1.4 充分条件与必要条件
基础过关练
题组一 充分条件、必要条件与充要条件的判定
1.若a∈R,则“a=1”是“|a|=1”的( )
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2020山东泰安一中高一上期中)王昌龄是盛唐时期著名的边塞诗人,被誉为“七绝圣手”,其《从军行》传颂至今:“青海长云暗雪山,孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还.”由此推断,最后一句“攻破楼兰”是“返还家乡”的( )
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.(2020山东师范大学高一10月阶段性检测)已知四边形ABCD的两条对角线分别为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
4.(2020山东德州实验中学高一上月考)设集合A={x∈R|x-2>0},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x<0或x>2},则“x∈(A∪B)”是“x∈C”的(深度解析)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.设A,B是两个非空集合,则“A∩B=A”是“A=B”的 条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).?
6.判断下列命题中p是q的什么条件.
(1)p:数a能被6整除,q:数a能被3整除;
(2)p:x>1,q:x2>1;
(3)p:△ABC有两个角相等,q:△ABC是正三角形;
(4)若a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0.
题组二 充分条件、必要条件与充要条件的探究
7.“x>y”的一个充分条件是( )
A.|x|>y
B.x2>y2
C.|x|>|y|
D.x>|y|
8.(2020北京东城汇文中学高一月考)以下选项中,p是q的充要条件的是( )
A.p:3x+2>5,q:-2x-3>-5
B.p:a>2,b<2,q:a>b
C.p:四边形的两条对角线互相垂直平分,q:四边形是正方形
D.p:a≠0,q:关于x的方程ax=1有唯一解
9.(2020天津二中高一期中)设a是实数,则a<5成立的一个必要不充分条件是( )
A.a<6
B.a<4
C.a2<25
D.>
10.(多选)设全集为U,在下列选项中,是B?A的充要条件的有( )
A.A∪B=A
B.(?UA)∩B=?
C.(?UA)?(?UB)
D.A∪(?UB)=U
11.求证:一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过坐标原点的充要条件是b=0.
题组三 充分条件、必要条件与充要条件的应用
12.已知p:{x|x+2≥0且x-10≤0},q:{x|4-m≤x≤4+m,m>0}.若p是q的充要条件,则实数m的值为( )
A.4
B.5
C.6
D.7
13.若“x>2”是“x>a”的必要不充分条件,则实数a的取值范围是( )
A.{a|a<2}
B.{a|a≤2}
C.{a|a>2}
D.{a|a≥2}
14.(2020河南平顶山高二上期末)已知a>0,设p:-a≤x≤3a;q:-1
A.{a|1B.{a|1≤a≤2}
C.{a|0D.{a|0能力提升练
题组一 充分条件、必要条件与充要条件的判定
1.(2020山东宁阳一中高一上期中,)已知a∈R,则“a>1”是“<1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2020安徽宿州十三所省重点中学高二上期末,)对于实数x,y,若p:x≠2或y≠3;q:x+y≠5,则p是q的( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.(2019北京东城一模,)南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献,他在实践的基础上提出祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.其含义是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.如图,夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1,V2,被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为S1,S2,则“V1,V2相等”是“S1,S2总相等”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(多选)(2020山东济南外国语学校高一上期中,)对任意实数a,b,c,给出下列命题,其中真命题是( )
A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件
B.“a>b”是“a2>b2”的充分条件
C.“a<5”是“a<3”的必要条件
D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件
5.(2019山西晋城一中高一月考,)“m<”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的 条件.(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分也不必要”)?
题组二 充分条件、必要条件与充要条件的探究
6.()设x,y是两个实数,命题:“x,y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )
A.x+y=2
B.x+y>2
C.x2+y2>2
D.xy>1
7.(多选)()设计如图所示的四个电路图,若p:开关S闭合,q:灯泡L亮,则符合p是q的充要条件的电路图是( )
8.()若a,b都是实数,试从①ab=0;②a+b=0;③a(a2+b2)=0;④ab>0中选出适合的条件,用序号填空:
(1)“a,b都为0”的必要条件是 ;?
(2)“a,b都不为0”的充分条件是 ;?
(3)“a,b至少有一个为0”的充要条件是 .?
题组三 充分条件、必要条件与充要条件的应用
9.()已知p:-10)是p的一个必要条件,则使a>b恒成立的实数b的取值范围是 .?
