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1.3
集合的基本运算
本节要学会准确利用运算法则进行运算,逐步培养运算能力.学习时还应掌握以下
几点:
1.理解两个集合的并集与交集的含义,理解在给定集合中一个子集的补集的含义,
能求两个集合的并集、交集以及一个集合在给定集合中的补集.
2.能用Venn图表示集合的基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用,培养直观想
象的数学素养.
并集与交集
文字语言
符号语言
图形语言
运算性质
并集
一般地,由所有属
于集合A① 或????
属于集合B的元素
组成的集合,称为
集合A与B的并集,
记作②????A∪B????
(读作“A并B”)
A∪B=③ {x|x∈
A,或x∈B}????
?
A∪B=B∪A,A∪A
=A,
A∪?=?∪A=A,
A?(A∪B),B?(A
∪B),
A?B?A∪B=B
交集
一般地,由所有属
于集合A④ 且????
属于集合B的元素
组成的集合,称为
集合A与B的交集,
记作⑤????A∩B????
(读作“A交B”)
A∩B=⑥ {x|x∈
A,且x∈B}????
?
A∩B=B∩A,A∩A
=A,
A∩?=?∩A=?,
(A∩B)?A,(A∩B)
?B,
A?B?A∩B=A
1.全集
一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的⑦ 所有元素????,那么就称这个集
合为全集,通常记作U.
2.补集
文字语言
对于一个集合A,由全集U中⑧ 不属于????集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作⑨?????UA????
符号语言
?UA=⑩ {x|x∈U,且x?A}????
图形语言
?
运算性质
?UA?U,?UU=?,?U?=U,?U(?UA)=A,A∪(?
UA)=U,A∩(?UA)=?
全集与补集
三个有限集合A,B,C的并集中元素的个数公式是card(A∪B∪C)=card(A)+card
(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C).
三个有限集合的并集中元素个数问题
1.?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB),利用Venn图表示如下:
?
2.?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB),利用Venn图表示如下:
德·摩根定律
?
1.?UA?U.?( √ )
2.在全集U中存在某个元素x0,既有x0?A,又有x0??UA.(????? )
3.若A,B中分别有2个元素,则A∪B中必有4个元素.?(????? )
4.根据研究问题的不同,可以指定不同的全集.?( √ )
提示:全集是一个相对概念,因研究问题的不同而变化,如在实数范围内解不等式,
全集为实数集R,而在整数范围内解不等式,则全集为整数集Z.
5.若A∪B=A,B≠?,则B中的每个元素都属于集合A.?( √ )
提示:当A∪B=A时,B?A,又B≠?,所以B中的每个元素都属于集合A.
6.若A∩B=C∩B,则A=C.?(????? )
提示:当B=?时,A∩B=C∩B=?,但A,C可以是任意集合,故A=C不一定成立.
判断正误，正确的画“√”
，错误的画“
?”
。
利用集合的运算性质求参数的值或范围
对于两个非空集合A,B,探究下列问题.
问题
1.A∪B=A的含义是什么?由A∪B=A可以得出集合A与B有怎样的关系?
提示:集合B中的元素都是集合A中的元素;B?A.
2.A∩B=A的含义是什么?由A∩B=A可以得出集合A与B有怎样的关系?
提示:集合A中的元素都是集合B中的元素;A?B.
3.借助Venn图,你能确定?U(A∩B)和(?UA)∪(?UB)的关系以及?U(A∪B)和(?UA)
∩(?UB)的关系吗?
提示:?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB);?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).
?由集合的运算性质求参数的值或取值范围的思路
1.将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能被一一列
举,则可用观察法得到集合
之间的关系;与不等式有关的集合,则可利用数轴得到集合之间的关系.
集合中的元素是有限个孤立个体时,也可借助Venn图来辅助运算.
2.将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)是否有解,或解集满足某些条件
的形式.
3.利用解方程(组)或解不等式(组)来确定参数的值或取值范围时,需注意两点:
(1)由集合间的运算得到的新集合一定要满足集合中元素的互异性,在求解含参数
的问题时,要注意这一隐含的条件.
(2)对于涉及A∪B=A或A∩B=B的问题,可利用集合的运算性质,转化为集合之间的
关系求解,注意空集的特殊性.
??
设集合A={x|x2-2x=0},B={x|x2-2ax+a2-a=0}.
(1)若A∩B=B,求实数a的取值范围;
(2)若A∪B=B,求实数a的值.
思路点拨
(1)由A∩B=B知B?A,再分B=?和B≠?两种情况求解.
