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1.1
集合间的基本关系
学习本节内容时要学会借助图象解决抽象问题,逐步形成直观想象的数学素养.学
习时还应掌握以下几点知识:
1.理解集合之间包含与相等的含义,理解子集、真子集的概念;在具体情境中,了解
空集的含义.
2.能识别给定集合的子集,掌握列举有限集的所有子集的方法.
3.能用符号和Venn图表示集合间的关系.
子集、集合相等、真子集
概念
图示
性质
子集
一般地,对于两个集
合A,B,如果集合A中①
任意一个????元素都
是集合B中的元素,就称
集合A为集合B的②????
子集????,记作③????A?B
????(或④????B?A????),读
作“A包含于B”(或
“B包含A”)
?
任何一个集合是它本
身的子集,即A⑤?????????
A;
对于集合A,B,C,如果A
?B,且B?C,那么A⑥
?????????C
集合
相等
一般地,如果集合A的⑦
任何一个????元素都
是集合B的元素,同时集
合B的⑧ 任何一个????
元素都是集合A的元素,
那么集合A与集合B相
等,记作⑨????A=B????
?
A?B,且B?A?A=B;
A=B,且B=C,则A=C
真子集
如果集合⑩????A?B????,
但存在元素x∈B,且?
????x?A????,就称集合A
是集合B的真子集,记作
A?B(或B?A)
?
A?B,且B?C,则A?C;
A?B,且A≠B,则A?B
定义
? 不含任何元素????的集合叫做空集
符号
??????????
规定
空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子
集
空集
在数学中,经常用平面上封闭曲线的? 内部????代表集合,这种图称为Venn
图.Venn图可以直观地表示集合间的关系.常见数集的关系如图所示.
?
Venn图
1.?和{?}表示的意义相同.?(????? )
2.{0,1}={1,0}={(0,1)}.?(????? )
3.实数中“≤”类似于集合中“?”,“<”类似于“?”.( √ )
4.已知集合B?A,如果元素a?A,那么元素a?B.?( √ )
5.任何一个集合都至少有2个子集.?(????? )
6.若a∈A,则{a}?A.?(????? )
提示:当A中仅含一个元素a时,A={a},{a}不是A的真子集.
判断正误，正确的画“√”
，错误的画“
?”
。
集合间关系的判断
已知集合A={x|x=1},B={x|x2-3x+2=0}.
问题
1.判断集合A与集合B间的关系.
提示:由于集合A中的元素都在集合B中,但集合B中的元素2不在集合A中,因此A
?B.
2.若集合A={x|x>1},B={x|x2-3x+2>0},如何判断集合A与B的关系?
提示:解不等式,利用数轴求解.
3.已知集合M=?,N=?x?x=k+?,k∈Z?,请阐述判断M,N之间关系的
方法.
提示:利用列举法或元素特征法判断.
?判断集合关系的方法
1.列举法:对于能用列举法表示的集合,先用列举法将两个集合表示出来,再通过比
较两集合中的元素来判断其关系.
2.元素特征法:弄清集合中元素的限制条件,再利用限制条件来判断集合间的关系.
即若x是集合A中的元素,则x满足集合A中的限制条件,由限制条件推断x是否满足
集合B中的限制条件,若能推出则A是B的子集,否则A不是B的子集;同理可判断B是
不是A的子集.
3.图示法:利用数轴或Venn图表示集合,可直观地判断两集合间的关系.
?0,{0},?,{?}之间的关系
(1)?不含任何元素,所以0不是它的元素.
(2){0}表示只含有一个元素0的集合,所以0∈{0}.
(3){?}并不是空集,而是含有空集这一元素的集合,也就是说{?}中有一个元素,这
个元素就是?,即?∈{?}.又因为?是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,
所以??{?},??{?}也正确.
?
判断下列集合的关系:
(1)A={1,2,3},B={x|(x-1)(x-2)(x-3)=0};
(2)A={x|0<2x-1<1},B={x|1<3x+1<4};
(3)A={x|x是文学作品},B={x|x是散文},C={x|x是叙事散文};
(4)M=?x?x=m+?,m∈Z?,N=?x?x=?-?,n∈Z?,P=?x?x=?+?,k∈Z?.
思路点拨
(1)先确定集合B中的元素,再与集合A相比较即可得结果.
(2)先确定集合A,B,再用数轴表示,即可得结果.
(3)利用Venn图表示集合A,B,C间的关系,即可得结果.
