1.5 全称量词与存在量词
1.5.1 全称量词与存在量词
基础过关练
题组一 全称量词命题与存在量词命题
1.将“x2+y2≥2xy”改写成全称量词命题,下列说法正确的是( )
A.对任意x,y∈R,都有x2+y2≥2xy
B.存在x,y∈R,使x2+y2≥2xy
C.对任意x>0,y>0,都有x2+y2≥2xy
D.存在x<0,y<0,使x2+y2≥2xy
2.下列命题中,存在量词命题的个数是( )
①有些自然数是偶数;
②正方形是菱形;
③能被6整除的数也能被3整除;
④对于任意x∈R,总有≤1.
A.0
B.1
C.2
D.3
3.(多选)下列命题是“?x∈R,x2>3”的表述方法的有( )
A.有一个x∈R,使得x2>3成立
B.对有些x∈R,使得x2>3成立
C.任选一个x∈R,都有x2>3成立
D.至少有一个x∈R,使得x2>3成立
4.命题“有些负数满足(1+x)(1-9x)>0”用“?”或“?”可表述为 .?
5.下列命题中,是全称量词命题的为 ;是存在量词命题的为 .(填序号)?
①正方形的四条边相等;
②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形;
③正数的平方根不等于0;
④至少有一个正整数是偶数;
⑤存在一对实数x,y,使2x+3y+3>0成立.
题组二 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
6.(2020山东师范大学高一10月阶段性检测)下列命题中,既是全称量词命题又是真命题的是( )
A.至少有一个x∈Z,使得x2<3成立
B.对任意a,b∈R,都有a2+b2≥2(a+b-1)
C.?x∈R,=x
D.菱形的两条对角线长度相等
7.选择合适的量词(?,?),加在p(x)的前面,使其成为一个真命题.
(1)x>2;
(2)x是偶数;
(3)若x是无理数,则x2是无理数;
(4)a2+b2=c2.(这是含有三个变量的语句,用p(a,b,c)表示)
8.设语句q(x):|x-1|=1-x.
(1)写出q(1),q(2),并判断它们是不是真命题;
(2)写出“?a∈R,q(a)”,并判断它是不是真命题;
(3)写出“?a∈R,q(a)”,并判断它是不是真命题.
题组三 全称量词命题与存在量词命题的应用
9.(多选)已知命题p:存在实数x,使得数据1,2,3,x,6的中位数为3.则使命题p成立的实数x的取值集合可以为( )
A.{3,4,5}
B.{x|x>2}
C.{x|x≥3}
D.{x|3≤x≤6}
10.(2020辽宁沈阳高一上期末)设p:?x∈R,x2+x+a≥0.若p是真命题,则实数a的取值范围是 .?
11.对任意x>3,x>a恒成立,则实数a的取值范围是 .?
12.若一次函数y=kx+2(x∈R)的图象恒过第三象限,则实数k的取值范围为 .?
答案全解全析
基础过关练
1.A “任意”为全称量词,选项A正确.
2.B 命题①中含有存在量词,是存在量词命题;命题②中全称量词省略,可以叙述为“所有的正方形都是菱形”,是全称量词命题;命题③中全称量词省略,可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”,是全称量词命题;命题④中有全称量词“任意”,是全称量词命题.故只有1个存在量词命题.
3.ABD C选项是全称量词命题,A,B,D选项符合题意,故选ABD.
4.答案 ?x<0,使(1+x)(1-9x)>0
解析 “有些”为存在量词,因此可用存在量词命题来表述.
5.答案 ①②③;④⑤
解析 ①中量词“任意一个”省略,是全称量词命题;②的含义是“任何有两个角是45°的三角形均是等腰直角三角形”,含有全称量词,是全称量词命题;③中量词“任意一个”省略,是全称量词命题;④中含有存在量词“至少有一个”,是存在量词命题;⑤中含有存在量词,是存在量词命题.
6.B 选项A,C为存在量词命题,选项B,D为全称量词命题.菱形的对角线长度不一定相等,D选项为假命题.a2-2a+b2-2b+2=(a-1)2+(b-1)2≥0,所以a2+b2≥2(a+b-1),所以选项B为真命题.故选B.
7.解析 (1)?x∈R,x>2.
(2)?x∈Z,x是偶数.
(3)?x∈R,若x是无理数,则x2是无理数.(如x=)
(4)?a,b,c∈R,a2+b2=c2.
8.解析 (1)q(1):|1-1|=1-1,真命题.
q(2):|2-1|=1-2,因为|2-1|=1,1-2=-1,所以|2-1|≠1-2,假命题.
(2)?a∈R,|a-1|=1-a,由(1)知,q(2)为假命题,所以“?a∈R,|a-1|=1-a”为假命题.
(3)?a∈R,|a-1|=1-a,由(1)知,q(1)为真命题,所以“?a∈R,|a-1|=1-a”为真命题.