(2)由A∪B=B知A?B,再求实数a的值.
解析????由x2-2x=0,得x=0或x=2.
∴A={0,2}.
(1)∵A∩B=B,∴B?A,
∴B=?或{0}或{2}或{0,2}.
当B=?时,Δ=4a2-4(a2-a)=4a<0,∴a<0;
当B={0}时,?
解得a=0;
当B={2}时,?无解;
当B={0,2}时,?
解得a=1.
综上所述,实数a的取值范围是{a|a=1或a≤0}.
(2)∵A∪B=B,∴A?B,
又A={0,2},且B中方程至多有两个实数根,
∴A=B,由(1)知a=1.
新学期开学啦!大家都高高兴兴地来到了新的学校,开始了高中的学习生活.数
学老师想了解一下同学们在初中的数学成绩,让你帮忙统计一下在中招考试中数
学成绩在110分以下(少于110分)的有多少人.
问题
1.你打算怎么办?运用了什么数学方法?
提示:由于中招考试中数学满分是120分,成绩在110分以下的同学应该占大多数,直
接统计110分以下的较麻烦,先统计110分以上(含110分)的有多少人,再用全班人数
减去这个人数就是成绩在110分以下的人数.
运用了补集的思想方法.
“补集思想”
?
2.“补集思想”的原理是什么?
提示:?U(?UA)=A,即在全集U中对A的补集再求补集就是集合A.
对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间关系不明朗、难于从正面入手的
数学问题,在解题时,可以调整思路,从问题的对立面入手,探求已知和未知的关系,
这时能起到化难为易、化隐为显的作用,从而将问题解决.这就是“正难则反”的
解题策略,也是处理问题的间接化原则的体现.这种“正难则反”的策略运用的是
补集思想,即已知全集U,求子集A时,若直接求A较困难,则可先求?UA,再由?U(?
UA)=A求A.
1.运用补集思想解题的方法一般适用于正面考虑的情况较多、问题较复杂的时候,
即至多、至少、存在唯一、不存在等的问题中.
2.用补集思想解含参问题的步骤:
(1)否定已知条件,考虑反面问题;
(2)求反面问题对应的参数的集合;
(3)取反面问题对应的参数的范围的补集,注意全集的范围.
??
已知集合A={y|y>a2+1或y
为?(????C )
A.{a|a≥2}
B.{a|-?C.{a|a>2或-?D.{a|a≥2或-?≤a≤?}
思路点拨
由于集合A中包含两个不等式,若直接利用交集不为空集求解,则所分情况较多,因
此考虑从交集为空集的角度入手.
解析????因为A={y|y>a2+1或y当A∩B=?时,a的取值范围,如图所示.
?
由?得?
故a≤-?或?≤a≤2.
即A∩B=?时,a的取值范围为{a|a≤-?或?≤a≤2},
故A∩B≠?时,a的取值范围为{a|a>2或-? 利用集合的运算给出新定义,是集合中新定义问题的常见形式,如设A,B是非空
集合,定义A
B={x|x∈(A∪B),且x?(A∩B)}.
问题
1.已知A={1,2,3},B={1,3,5},如何确定A
B?
提示:依题意得A∪B={1,2,3,5},A∩B={1,3},因此A
B中的元素是2,5,即A
B={2,5}.
2.已知A={x|0≤x≤3},B={y|y≥1},如何确定A
B?
提示:依题意得A∪B={x|x≥0},A∩B={x|1≤x≤3},
∴A
B={x|0≤x<1或x>3}.
集合运算中的新定义问题
?
3.集合A
B中的元素是如何确定的?
提示:集合A
B={x|x∈(A∪B),且x?(A∩B)}是由并集(A∪B)和交集(A∩B)两种运算
来确定的,新定义A
B中的元素在A∪B中,但不在A∩B中,由此确定A
B中的元素为
A∪B中的元素除去A∩B中的元素后剩余的元素.
1.利用新定义将问题转化为集合的交集、并集问题.
2.利用集合的交集、并集运算时的注意事项:
(1)对于元素个数有限的集合,可直接根据集合的交集、并集的定义求解,但要注意
集合中元素的互异性.
(2)对于元素个数无限的集合,进行交集、并集运算时,可借助数轴求解,但要注意端
点值的取舍.
??
