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第2章
圆与方程
（考试时间：120分钟
试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．圆心为，半径是的圆标准方程为（
）
A．
B．
C．
D．
2．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
3．设，圆与圆的位置关系不可能是（
）
A．相切
B．相交
C．内切或内含
D．外切或相离
4．已知圆上任意一点M关于直线的对称点N也在圆上.则m的值为（
）
A．1
B．2
C．
D．
5．圆C：被直线截得的最短弦长为（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知圆：与圆内切，点是圆上一动点，则点到直线的距离的最大值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
7．曲线与直线有两个交点时，实数k取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知点为直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋m2＝0所确定的圆的面积不能为（
）
A．π
B．π
C．π
D．2π
10．平行于直线且与圆相切的直线的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知直线：与：相交于?两点，若为钝角三角形，则满足条件的实数的值可能是（
）
A．
B．1
C．2
D．3
12．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆相交，则值可能为（
）
A．0
B．
C．1
D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．过点引圆的切线，则该切线长为_________.
14．已知圆，圆的圆心在轴上，且与的公共弦所在直线的方程为，则圆的方程为___________.
15．已知直线：与直线：相交于点，点是圆上的动点，则的最大值为___________.
16．已知的两条内角平分线所在的直线方程分别为，则的内切圆圆心的坐标为______，圆的方程为_______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知圆C经过A(2，0)，B(8，0)两点，且与y轴的正半轴相切.
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线与圆C交于M，N，求|MN|.
18．（12分）已知圆满足：圆心在直线上，且过圆与圆的交点，.
（1）求弦所在直线的方程；
（2）求圆的方程.
19．（12分）已知圆．
（1）直线l与圆C相交于A，B两点，若直线l过点，且，求直线l的方程；
（2）若存在过点的直线与圆C相交于M，N两点，且，求实数的取值范围．
20．（12分）已知点在圆上运动.
（1）求的最大值；
（2）求的最小值.
21．（12分）已知直线，的方程为.
（1）求证：与相交；
（2）若与的交点为、两点，求的面积最大值.（为坐标原点）
22．（12分）已知圆经过坐标原点，圆心在轴正半轴上，且与直线相切．
（1）求圆的标准方程．
（2）直线：与圆交于，两点．
（i）求的取值范围；
（ii）证明：直线与直线的斜率之和为定值．
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第2章
圆与方程
（考试时间：120分钟
试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．圆心为，半径是的圆标准方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据圆的标准方程即可得结果.
【详解】
解：因为圆的圆心为，半径为2，所以圆的标准方程为，
故选：A.
2．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
由于点在圆的外部，所以，从而可求出的取值范围
【详解】
解：由题意得，解得，
故选：C．
3．设，圆与圆的位置关系不可能是（
）
A．相切
B．相交
C．内切或内含
D．外切或相离
【答案】D
【分析】
计算出两圆圆心距，并与两圆半径和作大小比较，由此可得出结论.
【详解】
两圆的圆心距，两圆的半径之和为，
因为，所以两圆不可能外切或相离．
故选：D．
4．已知圆上任意一点M关于直线的对称点N也在圆上.则m的值为（
）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】B
【分析】
由圆心在直线上得出的值.
【详解】
圆可化为
由题意可知直线经过圆心，即
故选：B
5．圆C：被直线截得的最短弦长为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
由于直线过定点，所以由圆的性质可知当直线与弦垂直时，弦长最短，从而利用弦、弦心距和半径的关系可求得答案
【详解】
直线过定点，圆心，当直线与弦垂直时，弦长最短，，所以最短弦长为，
故选：B．
6．已知圆：与圆内切，点是圆上一动点，则点到直线的距离的最大值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】
根据两圆内切求出的值，利用直线和圆的位置关系即可得出结论
【详解】
解：圆：化为标准方程为，则圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为6，
因为圆：与圆内切，
所以，解得，
因为点到直线的距离为，
所以点到直线的距离的最大值为，
故选：B
7．曲线与直线有两个交点时，实数k取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
曲线即，，表示以为圆心，以2为半径的圆位于直线上方的部分（包含圆与直线的交点C和D），是一个半圆，如图直线过定点，要有2个交点，直线要在,之间，求出两直的斜率可得结果
【详解】
解：曲线即，，表示以为圆心，以2为半径的圆位于直线上方的部分（包含圆与直线的交点C和D），是一个半圆，如图：
直线过定点，设半圆的切线BE的切点为E，
则BC的斜率为．
设切线BE的斜率为，，则切线BE的方程为，根据圆心A到线BE距离等于半径得
，，
由题意可得，∴，
故选：A．
8．已知点为直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
连接，求出可求四边形面积的最小值.