10.()求关于x的方程ax2+2x+1=0的解集中有且最多有一个负实数元素的充要条件.
11.(2020山东邹城高三上期中,)已知集合A={x∈R|0答案全解全析
基础过关练
1.A 当a=1时,|a|=1成立,因此“a=1”是“|a|=1”的充分条件;当|a|=1时,a=±1,所以a=1不一定成立,因此“a=1”不是“|a|=1”的必要条件.所以“a=1”是“|a|=1”的充分条件,故选A.
2.B 由题意知“返还家乡”可推出“攻破楼兰”,所以“攻破楼兰”是“返还家乡”的必要条件.
3.A 若四边形ABCD为菱形,则AC⊥BD;反之,若AC⊥BD,则四边形ABCD不一定是菱形.故选A.
4.C A∪B={x∈R|x<0或x>2},C={x∈R|x<0或x>2},∴A∪B=C,∴“x∈(A∪B)”是“x∈C”的充要条件.
思维拓展 从集合角度理解充分、必要条件:
记命题p,q对应的集合分别为A,B,则有
(i)A?B,p是q的充分不必要条件;
(ii)A?B,p是q的必要不充分条件;
(iii)A=B,p是q的充要条件;
(iv)A?B,且A?B,p是q的既不充分也不必要条件.
5.答案 必要不充分
解析 由A∩B=A,得A?B,但推不出A=B,因此“A∩B=A”不是“A=B”的充分条件;反过来,由A=B,得A?B,能推出A∩B=A,因此“A∩B=A”是“A=B”的必要条件,故“A∩B=A”是“A=B”的必要不充分条件.
6.解析 (1)因为“数a能被6整除”能推出“数a能被3整除”,即p?q,
但“数a能被3整除”推不出“数a能被6整除”,如a=9,即q?
/
p,所以p是q的充分不必要条件.
(2)因为“x>1”能推出“x2>1”,即p?q,但当“x2>1”时,如x=-2,推不出“x>1”,即q?
/p,所以p是q的充分不必要条件.
(3)因为“△ABC有两个角相等”推不出“△ABC是正三角形”,即p?/q,但“△ABC是正三角形”能推出“△ABC有两个角相等”,即q?p,所以p是q的必要不充分条件.
(4)若“a2+b2=0”,则“a=b=0”,即p?q;若“a=b=0”,则“a2+b2=0”,即q?p,故p?q,所以p是q的充要条件.
7.D 取x=-2,y=1,适合选项A,B,C,但推不出“x>y”,即选项A,B,C错误;由x>|y|≥y知,“x>|y|”是“x>y”的一个充分条件,故选D.
8.D 对于A,p:x>1,q:x<1,p?/q
且q?/p,所以p是q的既不充分也不必要条件;对于B,p?q,但q?/
p,所以p是q的充分不必要条件;对于C,p?/
q,但q?p,所以p是q的必要不充分条件;对于D,显然q?p,所以p是q的充要条件.故选D.
9.A ∵a<5?a<6,a<6?/
a<5,∴a<6是a<5成立的一个必要不充分条件.故选A.
10.ABCD 由Venn图可知,A,B,C,D都是B?A的充要条件,故选ABCD.
11.证明 ①充分性:如果b=0,那么y=kx(k≠0).当x=0时,y=0,
所以一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过坐标原点.
②必要性:因为一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过坐标原点,
所以当x=0时,y=0,即k×0+b=0,所以b=0.
综上,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过坐标原点的充要条件是b=0.
思维拓展 对于充要条件的证明问题,可分别证明充分性与必要性,此时应注意分清楚谁是条件,谁是结论,充分性是由条件成立来证明结论成立,而必要性则是由结论成立证明条件成立;也可进行等价转化,此时应注意每一步得出的结论均必须能反推出得到这个结论的所有条件.
12.C 由已知得p:{x|-2≤x≤10}.由p是q的充要条件得{x|-2≤x≤10}={x|4-m≤x≤4+m,m>0},因此解得m=6,故选C.
13.C 由“x>2”是“x>a”的必要不充分条件知,{x|x>a}是{x|x>2}的真子集,将这两个集合表示在数轴上(如图).由数轴知a>2,故选C.