若X是一个集合,集合Γ是一个以X的某些子集为元素的集合,且满足:(1)X属于
Γ,?属于Γ;(2)Γ中任意多个元素的并集属于Γ;(3)Γ中任意多个元素的交集属于Γ.则
称Γ是集合X上的一个拓扑.已知集合X={a,b,c},对于下面给出的四个集合Γ:
①Γ={?,{a},{c},{a,b,c}};
②Γ={?,{b},{c},{b,c},{a,b,c}};
③Γ={?,{a},{a,b},{a,c}};
④Γ={?,{a,c},{b,c},{c},{a,b,c}}.
其中是集合X上的拓扑的集合Γ的序号是 ????.
思路点拨
求解此类题的关键是读懂新定义的含义,在领会新定义的基础上,可通过举例的办
法明晰新定义的内涵和外延,将其运用到新的情境中,进而对结论作出判断.
解析????①不是集合X上的拓扑,因为{a}∈Γ,{c}∈Γ,但{a}∪{c}?Γ;②是集合X上的
拓扑,逐一验证三个条件都满足;③不是集合X上的拓扑,因为X={a,b,c}?Γ;④是集
合X上的拓扑,逐一验证三个条件也都满足.
答案 ②④1.3 集合的基本运算
基础过关练
题组一 并集与交集的运算
1.若集合A={0,1,2,3},B={1,2,4},则A∪B=( )
A.{0,1,2,3,4}
B.{1,2,3,4}
C.{1,2}
D.{0}
2.若集合A={x|0A.{x|x≤0}
B.{x|x≥2}
C.{x|0≤x≤}
D.{x|03.设集合M={1,2},则满足条件M∪N={1,2,3,4}的集合N的个数是( )
A.1
B.3
C.2
D.4
4.已知集合M={-1,0,1,2},N={x|1≤x≤3},则M∩N=( )
A.{-1,0,1,2,3}
B.{-1,0,1}
C.{1,2}
D.{1,2,3}
5.(2020辽宁丹东高一上期末)若集合A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则(A∩B)∪C=( )
A.{2}
B.{2,3}
C.{3,4}
D.{1,2,3,4}
6.已知集合A=,B={(x,y)|y=x2},则A∩B= .?
题组二 全集与补集的运算
7.(2020河南师大附属中学高一上期中)设集合U={0,1,2,3,4},A={1,2},B={2,3},则(?UA)∩(?UB)=( )
A.{0,4}
B.{4}
C.{1,2,3}
D.?
8.(2020山西太原第五中学高一上期中)已知集合A={x∈N|0≤x≤6},B={x|3-x<0},则A∩(?RB)=( )
A.{1,2}
B.{0,1,2}
C.{1,2,3}
D.{0,1,2,3}
9.已知全集U=R,集合M={x|-1A.{x|x≤0或x≥1}
B.{x|x≤-1或x≥2}
C.{x|0D.{x|-110.已知全集U={x∈N
|x<9},(?UA)∩B={1,6},A∩(?UB)={2,3},?U(A∪B)={5,7,8},则B=( )
A.{2,3,4}
B.{1,4,6}
C.{4,5,7,8}
D.{1,2,3,6}
11.已知全集U={x|x≤4},集合A={x|-2(1)A∩B;
(2)(?UA)∪B.
题组三 利用集合的运算解决参数问题
12.已知集合A={m,2},集合B={2,m2},若A∪B={-1,1,2},则实数m= .?
13.(2020广西南宁第二中学高一上期末)已知集合A={2,4,a2-4a+6},B={2,a},A∩B=B,则实数a的取值集合为 .?
14.已知全集U={0,1,2},A={x|x-m=0,m∈R},若?UA={0,1},则实数m= .?
15.已知集合A={x|x2-8x+15=0},B={x|x2-ax-b=0}.
若A∪B={2,3,5},A∩B={3},求实数a,b的值.
16.设全集U=R,集合A={x|1≤x<4},B={x|2a≤x<3-a}.
(1)若a=-2,求B∩A,B∩(?UA);
(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.
能力提升练
题组一 并集、交集的综合运算及应用
1.()中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题:今有物,不知其数.三三数之,剩二;五五数之,剩三;七七数之,剩二.问:物几何?现有如下表示:已知A={x|x=3n+2,n∈N
},B={x|x=5n+3,n∈N
},C={x|x=7n+2,n∈N
},若x∈(A∩B∩C),则整数x的最小值为( )
A.128
B.127
C.37
D.23
2.(2020吉林省实验中学高一上月考,)设M={x|x∈Z},N=,P=xx=n+,n∈Z,则下列关系正确的是( )
A.N?M
B.N=M∪P
C.N?P
D.N=M∩P
3.()设M,P是两个非空集合,定义M与P的差集为M-P={x|x∈M,且x?P},则M-(M-P)等于( )
A.P
B.M
C.M∩P
D.M∪P
4.(多选)(2020山东济南第一中学高一上月考,)若集合M?N,则下列结论正确的是( )
A.M∩N=N
B.M∪N=N
C.N?(M∩N)
D.(M∪N)?N
5.(2019北京海淀高一上期中,)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}.