(4)先分析集合M,N,P的性质特征(也可用列举法),然后判断集合M,N,P的关系.
解析????(1)B={x|(x-1)(x-2)(x-3)=0}={1,2,3}=A.
(2)A={x|0<2x-1<1}=?,B={x|1<3x+1<4}={x|0
如图所示,由图可知A?B.
(3)画出Venn图,可知C?B?A.
?
(4)解法一:元素特征法.
M=?
=?
=?,
N=?
=?
=?,
P=?
=?,
∴M?N=P.
解法二:列举法.
M=?,
N=?,
P=?,
∴M?N=P.
已知集合A={3,1},B={m,1},若集合A,B相等,则可由集合间的关系得到集合的
元素之间的关系,进而可以求相关的参数的值(或取值范围).
问题
1.已知集合A={2,-1},B={m2-m,-1},若A=B,如何求实数m的值?
提示:由A=B得m2-m=2,即m2-m-2=0,解得m=2或m=-1.
已知集合间的关系求参数
2.已知集合A={x|1≤x≤2},集合B={x|1≤x≤a,a≥1},若A?B,如何求a的取值范围?
提示:若A?B,画出数轴:
?
由数轴可知a>2.
3.在问题2中,将条件改为“B?A”,又如何求a的取值范围?
提示:若B?A,画出数轴:
?
由数轴可知1≤a≤2.
?由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法
1.注意点:
(1)不能忽视集合为?的情形;
(2)当集合中含有参数时,一般需要分类讨论.
2.常用方法:对于用不等式描述的集合,已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)
时,常采用数形结合的思想,借助数轴解答.
?
??
求满足下列条件的实数a的值或取值范围:
(1)已知集合M={a-3,2a-1,a2+1},N={-2,4a-3,3a-1},M=N;
(2)已知集合M={x|ax+2=0},N={x|x2-5x+6=0},M?N;
(3)已知集合M={x|-3(4)(2020山东济宁高一上学期期中考试)已知集合M={x|x2-3x+2=0},N={x|x2+2(a+1)x
+(a2-5)=0},N?M.
思路点拨
分别根据集合间的关系列出关系式,求出a的值或取值范围.
解析????(1)因为M=N,a2+1>0,所以a-3=-2或2a-1=-2.当a-3=-2,即a=1时,M={-2,1,2},N=
{-2,1,2},满足M=N;
当2a-1=-2,即a=-?时,M=?,N=?,不满足M=N,舍去.
故实数a的值为1.
(2)由题意知N={2,3}.
①当M=?时,a=0,满足M?N.
②当M≠?,
即a≠0时,M=?.
因为M?N,所以-?=2或-?=3,
即a=-1或a=-?.
综上所述,a的取值范围为?.
(3)①当N=?,即2a-1≥a+3时,a≥4,满足N?M.
②当N≠?时,因为N?M,
所以?或?
解得-1≤a≤1.
综上所述,a的取值范围是{a|-1≤a≤1或a≥4}.
(4)因为M={x|x2-3x+2=0}={1,2},N?M,
所以N=?或{1}或{2}或{1,2}.
①当N=?时,Δ=4(a+1)2-4(a2-5)<0,解得a<-3.
②当N={1}时,?无解.
③当N={2}时,?
解得a=-3.
④当N={1,2}时,?无解.
综上所述,a的取值范围是{a|a≤-3}.
一个集合有n(n∈N)个元素,那么如何研究它的子集个数?
问题
1.已知集合A={a,b,c},集合A有几个子集?
提示:集合A有8个子集.
2.已知集合A={a,b,c},如何写出集合A的所有子集?
提示:写出有限集的子集,要按照一定次序来写,做到不重不漏,通常按子集中元素
个数的多少,以及字母表的先后顺序来写,如含两个元素的子集可按如图表示来写:
?
于是,集合{a,b,c}的子集有:?,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},共8个.
探究已知集合的子集个数
3.已知集合A={a,b,c},集合A的真子集有几个?非空真子集有几个?
提示:集合A的真子集有23-1=7个,非空真子集有23-2=6个.
?
1.假设集合A中含有n(n∈N)个元素,则:
(1)A的子集个数是2n;
(2)A的非空子集个数是2n-1;
(3)A的真子集个数是2n-1;
(4)A的非空真子集个数是2n-2.