9.ACD 因为中位数为3,所以x≥3,故选ACD.
10.答案
解析 ∵?x∈R,x2+x+a≥0,∴Δ=12-4a≤0,∴a≥,∴a的取值范围为.
11.答案 {a|a≤3}
解析 对任意x>3,x>a恒成立,即大于3的数恒大于a,∴a≤3.
12.答案 {k|k>0}
解析 一次函数y=kx+2的图象过点(0,2),若图象恒过第三象限,则k>0.1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定
基础过关练
题组一 全称量词命题和存在量词命题的否定
1.(2020山东滨州高一上期末)设命题p:所有的矩形都是平行四边形,则?p为( )
A.所有的矩形都不是平行四边形
B.存在一个平行四边形不是矩形
C.存在一个矩形不是平行四边形
D.不是矩形的四边形不是平行四边形
2.(2020安徽临泉第一中学高二上期中)已知命题p:?x∈{x|x>1},x2+16>8x,则命题p的否定为( )
A.?p:?x∈{x|x>1},x2+16≤8x
B.?p:?x∈{x|x>1},x2+16<8x
C.?p:?x∈{x|x>1},x2+16≤8x
D.?p:?x∈{x|x>1},x2+16<8x
3.对于命题p:?x∈R,使得x2+x+1<0,则?p是( )
A.?x∈R,x2+x+1≥0
B.?x∈R,x2+x+1≠0
C.?x∈R,x2+x+1>0
D.?x∈R,x2+x+1<0
4.(2020辽宁丹东高一上期末)命题“存在实数m,使关于x的方程x2+mx-1=0有实数根”的否定是( )
A.存在实数m,使关于x的方程x2+mx-1=0无实数根
B.不存在实数m,使关于x的方程x2+mx-1=0有实数根
C.对任意实数m,都能使关于x的方程x2+mx-1=0有实数根
D.至多有一个实数m,使关于x的方程x2+mx-1=0有实数根
5.若命题p:?x∈R,<0,则?p: .?
6.若命题p:?a,b∈R,方程ax2+b=0恰有一解,则?p: .?
题组二 全称量词命题和存在量词命题的否定的真假判断
7.(2020湖南雅礼中学高一10月月考)给出下列四个命题:
①有理数是实数;
②有些平行四边形不是菱形;
③?x∈R,x2-2x>0;
④?x∈R,2x+1为奇数.
以上命题的否定为真命题的是(
)
A.①④
B.②④
C.①②③④
D.③
8.下列命题的否定为假命题的是( )
A.?x∈Z,1<4x<3
B.?x∈Z,5x+1=0
C.?x∈R,x2-1=0
D.?x∈R,x2+3x+2=0
9.已知命题p:?x∈R,x-2>,命题q:?x∈R,x2>0,则( )
A.命题p,q都是假命题
B.命题p,q都是真命题
C.命题p,?q都是真命题
D.命题p,?q都是假命题
10.(多选)对下列命题进行否定,得到的新命题是全称量词命题且为真命题的有( )
A.?x∈R,x2-x+<0
B.所有的正方形都是矩形
C.?x∈R,x2+2x+2≤0
D.至少有一个实数x,使x3+1=0
题组三 全称量词命题和存在量词命题的否定的应用
11.已知p:?1≤x≤4,x-a≥0,q:?x∈R,x2+2x+2-a=0.若命题?p是真命题,且命题q是真命题,则实数a的取值范围是( )
A.a=1
B.a≤1
C.a≥1
D.a>1
12.已知命题p:?x∈R,|x|2-2|x|+m=0.若?p是假命题,求实数m的取值范围.
13.已知命题p:?x∈{x|00},mx2+4x-1≠0.若p是真命题,q是假命题,求实数m的取值范围.
答案全解全析
基础过关练
1.C 命题p:所有的矩形都是平行四边形,?p:存在一个矩形不是平行四边形,故选C.
2.C 在?p中,量词“?”改为“?”,结论“x2+16>8x”改为“x2+16≤8x”,故选C.
3.A 在?p中,量词“?”改为“?”,结论“x2+x+1<0”改为“x2+x+1≥0”,故选A.
4.B 由命题的否定知选B.
5.答案 ?x∈R,>0或x-2=0
6.答案 ?a,b∈R,方程ax2+b=0无解或有两个解
7.D ①“有理数是实数”为真命题,则命题的否定是假命题;
②“有些平行四边形不是菱形”为真命题,则命题的否定是假命题;
③当x=0时,不等式x2-2x>0不成立,
∴“?x∈R,x2-2x>0”为假命题,则命题的否定是真命题;
④“?x∈R,2x+1为奇数”为真命题,则命题的否定是假命题.
故满足条件的命题序号是③,故选D.