(1)当x∈R时,若A∪B=A,求实数m的取值范围;
(2)当x∈Z时,求A的非空真子集的个数;
(3)当x∈R时,若A∩B=?,求实数m的取值范围.
6.(2020河南开封高级中学高一上期中,)已知集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},其中a∈R,如果A∪B=A,求实数a的取值范围.
7.()某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座,其中有75人听了数学讲座,68人听了历史讲座,61人听了音乐讲座,17人同时听了数学、历史讲座,12人同时听了数学、音乐讲座,9人同时听了历史、音乐讲座,还有6人听了全部讲座.求听讲座的人数.
题组二 全集、补集的综合运算及其应用
8.()如图,已知I是全集,A,B,C是它的子集,则阴影部分所表示的集合是( )
A.[(?IA)∩B]∩C
B.[(?IB)∪A]∩C
C.(A∩B)∩(?IC)
D.[A∩(?IB)]∩C
9.(多选)()已知全集U=R,集合A={x|1≤x≤3或4A.?UB={x|x<2或x≥5}
B.A∩(?UB)={x|1≤x<2或5≤x<6}
C.(?UA)∪B={x|x<1或26}
D.?U(?UB)={x|2≤x<5}
10.()设全集U={(x,y)|x∈R,y∈R},A=,B={(x,y)|y=x+1},则(?UA)∩B= .?
11.(2020安徽六安一中高一上月考,)已知集合U=R,M={x|3a答案全解全析
基础过关练
1.A 由并集的定义知A∪B={0,1,2,3,4},故选A.
2.D 将集合A,B表示在数轴上,如图,由数轴可知A∪B={x|03.D 因为集合M={1,2},M∪N={1,2,3,4},所以集合N中至少含有3和4两个元素,所以集合N可以为{3,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4},共4个,故选D.
4.C 由交集的定义知M∩N={1,2},故选C.
5.D ∵A={1,2},B={1,2,3},∴A∩B={1,2}.∵C={2,3,4},∴(A∩B)∪C={1,2,3,4},故选D.
6.答案 {(1,1)}
解析 集合A表示除去点(0,0)的直线y=x上的点,集合B表示抛物线y=x2上的点,作出函数y=x和y=x2的图象(图略),可得直线y=x与抛物线y=x2的交点为(0,0),(1,1),所以A∩B={(1,1)}.
7.A 因为U={0,1,2,3,4},A={1,2},B={2,3},所以?UA={0,3,4},?UB={0,1,4},所以(?UA)∩(?UB)={0,4}.
8.D 易知B={x|x>3},∴?RB={x|x≤3},又A={x∈N|0≤x≤6}={0,1,2,3,4,5,6},
∴A∩(?RB)={0,1,2,3},故选D.
9.B 题图中阴影部分对应的集合为?U(M∪N),因为M={x|-110.B 易知U={1,2,3,4,5,6,7,8},根据题意作出Venn图,如图,可知B={1,4,6}.
11.解析 (1)将集合A,B表示在数轴上,如图所示,
由图可知,A∩B={x|-2(2)由题意得?UA={x|x≤-2或3≤x≤4}.
将?UA和集合B表示在数轴上,如图所示,
由图可知,(?UA)∪B={x|x≤2或3≤x≤4}.
12.答案 -1
解析 因为A={m,2},B={2,m2},A∪B={-1,1,2},所以m,m2的值一个为1,另一个为-1.又因为m2≥0,所以解得m=-1.
13.答案 {3,4}
解析 当a=4时,a2-4a+6=6,符合题意;当a2-4a+6=a时,解得a=2或a=3,由集合中元素的互异性知a=2不合题意,舍去.综上可知,a=4或a=3.
14.答案 2
解析 解法一:由x-m=0得x=m,∴A={m},根据补集的概念,得?UA={x|x∈U,且x?A}={0,1},因此m=2.
解法二:根据补集的性质?U(?UA)=A可得A={2},则2-m=0,即m=2.
15.解析 集合A={x|x2-8x+15=0}={3,5}.