【详解】
连接，则，
又，故
而四边形面积为，
当且仅当时等号成立.
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋m2＝0所确定的圆的面积不能为（
）
A．π
B．π
C．π
D．2π
【答案】ACD
【分析】
先表示出圆的半径r，可求出r的最大值，即可判断.
【详解】
所给圆的半径为
r＝＝．
所以当m＝－1时，半径r取最大值，此时最大面积是．
故选：ACD
10．平行于直线且与圆相切的直线的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】
根据题意设出所求的直线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径即可求出m，得到所求的直线方程.
【详解】
因为所求直线平行于直线，所以可设直线：，
又与圆相切，所以，解得：，
所以所求的直线方程为：或.
故选：AC
11．已知直线：与：相交于?两点，若为钝角三角形，则满足条件的实数的值可能是（
）
A．
B．1
C．2
D．3
【答案】ACD
【分析】
由题意,利用几何分析可得,由此得到,利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离的关于a的函数表达式，代入得到关于a的不等式(组),求解即得.
【详解】
圆的圆心为，半径为，
由于为等腰三角形，若该三角形为钝角三角形，则，
设圆心到直线的距离为，则，
则，
整理可得，
解得，且.
所以.
故选.
12．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆相交，则值可能为（
）
A．0
B．
C．1
D．
【答案】BCD
【分析】
写出已知圆的圆心，再由给定条件探求出圆心到直线距离必小于2方可得解.
【详解】
圆的方程为，圆心为，
由题意可知到的距离应小于2，即，解得，
显然，1，均符合要求.
故选：BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．过点引圆的切线，则该切线长为_________.
【答案】
【分析】
由圆的一般方程可确定圆心和半径，由此可得圆心到点的距离，根据切线长为可求得结果.
【详解】
由圆的方程知其圆心为，半径；
圆心到点的距离，切线长为.
故答案为：.
14．已知圆，圆的圆心在轴上，且与的公共弦所在直线的方程为，则圆的方程为___________.
【答案】
【分析】
本题可设圆的方程为，然后两圆的方程相减，得出公共弦所在直线的方程为，最后根据题意得出，通过计算即可得出结果.
【详解】
设圆的圆心为，半径为，
则圆的方程为，即，
因为圆，
所以与的公共弦所在直线的方程为，
即，
因为与的公共弦所在直线的方程为，
所以，解得，，
故圆的方程为，
故答案为：.
15．已知直线：与直线：相交于点，点是圆上的动点，则的最大值为___________.
【答案】
【分析】
由直线：恒过定点，直线：恒过定点，且，可知在以为直径的圆上，要求的最大值，转化为在上找上一点，使最大，结合圆的性质即可求解
【详解】
解：因为直线：恒过定点，直线：恒过定点，且，
所以两直线的交点在以为直径的圆上，且圆的方程为，
要求的最大值，转化为在上找上一点，在上找一点，使最大，
根据题意可知两圆的圆心距为，
所以的最大值为，
故答案为：
16．已知的两条内角平分线所在的直线方程分别为，则的内切圆圆心的坐标为______，圆的方程为_______．
【答案】
【分析】
（1）根据的内切圆圆心为两条内角角平分线的交点，联立方程即可；
（2）求出点关于直线和的对称点为，，再求出直线的解析式，的内切圆的半径等于圆心到直线的距离，求出半径，进而求出圆的方程.
【详解】
的内切圆圆心为两条内角角平分线的交点，联立方程，得
，
所以的内切圆圆心的坐标为，
点关于直线的对称点为，
设关于直线的对称点为，
则，解得
，所以，
因为直线经过，，所以的方程为
，即，
所以的内切圆的半径等于圆心到直线
的距离，
的内切圆的方程为.
故答案为：；.