2.设有限集合A,B中分别含有m个,n个元素(m,n∈N
,m≤n),且A?C?B,则符合条件
的有限集C的个数为2n-m.
3.求给定集合的子集的两个注意点:
(1)按子集中元素个数的多少,以一定的顺序来写;
(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身也是该集合的子集.
??
已知集合A={2,4,6,8,9},B={1,2,3,5,8},存在非空集合C,使C中每个元素都加上2
就变成了A的一个子集,且C中的每个元素都减去2就变成了B的一个子集.则集合C
的个数是多少?
解析????假设存在满足条件的集合C,则C≠?,将A中元素都减2得{0,2,4,6,7},B中元
素都加2得{3,4,5,7,10},于是C?{0,2,4,6,7},且C?{3,4,5,7,10}.注意到两个集合的共
同元素构成的集合为{4,7},故非空集合C是{4,7}的子集,即C={4,7}或C={4}或C=
{7},故集合C的个数为3.1.2 集合间的基本关系
基础过关练
题组一 子集、真子集和空集
1.(2020广东实验中学高二开学摸底考试)下列六个关系式:①{a,b}?{b,a};②{a,b}={b,a};③0=?;④0∈{0};⑤?∈{0};⑥??{0},其中正确的个数为( )
A.6
B.5
C.4
D.少于4
2.下列四个集合中,是空集的是( )
A.{x|x+3=3}
B.{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R}
C.{x|x2≤0}
D.{x|x2-x+1=0,x∈R}
3.若集合S={x|x=3n+1,n∈N},T={x|x=3k-2,k∈Z},则( )
A.S?T
B.T?S
C.S=T
D.S?T
4.(2020四川乐山高一上期末)已知集合U=R,则正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2-x=0}关系的Venn图是( )
5.(2020山东济南第一中学高一上月考)设集合A={1,2,3},则A的真子集的个数是(深度解析)
A.8
B.7
C.4
D.3
6.(多选)下列说法中,正确的是( )
A.空集是任何集合的真子集
B.若A?B,B?C,则A?C
C.任何一个集合必有两个或两个以上的真子集
D.若不属于B的元素一定不属于A,则A?B
7.(2020河南郑州高一上期末)已知集合M满足{3,4}?M?{3,4,5,6},则满足条件的集合M有 个.
题组二 集合相等
8.已知集合A=,B=,C=,则下列结论正确的是( )
A.A=B
B.A=C
C.B=C
D.A=B=C
9.下列选项中的两个集合,表示同一集合的是( )
A.A={0,1},B={(0,1)}
B.A={2,3},B={3,2}
C.A={x|-1D.A=?,B={x|≤0}
10.已知集合A=,B=xx=k±,k∈Z,则集合A,B之间的关系为 .?
题组三 由集合间的关系解决参数问题
11.(2020四川绵阳中学高一上学期月考)已知集合A={1,3,},B={1,m},B?A,则m=( )
A.0或3
B.0或1
C.1
D.3
12.已知??{x|x2-x+a=0},则实数a的取值范围是( )
A.a<
B.a≤
C.a≥
D.a>
13.已知集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x≥m},若A?B,则实数m的取值范围为 .?
14.(2020山西忻州第一中学高一上期中)已知M={2,a,b},N={2a,2,b2},若M=N,求a与b的值.
15.(2020河北石家庄第二中学高一上期中)设集合A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0}.
(1)若a=,试判断集合A与B之间的关系;
(2)若B?A,求实数a的取值集合.
能力提升练
题组一 子集、真子集和空集
1.()集合M={x|x=3n,n∈N},集合N={x|x=3n,n∈N},则集合M与集合N的关系为( )
A.M?N
B.N?M
C.M=N
D.M?N且N?M
2.()已知集合A={-1,0,1},则A的子集中含有元素0的子集共有( )
A.2个
B.4个
C.6个
D.8个
3.()设集合A={1,0},集合B={2,3},集合M={x|x=b(a+b),a∈A,b∈B},则集合M的真子集的个数为( )
A.7
B.12
C.16
D.15
4.(2019陕西西安中学高三上质检,)若x∈A,∈A,则称A是伙伴关系集合.集合M=的所有非空子集中具有伙伴关系集合的个数是( )
A.31
B.7
C.3
D.1
5.(多选)(2020山东省实验中学高三第一次诊断性考试,)给出下列选项,其中正确的是( )
A.?∈{{?}}
B.??{{?}}
C.?∈{?}
D.??{?}
6.(2020湖南长沙长郡中学高一上期中,)若规定集合M={a1,a2,…,an}(n∈N
)的子集N={,,…,}(m∈N
)为M的第k个子集,其中k=++…+,例如P={a1,a3}是M的第5个子集,则M的第25个子集是 .?