名师点睛 本题主要考查命题的否定以及命题的真假判断,先判断原命题的真假是解决本题的关键.
8.D 命题的否定为假命题等价于原命题是真命题,由1<4x<3得9.C 当x=9时,9-2>=3,∴p为真命题.∵?x∈R,x2≥0,∴q是假命题,?q是真命题.故选C.
10.AC 命题的否定是全称量词命题,则原命题为存在量词命题,故排除B选项.命题的否定为真命题,则原命题为假命题.又选项A,C中的命题为假命题,选项D中的命题为真命题,故选AC.
11.D 若p:“?1≤x≤4,x-a≥0”为真命题,则a小于或等于x的最小值,即a≤1,∴当命题?p是真命题时,命题p为假命题,从而a>1.
若q:“?x∈R,x2+2x+2-a=0”为真命题,则Δ=4-4(2-a)≥0,解得a≥1.
∵命题?p是真命题,且命题q是真命题,∴需满足解得a>1,故选D.
12.解析 ∵?p是假命题,∴p是真命题.
也就是?x∈R,使得|x|2-2|x|=-m,即方程|x|2-2|x|=-m有解.
又|x|2-2|x|=(|x|-1)2-1≥-1,当x=±1时等号成立,因此-m≥-1,即m≤1.
∴实数m的取值范围是{m|m≤1}.
13.解析 若p是真命题,则x+m-1<0对于0当0若命题q是假命题,则?q:?x∈{x|x>0},mx2+4x-1=0为真命题.
即关于x的方程mx2+4x-1=0有正实数根.
当m=0时,方程为4x-1=0,有正实数根;
当m≠0时,依题意得Δ=16+4m≥0,即m≥-4.设两个实数根分别为x1,x2.
①当方程有两个正实数根时,x1+x2=->0,且x1x2=->0,解得m<0,此时-4≤m<0;
②当方程有一正一负两个实数根时,x1x2=-<0,解得m>0,此时m>0.
综上所述,m≥-4.
因为p是真命题,q是假命题,所以实数m的取值范围是{m|-4≤m≤0}.
名师点睛 在与全称量词命题、存在量词命题有关的问题中,如果从原来的命题出发解决问题不方便,那么可以先否定原来的命题,再依据补集思想解决原问题.(共17张PPT)
1.5
全称量词与存在量词
1.理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词.
2.能用数学符号表示含有量词的命题并能判断命题的真假.
3.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定,能正确使用全称量词对存在量词
命题进行否定.
4.能够根据数学实例,正确理解含有一个量词的命题与它们的否定在真假上的关
系,能正确地判断含有一个量词命题的真假.
全称量词
全称量词命题
全称量词命题
的真假判断
短语“所有的”“任意一个”
在逻辑中通常叫做① 全称量
词????,并用符号“②?????????”表
示
含有全称量词的命题,叫做全称
量词命题.全称量词命题“对M
中任意一个x,p(x)成立”可用符
号简记为③?????x∈M,p(x)????
全真为真,一假为假
全称量词与全称量词命题
存在量词
存在量词命题
存在量词命题
的真假判断
短语“存在一个”“至少有一
个”在逻辑中通常叫做④ 存
在量词????,并用符号“⑤?????
????”表示
含有存在量词的命题,叫做存在
量词命题.存在量词命题“存在
M中的元素x,p(x)成立”可用符
号简记为⑥?????x∈M,p(x)????
一真为真,全假为假
存在量词与存在量词命题
1.将一个命题的结论换成原来结论的反面,条件不变,得到一个新的命题,这个命题
就是原来命题的否定.如原来的命题为p:若s,则t,则它的否定为?p:⑦ 若s,则?t????.
2.一个命题与它的否定不能同时为真,也不能同时为假,只能是⑧ 一真一假????.
命题的否定
命题的类型
命题的符
号表示
命题的否定
的符号表示
命题的否
定的类型
全称量词
命题
p:?x∈M,
p(x)
?p:⑨?????x∈M,?p(x)
⑩ 存在量词命题????
存在量词
命题
p:?x∈M,
p(x)
?p:??????x∈M,?p(x)
? 全称量词命题????
含量词命题的否定
1.“有些”“有一个”“有的”是存在量词.?( √ )
2.全称量词命题“自然数都是正整数”是真命题.?(????? )
提示:0是自然数,但0不是正整数,因此“自然数都是正整数”是假命题.
3.在全称量词命题和存在量词命题中,量词都可以省略.?(????? )
提示:在存在量词命题中,量词不能省略,有些全称量词命题的量词可以省略.
4.命题p:“?x∈M,p(x)”的否定是“?x∈M,?p(x)”,它们可以同真同假.?
(????? )
5.若命题?p是存在量词命题,则命题p是全称量词命题.?( √ )
提示:由于?p的否定是p,所以p是全称量词命题.
