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平面与平面垂直的性质
安徽淮南第四中学
2021.5
新课程标准解读
核心素养
1.从相关定义和基本事实出发,借助长方体,
通过直观感知,了解空间中平面与平面的垂
直关系.
直观想象
2.归纳出平面与平面垂直的判定定理.
逻辑推理
已知α⊥β,α∩β=CD,AB?β,AB⊥CD于B,求证:AB⊥α.
A
B
C
D
E
在平面α内作BE⊥CD,垂足为B.
则∠ABE就是二面角α-CD-β
的平面角
∵α⊥β,
∴AB⊥BE(平面与平面垂直的定义)
又由题意知AB⊥CD,且BE∩CD=B,
∴AB⊥α
平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
α
面面垂直
线面垂直
对面面垂直的性质定理的理解
(1)定理成立的条件有三个:
①两个平面互相垂直;
②直线在其中一个平面内;
③直线与两平面的交线垂直.
(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直,故可用来证明线面垂直;
(3)已知面面垂直时,可以利用此定理转化为线面垂直,再转化为线线垂直.
平面与平面垂直的其他性质
(1)如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.
(2)如果两个平面垂直,那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面.
(3)如果两个平面垂直,那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内.
例1.已知P是△ABC所在平面外的一点,且PA⊥平面ABC,平面PAC⊥平面PBC,求证:BC⊥AC.
P
A
B
C
如图,在平面PAC内作AD⊥PC于点D,
D
因为平面PAC⊥平面PBC,平面PAC∩平面PBC=PC,AD?平面PAC,且AD⊥PC,所以AD⊥平面PBC.又BC?平面PBC,所以AD⊥BC.
因为PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以PA⊥BC.因为AD∩PA=A,所以BC⊥平面PAC.又AC?平面PAC,所以BC⊥AC.
线垂直于面,线垂直于线
面面垂直,一定关注两个面的交线
如图,P是四边形ABCD所在平面外的一点,四边形ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形.△PAD为正三角形,其所在平面垂直于平面ABCD.若G为AD边的中点.
求证:平面PBG⊥平面PAD.
P
A
B
C
D
G
∵四边形ABCD是菱形,∠DAB=60°,
∴△ABD是正三角形.∵G为AD边的中点,∴BG⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,BG?平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴BG⊥平面PAD.∵BG?平面PBG,
∴平面PBG⊥平面PAD.
例2.如图,已知平面?,β,?⊥β,直线a满足a⊥β,
a??,试判断直线a与平面?的位置关系.
a
?
β
c
b
即直线a与平面α平行.
如图,△ABC是正三角形,若AE⊥平面ABC,平面BCD⊥平面ABC,BD=CD,求证:AE∥平面BCD.
E
A
B
C
D
如图,取BC的中点M,连接DM,AM,
M
因为BD=CD,所以DM⊥BC.
又因为平面BCD⊥平面ABC,DM?平面BCD,两平面交线为BC,所以DM⊥平面ABC.
又AE⊥平面ABC,所以AE∥DM.
又因为AE?平面BCD,DM?平面BCD,
所以AE∥平面BCD.
例3.如图,在直三棱柱ABC?A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点.求证:
(1)平面ADE⊥平面BCC1B1;
(2)直线A1F∥平面ADE.
A
B
C
A1
B1
C1
E
D
F
(1)因为三棱柱ABC?A1B1C1是直三棱柱,所CC1⊥平面ABC,又AD?平面ABC,所以CC1⊥AD.
又因为AD⊥DE,CC1,DE?平面BCC1B1,CC1∩DE=E,所以AD⊥平面BCC1B1.又AD?平面ADE,所以平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)因为A1B1=A1C1,F为B1C1的中点,所以A1F⊥B1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1,且A1F?平面A1B1C1,所以CC1⊥A1F.CC1∩B1C1=C1,所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知,AD⊥平面BCC1B1,所以A1F∥AD.又AD?平面ADE,A1F?平面ADE,所以直线A1F∥平面ADE.