因为A∪B={2,3,5},A∩B={3},
所以2∈B,3∈B,故2,3是一元二次方程x2-ax-b=0的两个实数根,
所以a=2+3=5,-b=2×3=6,即b=-6.
16.解析 (1)因为A={x|1≤x<4},
所以?UA={x|x<1或x≥4}.
当a=-2时,B={x|-4≤x<5},
所以B∩A={x|1≤x<4},B∩(?UA)={x|-4≤x<1或4≤x<5}.
(2)若A∪B=A,则B?A.
①当B=?时,2a≥3-a,解得a≥1;
②当B≠?时,解得≤a<1.
综上所述,a的取值范围为a≥.
能力提升练
1.D 将各个选项中的数代入检验,可知选D.
2.B 对于集合N,当n为偶数时,设n=2k,k∈Z,则x==k,k∈Z;当n为奇数时,设n=2k+1,k∈Z,则x===k+,k∈Z,所以N=M∪P,故选B.
3.C 当M∩P=?时,由于对任意x∈M都有x?P,所以M-P=M,因此M-(M-P)=M-M=?=M∩P;当M∩P≠?时,作出Venn图如图所示,
M-P表示由在M中但不在P中的元素构成的集合,M-(M-P)表示由在M中但不在M-P中的元素构成的集合,由于M-P中的元素都不在P中,所以M-(M-P)中的元素都在P中,所以M-(M-P)中的元素都在M∩P中,反过来M∩P中的元素也符合M-(M-P)的定义,因此M-(M-P)=M∩P,故选C.
4.BD 因为M?N,所以M∩N=M,M∪N=N,A不正确,B正确;因为M∩N=M,M?N,所以N?(M∩N),C不正确;因为M∪N=N,N?N,所以(M∪N)?N,D正确.故选BD.
5.解析 (1)因为A∪B=A,所以B?A.
当B=?时,m+1>2m-1,则m<2;
当B≠?时,根据题意,得解得2≤m≤3.
综上可得,实数m的取值范围是{m|m≤3}.
(2)当x∈Z时,A={x|-2≤x≤5}={-2,-1,0,1,2,3,4,5},共有8个元素,所以A的非空真子集的个数为28-2=254.
(3)当B=?时,由(1)知m<2;
当B≠?时,根据题意作出如图所示的数轴,
可得或解得m>4.
综上可得,实数m的取值范围是{m|m<2或m>4}.
6.解析 A={x|x2+4x=0}={0,-4}.
∵A∪B=A,∴B?A.
①当B=?时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,
解得a<-1,此时满足B?A.
②当B={0}或B={-4}时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,解得a=-1,此时B={0},满足B?A.
③当B={0,-4}时,
解得a=1.
综上所述,实数a的取值范围是{a|a=1或a≤-1}.
归纳升华 已知集合运算的结果求参数的取值范围时,容易忽略空集的情况,从而考虑问题不全面导致错误,所以在解题时应避免出现这种由于对题意把握不准而造成错误的情况.
7.解析 解法一:设听了数学讲座、历史讲座、音乐讲座的同学构成的集合分别为A,B,C,因为听了数学讲座的人数为75,所以A中元素的个数为75.同理,B中元素的个数为68,C中元素的个数为61,A∩B中元素的个数为17,A∩C中元素的个数为12,B∩C中元素的个数为9,A∩B∩C中元素的个数为6,那么A∪B∪C中元素的个数为75+68+61-17-12-9+6=172,即听讲座的人数为172.
解法二:作出Venn图.由图知听讲座的人数为52+48+46+11+6+3+6=172.
8.D 由题图可知阴影部分中的元素属于A,不属于B,属于C,则阴影部分表示的集合是[A∩(?IB)]∩C.
9.ABD 由?UB={x|x<2或x≥5}知选项A正确;
由A∩(?UB)={x|1≤x≤3或4由(?UA)∪B={x|x<1或3由?U(?UB)=B={x|2≤x<5}知选项D正确.
10.答案 {(2,3)}
解析 ∵A=={(x,y)|y=x+1,x≠2},∴?UA={(x,y)|y≠x+1}∪{(2,3)}.
又B={(x,y)|y=x+1},
∴(?UA)∩B={(2,3)}.
11.解析 由题意得?UP={x|x<-2或x>1}.
∵M??UP,∴分M=?和M≠?两种情况讨论.
①当M=?时,有3a≥2a+5,即a≥5.
②当M≠?时,由M??UP,可得或即a≤-或≤a<5.
综上可知,实数a的取值范围是.