判断正误，正确的画“√”
，错误的画“
?”.
6.用自然语言描述的全称量词命题的否定形式是唯一的.?(????? )
提示:用自然语言描述的全称量词命题的否定形式不唯一,如“所有的菱形都是平
行四边形”,它的否定可以是“并不是所有的菱形都是平行四边形”,也可以是
“有些菱形不是平行四边形”.
全称量词命题、存在量词命题及其否定的真假判断
哥德巴赫猜想是世界三大数学难题之一,是在1742年,由德国中学教师哥德巴
赫在教学中首先发现的.
1742年6月7日,哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉,正式
提出了以下的猜想:
(1)任何一个大于
6的偶数都可以表示成两个质数之和;
(2)任何一个大于9的奇数都可以表示成三个质数之和.
这就是哥德巴赫猜想.
欧拉在回信中说,他相信这个猜想是正确的,但他不能证明.从此,这道数学难题引起
了几乎所有数学家的注意.哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望而不可即
的“明珠”.
中国数学家陈景润于1966年证明:“任何充分大的偶数都是一个质数与两个质数
的乘积的和”,通常这个结果表示为
“1+2”,即陈氏定理,这是目前这个问题的最
佳结果.
科学猜想也是命题.哥德巴赫猜想是一个迄今为止仍然没有得到正面证明也没有
被推翻的命题.
问题
1.哥德巴赫猜想是全称量词命题吗?
提示:含有全称量词“任何”.
2.你能写出哥德巴赫猜想的否定形式吗?
提示:全称量词命题的否定是存在量词命题.
?
1.判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题,关键是看命题中含有的量词是
全称量词还是存在量词.需要注意的是有些全称量词命题的全称量词可以省略不
写.
2.要判定全称量词命题“对任意x∈M,p(x)成立”是真命题,需要对集合M中的每个
元素x,验证p(x)成立.但要判定该命题是假命题,只需举出集合M中的一个x=x0,使p(x
0)不成立即可.要判定存在量词命题“存在x∈M,使p(x)成立”是真命题,只需在集
合M中能找到一个x=x0,使p(x0)成立即可;否则,这一命题就是假命题.
3.全称(存在)量词命题的否定是将其全称量词(存在量词)改为存在量词(全称量词),
并把结论否定.
??
写出下列命题的否定,并判断其真假.
(1)对任意x∈R,x2-x+?≥0;
(2)所有的正方形都是矩形;
(3)至少有一个实数x,使x3+1=0.
思路点拨
变换量词,否定结论.
解析????(1)存在x∈R,x2-x+?<0,假命题.
(2)至少存在一个正方形不是矩形,假命题.
(3)对任意x∈R,x3+1≠0,假命题.
?
在含量词的命题的综合问题中,经常遇到这样两类问题:
(1)由“恒成立”求参数的取值范围;
(2)求“是否存在”的探究题.
以上问题究其实质,就是全称量词命题和存在量词命题的应用,应按全称量词命题
和存在量词命题的真假进行讨论.
常见结论:
1.?x∈R,y=0,等价于方程y=0有实数根;
2.?x∈R,y>0,就是不等式y>0恒成立,等价于ymin>0;
3.?x∈R,y>0,就是不等式y>0有解,等价于ymax>0;
4.?x∈R,y<0,就是不等式y<0恒成立,等价于ymax<0;
5.?x∈R,y<0,就是不等式y<0有解,等价于ymin<0.
含量词的命题及其否定的应用
?
对于命题p的有些问题,正面解决时很难或者很复杂,这时我们可以考虑它的反面,
即把命题p的问题转化成命题?p的问题,从而把问题简化,即“正难则反”的方法,
也就是“补集思想”的应用.
对于命题的否定,要注意一些常见否定词语的使用,下面是常用的正面叙述词语和
它的否定词语.
原词语
等于(=)
小于(<)
有
是
都是
否定词语
不等于(≠)
不小于(≥)
没有
不是
不都是
原词语
至少有一个
至多有一个
至多有n个
否定词语
一个也没有
至少有两个
至少有
(n+1)个
??
已知命题p:?x∈R,x2+2x+a≥0,命题q:?x∈?,x2-a≥0.命题p和命题
q至少有一个为真命题,求实数a的取值范围.
思路点拨
本题若从正面解题需分类讨论,情况较多,所以从结论的反面入手,即考虑p、q均为
假命题的情况,然后求其补集,即补集思想的应用.
解析????若命题p:?x∈R,x2+2x+a≥0为真命题,
则Δ=22-4a≤0,
∴a≥1.
若命题q:?x∈?,x2-a≥0为真命题,
则a≤x2,即a≤(x2)max,
∴a≤?,
∴p,q均为假命题时,?
即?,
其补集为?a?a≤?或a≥1?,
∴p,q至少有一个为真命题时,实数a的取值范围为?.