题组二 由集合间的关系解决参数问题
7.(2020吉林省实验中学高一上月考,)集合A={x|x2=1},B={x|ax=1},若B?A,则实数a的值为( )
A.1
B.-1
C.±1
D.0或±1
8.(多选)()已知集合A={x|mx2-2x+1=0}={n},则m+n的值可能为( )
A.0
B.
C.1
D.2
9.()设集合A={x|x2+x-6=0},B={|a+b|+1,ab-1},若A=B,则|a-b|= .?
10.()设集合A={a1,a2,a3,a4},若集合A的所有含三个元素的子集中的三个元素之和组成的集合为B={2,5,6,8},则集合A= .?
11.(2020甘肃名校联考高一上期中,)已知集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|x<-1或x>16}.
(1)若A为非空集合,求实数a的取值范围;
(2)若A?B,求实数a的取值范围.
12.(2020湖南长沙一中高一月考,)已知集合A={x|ax2-3x+2=0}.
(1)若??A,求实数a的取值范围;
(2)若B={x|x2-x=0},且A?B,求实数a的取值范围.
答案全解全析
基础过关练
1.C 根据集合是它本身的子集,可知①正确;根据集合中元素的无序性,可知②正确;根据元素与集合之间为属于或不属于关系,可知③错误,④正确;根据集合与集合之间是包含于或不包含于关系,可知⑤错误;根据空集是任何集合的子集,可知⑥正确.正确的共有4个,故选C.
2.D 选项A,{x|x+3=3}={0};
选项B,{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R}={(0,0)};
选项C,{x|x2≤0}={0};
选项D,x2-x+1=0,Δ=1-4=-3<0,方程无解,∴{x|x2-x+1=0,x∈R}=?.故选D.
3.A T={x|x=3k-2=3(k-1)+1,k∈Z},令t=k-1,k∈Z,则t∈Z,则T={x|x=3t+1,t∈Z},又S={x|x=3n+1,n∈N},N?Z,故S?T,故选A.
4.B N={x|x2-x=0}={0,1},M={-1,0,1},所以N?M,所以选B.
5.B 集合A的真子集为?,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},一共7个,故选B.
思维拓展 若集合A中有n个元素,则集合A的子集有2n个,真子集有(2n-1)个,非空真子集有(2n-2)个.
6.BD 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,故选项A错误;真子集具有传递性,故选项B正确;若一个集合是空集,则它没有真子集,故选项C错误;画Venn图易知选项D正确.故选BD.
7.答案 4
解析 ∵{3,4}?M?{3,4,5,6},
∴M可以为{3,4},{3,4,5},{3,4,6},{3,4,5,6},一共4个.
思维拓展 设有限集合A,B中分别含有m,n个元素(m,n∈N
,m≤n),且A?C?B,则满足条件的有限集合C的个数为2n-m.
8.A 由已知可得,集合A={x|x≠0},B={y|y≠0},集合C表示点集,所以A=B,故选A.
9.B 选项A中,集合A={0,1}是数集,集合B={(0,1)}是点集,二者不是同一集合;选项B中,A={2,3},B={3,2},由集合中元素的无序性可知,二者是同一集合;选项C中,A={x|-110.答案 A=B
解析 A=xx=(2k+1),k∈Z=…,-,-,-,,,,…,
B=xx=k±,k∈Z=…,-,-,-,,,,…,故A=B.
11.A 因为B?A,所以m=3或m=.
①若m=3,则A={1,3,},B={1,3},满足B?A.
②若m=,则m=0或m=1.当m=0时,A={1,3,0},B={1,0},满足B?A;
当m=1时,=1,集合A,B中不满足元素的互异性,舍去.
综上所述,m=0或m=3,故选A.
12.B ∵??{x|x2-x+a=0},∴关于x的一元二次方程x2-x+a=0有实数根,
∴Δ=(-1)2-4a≥0,故a≤.
13.答案 {m|m≤-2}
解析 将集合A,B表示在数轴上,如图所示,
因为A?B,所以m的取值范围是{m|m≤-2}.