1.过一条直线与一个平面垂直的平面的个数为(
)
A.1
B.2
C.无数
D.1或无数
分直线与平面垂直和不垂直两种情况
2.在下列关于直线m,l和平面α,β的说法中,
正确的是( )
A.若l?β,且α⊥β,则l⊥α
B.若l⊥β,且α∥β,则l⊥α
C.若l⊥β,且α⊥β,则l∥α
D.若α∩β=m,且l∥m,则l∥α
A项中l与α可以平行或斜交,A项错.
C项中,l可在α内,C项错.
D项中,l可在α内,D项错.
3.已知直线a,b与平面α,β,γ,下列能使α⊥β成立的条件是
( )
A.α⊥γ,β⊥γ
B.α∩β=a,b⊥a,b?β
C.a∥β,a∥α
D.a∥α,a⊥β
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
a
b
α
β
a
a
?
β
4.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有 ( )
A.0个
B.1个
C.无数个
D.1个或无数个
当两点连线与平面α垂直时,可作无数个垂面,否则,只有1个.
5.如图所示,三棱锥P?ABC中,平面PAB⊥底面ABC,且PA=PB=PC,则△ABC是________三角形.
P
A
B
C
设P在平面ABC上的射影为O,∵平面PAB⊥底面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,∴O∈AB.∵PA=PB=PC,∴OA=OB=OC,∴O是△ABC的外心,且是AB的中点,∴△ABC是直角三角形.
6.三棱锥P-ABC的高为PH,若三个侧面两两垂直,则H为△ABC的
( )
A.内心
B.外心
C.垂心
D.重心
三个侧面两两垂直,可看成正方体的一角,
则AP⊥平面PBC,因为BC?平面PBC,所以AP⊥BC,因为PH⊥平面ABC,BC?平面ABC,
所以PH⊥BC,又AP∩PH=P,
所以BC⊥平面APH,因为AH?平面APH,
所以AH⊥BC,同理可得CH⊥AB,
故H为△ABC的垂心.
P
A
B
C
H
7.
如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E,F分别是CD,PC的中点求证:(1)BE∥平面PAD;(2)平面BEF⊥平面PCD.
P
A
B
C
D
E
F
证明(1)∵AB∥CD,CD=2AB,E是CD的中点,∴AB∥DE且AB=DE,∴四边形ABED为平行四边形,∴AD∥BE,又BE
?平面PAD,AD
?平面PAD,∴BE∥平面PAD.
(2)∵AB⊥AD,四边形ABED为平行四边形,∴四边形ABED为矩形,∴BE⊥CD,AD⊥CD,∵平面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩底面ABCD=AD,PA⊥AD,∴PA⊥底面ABCD.又CD
?底面ABCD,
∴PA⊥CD,又PA∩AD=A,PA
?平面PAD,AD
?平面PAD,∴CD⊥平面PAD,又PDC平面PAD,∴CD⊥PD.∵E,F分别是CD,PC的中点,∴PD∥EF,∴CD⊥EF,又BE⊥CD,EF∩BE=E,BE?平面BEF,EF
?平面BEF,∴CD⊥平面BEF,又CD
?平面PCD,∴平面BEF⊥平面PCD.
8.如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2.∠ABC=∠DBC=120°,E,F,G分别为AC,DC,AD的中点.
(1)求证:EF⊥平面BCG;
(2)求三棱锥D-BCG的体积.
A
B
C
D
E
F
G
(1)∵AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,∴△ABC≌△DBC,∴AC=DC.∵G为AD的中点,
∴CG⊥AD.同理BG⊥AD,∵CG∩BG=G,∴AD⊥平面BCG.又E,F分别是AC,CD的中点∴EF∥AD,∴EF⊥平面BCG.
(2)在平面ABC内,作AO⊥CB,交CB的延长线于O,
∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直,平面ABC∩平面BCD=BC,且AO?平面ABC,∴AO⊥平面BCD.
∵G为AD的中点,∴G到平面BCD的距离h是AO长度的一半.
O
A
B
C
D
E
F
G
O