14.C 因为p是q的充分不必要条件,所以解得0能力提升练
1.A 由a>1知,a是正数,因此<=1,充分性成立;反之,取a=-1,适合“<1”,但不适合“a>1”,从而必要性不成立.故选A.
2.A 充分性:x=1,y=4满足“x≠2或y≠3”,但有x+y=5,故充分性不成立.必要性:当x+y≠5成立时,若x=2,则y≠3;若x≠2,则y可能取3也可能不取3.两种情况都满足“x≠2或y≠3”,所以必要性成立,即p是q的必要不充分条件.故选A.
3.B 由祖暅原理知,若S1,S2总相等,则V1,V2相等成立,即必要性成立;
若V1,V2相等,则S1,S2不一定相等,即充分性不成立.
所以“V1,V2相等”是“S1,S2总相等”的必要不充分条件,故选B.
4.CD A中,由a=b可以推出ac=bc,充分性成立,由ac=bc不能推出a=b,例如c=0,a=1,b=2时,1×0=2×0,1≠2,所以必要性不成立,A是假命题;B中,当a=0,b=-1时,02<(-1)2,不能推出a2>b2,充分性不成立,B为假命题;C中,由a<3能推出a<5,所以“a<5”是“a<3”的必要条件,C是真命题;D中,由a+5是无理数可推出a是无理数,所以充分性成立,由a是无理数也可推出a+5是无理数,所以必要性成立,D为真命题.故选CD.
5.答案 充分不必要
解析 一元二次方程x2+x+m=0有实数解等价于Δ=1-4m≥0,解得m≤.由条件“m<”可以推出结论“m≤”;反过来,由结论“m≤”推不出条件“m<”,因此“m<”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的充分不必要条件.
6.B 对于选项A,当x=1,y=1时,满足x+y=2,但命题不成立;对于选项C,D,当x=-2,y=-3时,满足x2+y2>2,xy>1,但命题不成立,也不符合题意.故选B.
7.BD A中电路图,开关S闭合则灯泡L亮,而灯泡L亮时开关S不一定闭合,故A中p是q的充分不必要条件;B中电路图,开关S闭合则灯泡L亮,灯泡L亮则开关S一定闭合,故B中p是q的充要条件;C中电路图,开关S闭合时灯泡L不一定亮,灯泡L亮则开关S一定闭合,故C中p是q的必要不充分条件;D中电路图,开关S闭合则灯泡L亮,灯泡L亮则开关S一定闭合,故D中p是q的充要条件.故选BD.
8.答案 (1)①②③ (2)④ (3)①
解析 ①ab=0?a=0或b=0,即a,b中至少有一个为0;
②a+b=0?a,b互为相反数,则a,b可能均为0,也可能一正一负;
③a(a2+b2)=0?a=0或
④ab>0?或即a,b同号且都不为0.
9.答案 {b|b<2}
解析 ∵-a∴{x|-1∴解得a≥2.
又a>b恒成立,因此b<2,故实数b的取值范围是{b|b<2}.
10.解析 由方程ax2+2x+1=0的解集中有且最多有一个负实数的元素,得
若a=0,则x=-,符合题意.
若a≠0,方程ax2+2x+1=0有实数根,则Δ=4-4a≥0,解得a≤1,
当a=1时,方程有两个相等的负实数根x1=x2=-1,符合题意.
当a<1且a≠0时,若方程有且最多有一个负实数根,则<0,即a<0.
所以当a≤0或a=1时,关于x的方程ax2+2x+1=0的解集中有且最多有一个负实数元素.
综上,“方程ax2+2x+1=0的解集中有且最多有一个负实数元素”的充要条件为“a≤0或a=1”.
11.解析 由题意得A?B.
由集合A得,-1)
①当a>0时,
由(
)得A=,
因为A?B,所以或
解得a>1.
②当a<0时,
由(
)式得A=,
因为A?B,所以解得a<-2.
综上,实数a的取值范围是{a|a<-2或a>1}.(共21张PPT)
1.4
充分条件与必要条件
1.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的
关系;理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系;理解充要条件的意
义,理解数学定义与充要条件的关系.
2.结合具体问题,利用集合等知识,学会判断充分条件、必要条件和充要条件.
3.分清充分性与必要性,培养等价转化思想.
命题
真假
“若p,则q”是真命题
“若p,则q”是假命题
推出
关系
由p可以推出q,记为:①????p?q????