14.解析 由M=N,得或
解得或或
根据集合中元素的互异性,得不符合题意,故或
15.解析 (1)由x2-8x+15=0,得x=3或x=5,故A={3,5},当a=时,由x-1=0,得x=5,故B={5},∴B?A.
(2)当B=?时,满足B?A,此时a=0.
当B≠?时,集合B=.
∵B?A,∴=3或=5,解得a=或a=.
综上,实数a的取值集合为.
能力提升练
1.D 依题意得M={1,3,9,27,…,3n,…},N={0,3,6,9,12,…,3n,…},因此1∈M,1?N;0∈N,0?M,∴M?N且N?M.故选D.
2.B A的子集中含有元素0的子集为{0},{0,-1},{0,1},{0,-1,1},共4个.故选B.
3.D 当a=1,b=2时,x=6;当a=1,b=3时,x=12;当a=0,b=2时,x=4;当a=0,b=3时,x=9,故集合M={4,6,9,12},故集合M的真子集的个数为24-1=15,故选D.
4.B 由“x∈A,∈A”知,-1可以在集合A中,0一定不在集合A中,2和同时在(或不在)集合A中,3和同时在(或不在)集合A中,因此M的所有非空子集中具有伙伴关系的集合为{-1},,2,,3,-1,,2,-1,,3,,2,,3,-1,,2,,3,共7个,故选B.
5.BCD 对于A,?不是{{?}}的元素,故不正确;对于B,?是任何集合的子集,所以?是{{?}}的子集,故正确;对于C,?是{?}的元素,故正确;对于D,?是任何非空集合的真子集,{?}有一个元素?,是非空集合,故正确.故选BCD.
6.答案 {a1,a4,a5}
解析 因为N={,,…,}(m∈N
)为M的第k个子集,且k=++…+,25=20+23+24=21-1+24-1+25-1,
所以M的第25个子集是{a1,a4,a5}.
7.D A={x|x2=1}={1,-1}.当a=0时,B=?,满足B?A;当a≠0时,B=,因为B?A,所以=1或=-1,即a=±1.
综上所述,a=0或a=±1,故选D.
8.BD ∵集合A={x|mx2-2x+1=0}={n},
∴当m=0时,可得
解得
当m≠0时,可得
解得
∴m+n=或m+n=2.故选BD.
9.答案 3
解析 由题意知A={-3,2},
因为A=B,所以
或
即(无解,舍去)
或
则(a-b)2=(a+b)2-4ab=9,所以|a-b|=3.
10.答案 {-1,1,2,5}
解析 集合A的所有含三个元素的子集中,每个元素均出现3次,
所以3(a1+a2+a3+a4)=2+5+6+8=21,
故a1+a2+a3+a4=7,
不妨设a2+a3+a4=8,
a1+a3+a4=6,
a1+a2+a4=5,a1+a2+a3=2,
则a1=7-(a2+a3+a4)=7-8=-1,
a2=7-(a1+a3+a4)=7-6=1,
a3=7-(a1+a2+a4)=7-5=2,
a4=7-(a1+a2+a3)=7-2=5,
即A={-1,1,2,5}.
11.解析 (1)若A≠?,则有2a+1≤3a-5,解得a≥6,
故实数a的取值范围为{a|a≥6}.
(2)若A?B,则有如下几种情况:
①当A=?时,即3a-5<2a+1,解得a<6;
②当A≠?时,则(无解),
或解得a>.
综上可得,A?B时,实数a的取值范围为.
12.解析 (1)由题意可知,集合A中至少含有一个元素,即方程ax2-3x+2=0至少有一个实数根.
当a=0时,ax2-3x+2=-3x+2=0,
解得x=,即A=,符合要求;
当a≠0时,ax2-3x+2=0至少有一个实数根,即Δ=(-3)2-4×a×2≥0,所以a≤且a≠0.
综上,实数a的取值范围为.
(2)B={x|x2-x=0}={0,1},因为A?B,所以A=?或{0}或{1}或{0,1}.
当A=?时,有解得a>.
当A={0}时,把x=0代入ax2-3x+2=0中,得2=0,不成立,故此时a的值不存在.
当A={1}时,把x=1代入方程ax2-3x+2=0,得a=1,则x2-3x+2=0,解得x=1或x=2,即A={1,2},与A={1}相矛盾,故此时a的值不存在.
当A={0,1}时,有
无解,故此时a的值不存在.
综上可得,实数a的取值范围为.