8.6.3平面与平面垂直的判定 (2) 课件-2020-2021学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册(共18张PPT)

(共18张PPT)
平面与平面垂直的判定
安徽淮南第四中学
2021.5
新课程标准解读
核心素养
1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过
直观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系.
数学抽象
2.了解二面角的相关概念，平面与平面垂直的定义.
逻辑推理
3.归纳出平面与平面垂直的判定定理.
数学运算
在日常生活中，有很多
平面与平面相交的例子．
半平面及二面角的定义
1、半平面：
直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都叫做射线.
●
●
平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部分叫半平面.
2、二面角：
面
从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
面
?
?
面
面
3、二面角的表示：
面1－棱－面2
或点1
－棱－点2
棱l
棱l
A
B
A
B
二面角α－l－β
二面角α－AB－β
A
B
C
D
二面角C－AB－D
如右图,在日常生活中,我们常说“把门开大一些”，是指哪个角大一些?受此启发,你认为应该怎样刻画二面角的大小呢?
思考：怎样才能找到这样的一个角，它的大小唯一，且由二面角的大小决定？
二面角的平面角
在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
O
?
?
l
A
B
则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．
二面角的平面角的三个特征:
1.点在棱上
2.边在面内
3.边与棱垂直
根据空间等角定理，∠AOB的大小与点O在棱l上的位置无关．
平面角是直角的二面角叫做直二面角.
二面角的大小α的取值范围是0°≤
α
≤180°.
正方体ABCD—A1B1C1D1中，
(1)二面角
B-AA1-D的大小为_____，
(2)二面角D1-AA1-C1的大小为______，
(3)二面角C1-BD-C的正切值是_______.
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
90°
45°
平面与平面垂直的概念
一般地，
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，
就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直，记作α⊥β.
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
类似结论也可以在长方体中发现.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ADD1A1经过平面ABCD的一条垂线AA1，此时，平面ADD1A1垂直于平面ABCD.
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
平面与平面垂直的判定定理:
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
l
线面垂直?面面垂直
已知AB⊥β，AB∩β＝B，AB?α，求证α⊥β.
设α∩β=CD,则B∈CD.
A
B
C
D
∵AB⊥β，CD?β，∴AB⊥CD.
在平面β内过B点作直线BE⊥CD，则∠ABE就是二面角α-CD-β的平面角，
E
AB⊥BE.
∴二面角α-CD-β是直二面角，∴α⊥β.
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二面角的平面角的大小与其顶点在二面角棱上的位置有关．
(　)
(2)二面角可以看成是一个半平面以其棱为轴旋转而成的．
(　)
(3)如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.
(　)
(4)如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线一定垂直于另一个平面.
(　)
2．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面
(　　)
A．有1个
B．有2个
C．有无数个
D．不存在
例1.如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.
(1)求二面角A?PD?C平面角的大小；
(2)求二面角B?PA?C平面角的大小．
P
A
B
C
D
(1)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.又四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD.PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.又CD?平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.∴二面角A?PD?C平面角的度数为90°.
(2)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA．∴∠BAC为二面角B?PA?C的平面角．又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°.
即二面角B?PA?C平面角的度数为45°.
如图，在四面体P?ABC中，△ABC与△PBC是边长为2的正三角形，PA＝3，D为PA的中点，求二面角D?BC?A的大小．
P
A
B
C
D
取BC的中点，记为E，连接EA，ED，EP．
∵△ABC与△PBC是边长为2的正三角形，∴BC⊥AE，BC⊥PE，又AE∩PE＝E，AE，PE?平面PAE，∴BC⊥平面PAE.又DE?平面PAE，∴BC⊥DE，
∴∠AED即二面角D?BC?A的平面角．
E
又易知∠AED为锐角，∴∠AED＝60°，
即二面角D?BC?A的大小为60°.
例2.如图所示，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.求证平面ABC⊥平面SBC
S
A
B
C
法一(利用定义证明)：
因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，
所以△ASB和△ASC是等边三角形，
则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a，
则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．
取BC的中点D,连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC，所以∠ADS为二面角A?BC?S的平面角．
D
在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，
在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，所以∠ADS＝90°，即二面角A?BC?S为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC．
S
A
B
C
法二(利用判定定理)：
因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，
所以SA＝AB＝AC，
所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心．
因为△SBC为直角三角形，所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，所以AD⊥平面SBC．又因为AD?平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC．
D
证明平面与平面垂直的两种常用方法
(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是：
①找出两相交平面的平面角；
②证明这个平面角是直角；
③根据定义，这两个相交平面互相垂直．
(2)利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只要证线面垂直．即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．这是证明面面垂直的常用方法.
例3.如图，在四棱锥P?ABCD中，若PA⊥平面ABCD且四边形ABCD是菱形．求证：平面PAC⊥平面PBD.
P
A
B
D
C
　因为PA⊥平面ABCD，
BD?平面ABCD，
所以BD⊥PA.
因为四边形ABCD是菱形，
所以BD⊥AC.
又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.
又因为BD?平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD.
如图所示，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=
PD.求证：平面PQC⊥平面DCQ.
1
2
P
A
B
C
D
Q
由四边形ABCD为正方形，可得CD⊥AD，
又PD⊥平面ABCD，所以PD⊥CD，PD⊥AD，PD∩AD＝D，故CD⊥平面AQPD，从而CD⊥PQ.
E
则DE∥AQ，且DE＝AQ，从而四边形AQED是平行四边形，则QE∥AD，所以QE⊥PD，所以DQ＝QP.
设QA＝1，则AB＝1，PD＝2.DQ＝QP＝
所以DQ2＋QP2＝PD2，故∠PQD＝90°，即DQ⊥PQ.又CD∩DQ＝D，所以PQ⊥平面DCQ.又PQ?平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.