由p不能推出q,记为:④????p?
/q
????
条件
关系
p是q的② 充分条件????
p不是q的⑤ 充分条件????
q是p的③ 必要条件????
q不是p的⑥ 必要条件????
充分条件和必要条件
1.数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个⑦ 充分条件????.
2.数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个⑧ 必要条件????.
充分条件和必要条件与判定定理和性质定理
将命题为“若p,则q”(称为原命题)的条件p和结论q⑨ 互换????,就得到一个
新的命题“⑩ 若q,则p????”,称这个命题为原命题的逆命题.
逆命题
如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有p?q,又有q
?p,就记作?????p?q????.此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的
? 充分必要条件????,简称为? 充要条件????.显然,如果p是q的充要条件,那么q也
是p的充要条件.概括地说,如果p?q,那么p与q? 互为充要条件????.
充要条件
如果原命题为“若p,则q”,逆命题为“若q,则p”,那么p与q的关系有以下四种
情形:
原命题
逆命题
p与q的关系
q与p的关系
真
真
p是q的充要条件
q是p的充要条件
真
假
p是q的充分不必要条
件
q是p的必要不充分条
件
假
真
p是q的必要不充分条
件
q是p的充分不必要条
件
假
假
p是q的既不充分也不
必要条件
q是p的既不充分也不
必要条件
四种条件与命题真假的关系
1.p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系,只是说法不同.?
( √ )
2.p是q的必要条件的含义是:如果p不成立,则q一定不成立.?( √ )
3.三角形相似是三角形全等的必要条件.?( √ )
提示:由“三角形全等”能推出“三角形相似”,因此结论正确.
4.证明“p的充要条件是q”,则由p?q证的是充分性,由q?p证的是必要性.
(????? )
提示:在“p的充要条件是q”中,q是条件,p是结论,因此由p?q证的是必要性,由q?
p证的是充分性.
判断正误，正确的画“√”
，错误的画“
?”
。
5.若p是q的充要条件,q是r的充要条件,则p是r的充要条件.?( √ )
提示:若p是q的充要条件,q是r的充要条件,则p?q,且q?r,因此p?r,故p是r的充要
条件.
6.“A∩B是空集”是“A与B均是空集”的充要条件.(????? )
充分条件、必要条件和充要条件的判断
观察下面4个电路图.
?
问题
1.①中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件?
提示:充分不必要.
2.②中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件?
提示:必要不充分.
3.③中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件?
提示:充要.
4.④中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件?
提示:既不充分也不必要.
5.将①中开关A与灯泡B位置互换,开关C始终是断开状态,结论变吗?
提示:变为充要.
?充分、必要条件判断的几种方法
(1)定义法:直接利用定义进行判断.
(2)等价法:“p?q”表示p等价于q,等价命题可以进行转换,当我们要证明p成立时,
就可以去证明q成立.
(3)传递法:根据充要关系的传递性来判断的方法叫传递法.充分条件具有传递性,若
A1?A2?A3?…?An-1?An,则A1?An,即A1是An的充分条件.必要条件也有传递性,若
A1?A2?A3?…?An-1?An,则A1?An,即A1是An的必要条件.当然充要条件也有传递
性.因此,对于较复杂的(连锁式)关系的判断可用连锁式的传递图来解答.
(4)利用集合间的包含关系进行判断:如果满足条件p和结论q的元素构成的集合分
别为A和B,那么若A?B,则p是q的充分条件;若B?A,则p是q的必要条件;若A=B,则p
是q的充要条件;若A?B,则p是q的充分不必要条件;若B?A,则p是q的必要不充分
条件;若A?B且B?A,则p是q的既不充分也不必要条件.
??
判断下列各命题中p是q的什么条件:
(1)p:x-2=0,q:(x-2)(x-3)=0;
(2)p:t≠2,q:t2≠4;
(3)p:0(4)p:△ABC为直角三角形,q:△ABC为等腰三角形.
思路点拨
利用充分条件、必要条件的定义来判断.
解析????(1)x-2=0?(x-2)(x-3)=0,
而(x-2)(x-3)=0?x-2=0或x-3=0,所以“x-2=0”是“(x-2)(x-3)=0”的充分不必要条
件.
