的角或其补角．
又MN＝5，在△PMN中，由勾股定理知∠MPN＝90°.故异面直线AC和BD所成的角为90°.
2.
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1与AC，AB所成的角均为60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，E是B1C1的中点，则直线AE与BC所成的角为________，直线A1B与AC1所成角的余弦值为________．
A
B
C
A1
B1
C1
E
如图所示，连接AB1，由三棱柱的性质可得AC1＝AB1，又因为E是B1C1的中点，所以AE⊥B1C1，又BC∥B1C1，所以AE⊥BC，即直线AE与BC所成的角为90°
如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABDC－A1B1D1C1，连接BD1，A1D1，AD，由四棱柱的性质知BD1∥AC1，则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角．
D
D1
设AB＝a，∴A1B＝a，AC1＝
a,
1．如果空间两条直线互相垂直，那么它们(　　)
A．一定相交
B．是异面直线
C．是共面直线
D．一定不平行
互相垂直的两条直线可垂直相交或异面垂直
2．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M和CN所成的角的大小是(　　)
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
M
N
E
如图，取AA′的中点E，连接BE，EN，则BE∥NC，∴异面直线B′M和CN所成的角就是直线BE与直线B′M所成的锐角(或直角)，根据△ABE≌△BB′M可得BE⊥B′M，∴异面直线B′M和CN所成的角为90°.
3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，表面的对角线中与AD1成60?的有(
)
A．4条
B．6条
C．8条
D．10条
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
根据正方体的性质，在正方体的和做出的面上的对角线平行的也满足条件，
A
F
E
D
C
N
B
M
A
B
F
E
D
C
M
N
5．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点．求证：A1E⊥GF.
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
F
G
如图，连接B1G，EG.
由于E，G分别是DD1和CC1的中点，∴EG
C1D1，而C1D1
A1B1，∴EG
A1B1.
∥
=
∥
=
∥
=
∴四边形EGB1A1是平行四边形．
∴A1E∥B1G，从而∠B1GF为异面直线A1E与GF所成的角或其补角．
∵FG2＋B1G2＝B1F2，∴∠B1GF＝90°，
即异面直线A1E与GF所成的角为90°，∴A1E⊥GF.
6．如图，在四棱锥A－BCDE中，底面四边形BCDE为梯形,BC∥DE.设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q.
(1)求证：M，N，P，Q四点共面；
E
A
B
C
D
M
N
P
Q
(1)证明：∵CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，∴PQ为△ADE的中位线，MN为梯形BCDE的中位线．
∴PQ∥DE，MN∥DE，∴PQ∥MN，
∴M，N，P，Q四点共面．
(2)∵PN为△ABE的中位线，∴PN∥AB.
又BC∥DE，∴∠ABC即为异面直线DE
与PN所成的角或其补角．又AC⊥DE，
∴AC⊥BC，
∴∠ABC＝60°.∴异面直线DE与PN所成的角为60°.
E
A
B
C
D
M
N
P
Q