(2)t2≠4?t≠2,t≠2?/
t2≠4(当t=-2时,t2=4),
∴“t≠2”是“t2≠4”的必要不充分条件.
(3)令A={x|0(4)∵p?/
q,q?/
p,
∴p是q的既不充分也不必要条件.
导师点睛????(1)判断p是q的什么条件,主要是判断p?q及q?p两命题的正确性,若p
?q为真,则p是q的充分条件,若q?p为真,则p是q的必要条件.
(2)当条件和结论是不等式时,可以利用集合间的关系判断充分性和必要性.
已知命题p:y=ax2-2x-1恒为负值.
问题
1.命题p的充要条件可以是 ????.
提示:由?得a<-1.
2.命题p的充分不必要条件可以是 ????.
提示:在问题1的前提下,找{a|a<-1}的非空真子集即可.
3.命题p的必要不充分条件可以是 ????.
提示:在问题1的前提下,找一个集合A,使得{a|a<-1}?A即可.
充分条件、必要条件的证明与探究
?
判断与证明充要条件,一要判断条件是否能推出结论,即p?q是否成立,若成立,则p
是q的充分条件,否则不是充分条件;二要判断结论是否能推出条件,即q?p是否成
立,若成立,则p是q的必要条件,否则不是必要条件.若p既是q的充分条件又是q的必
要条件,就判定p为q的充要条件.
关于充分条件、必要条件、充要条件,当不容易判断p?q及q?p的真假时,也可以
从集合角度去判断,结合集合中“小集合?大集合”的关系来理解,这对解决与逻
辑有关的问题是大有益处的.
??
设x,y是两个实数,则“x,y中至少有一个数大于1”成立的一个充分不必要条
件是?(????B )
A.x+y=2 ????B.x+y>2
C.x2+y2>2 ????D.xy>1
思路点拨
代特值,根据充分不必要条件的定义来判断.
解析????对于A,当x=1,y=1时,不能得到x,y中至少有一个数大于1;对于C,当x=-1,y=-2
时,不能得到x,y中至少有一个数大于1;对于D,当x=-1,y=-2时,不能得到x,y中至少有
一个数大于1;对于B,若x,y都小于或等于1,即x≤1,y≤1,则x+y≤2,与x+y>2矛盾,故
“x,y中至少有一个数大于1”成立的一个充分条件是“x+y>2”,而当x=2,y=-1时,x
+y>2不成立,所以“x+y>2”不是“x,y中至少有一个数大于1”成立的必要条件.故
选B.
??
求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为-1的充要条件是a-b+c=0.
思路点拨
先证明充分性,即证a-b+c=0?ax2+bx+c=0有一个根为-1;再证必要性,即证ax2+bx+c
=0有一个根为-1?a-b+c=0.
证明????充分性:因为a-b+c=0,
即a·(-1)2+b·(-1)+c=0,
所以-1是ax2+bx+c=0的一个根.
必要性:因为ax2+bx+c=0有一个根为-1,所以a·(-1)2+b·(-1)+c=0,
即a-b+c=0.
综上可得,ax2+bx+c=0有一个根为-1的充要条件是a-b+c=0.
?
充分条件、必要条件的应用一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意:
(1)把充分条件、必要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出
关于参数的等式或不等式(组),求解即可.
(2)要注意对解集端点值的检验.
利用充分条件、必要条件确定参数的值(取值范围)
??
已知非空集合A={x|2条件,求实数a的取值范围.
思路点拨
先转化为集合A和集合B的关系,再求解a的取值范围.
解析????∵A≠?,∴3a+1>2,即a>?.
∵q是p的必要条件,∴A?B,
∴?
解得a≤?,
∴?即实数a的取值范围是?.
??
已知集合A=?,集合B={x||x-m|≥1},设p:x∈A,q:x∈B.若
p是q的充分条件,求实数m的取值范围.
思路点拨
求集
合A,B→确定集合
A,B的关系→列不等式
求m的范围
解析????由y=x2-?x+1配方得y=?+?,
∵-?≤x≤2,
∴?≤y≤2,
∴A=?.
由|x-m|≥1,
解得x≥m+1或x≤m-1,
∴B={x|x≥m+1或x≤m-1}.
∵p是q的充分条件,
∴A?B,
∴m+1≤?或m-1≥2,
解得m≤-?或m≥3.
故实数m的取值范围是?.