【点睛】
求圆的方程，主要有两种方法：
（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知圆C经过A(2，0)，B(8，0)两点，且与y轴的正半轴相切.
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线与圆C交于M，N，求|MN|.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）设圆的标准方程为：,根据已知条件列出方程组求解即可得出结果；
（2）求出圆心到直线的距离，根据，计算即可.
【详解】
(1)设圆的标准方程为：
根据圆C经过A(2，0)，B(8，0)两点，且与y轴的正半轴相切.
，解得：，
圆的标准方程为：.
(2)圆心到直线的距离为
.
所以.
18．（12分）已知圆满足：圆心在直线上，且过圆与圆的交点，.
（1）求弦所在直线的方程；
（2）求圆的方程.
【答案】（1）；（2）圆.
【分析】
（1）利用两圆的方程相减后可得弦所在直线的方程.
（2）利用圆系方程可求圆的方程.
【详解】
（1）因为圆，圆，
且它们的交点为，
故的直线方程为：，
整理得到的直线方程为：.
（2）设圆的方程的方程为：，
整理得到圆，
故，因为在直线上，故，
故，故圆.
19．（12分）已知圆．
（1）直线l与圆C相交于A，B两点，若直线l过点，且，求直线l的方程；
（2）若存在过点的直线与圆C相交于M，N两点，且，求实数的取值范围．
【答案】（1）或.；
（2）.
【分析】
（1）设其方程为，即，根据圆的弦长公式求得，利用点到直线的距离公式，列出方程取得的值，即可求解；
（2）设的坐标为，则点的坐标为，根据点在圆上，联立方程组，得出点在直线上，结合点在圆上，根据圆心到直线的距离，列出不等式，即可求解.
【详解】
（1）当直线的斜率存在时，设其方程为，即，
圆的圆心坐标为，半径为，
设圆心到直线的距离为，
因为，即，解得，
即，解得或，
所以直线的方程为或.
（2）由题意可得点为的中点，
设的坐标为，则点的坐标为，
因为点在圆上，
可得，整理可得，
所以点在直线上，
又由点在圆上，
所以圆心到直线的距离，
即，整理得，
解得，解得或，
所以实数的取值范围是.
20．（12分）已知点在圆上运动.
（1）求的最大值；
（2）求的最小值.
【答案】（1）；
（2）.
【分析】
（1）设，转化为直线，根据圆心到直线的距离等于半径，即可求解；
（2）设，转化为，根据圆心到直线的距离等于半径，即可求解.
【详解】
（1）由题意，点在圆上运动，
设，整理得，则表示点与点连线的斜率，
当该直线与圆相切时，取得最大值和最小值，
又由，解得，所以
所以的最大值为.
（2）设，整理得，
则表示直线在轴上的截距，
当该直线与圆相切时，取得最大值和最小值，
由，解得，所以
所以的最小值为.
21．（12分）已知直线，的方程为.
（1）求证：与相交；
（2）若与的交点为、两点，求的面积最大值.（为坐标原点）
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）由题知直线过定点，且为的圆心，故与相交；
（2）由题知，当直线与直线垂直时，到直线的距离最大，最大值为，进而得答案.
【详解】
解：（1）由题知直线，的标准方程为，
所以直线过定点，为圆的圆心，
所以直线过的圆心，故与相交；
（2）由（1）知直线过圆的圆心，的半径为，
所以，
所以当到直线的距离最大时，的面积取最大值，
故当直线与直线垂直时，到直线的距离最大，最大值为，
所以的面积最大值为
22．（12分）已知圆经过坐标原点，圆心在轴正半轴上，且与直线相切．
（1）求圆的标准方程．
（2）直线：与圆交于，两点．
（i）求的取值范围；
（ii）证明：直线与直线的斜率之和为定值．
【答案】(1)；(2)
；(
ii)证明见解析.
【分析】
(1)设圆心C为，由圆过原点得出半径为a，根据点到线的距离公式求出半径，进而得出圆的标准方程；
(2)把直线方程和圆的方程联立，消y得到关于x的一元二次方程，根据根的判别式大于0解出k的范围，结合韦达定理，根据列出表达式，整理即可.
【详解】
(1)设圆C的圆心C坐标为，其中a>0，
由题意知，，
又圆C与直线3x+4y-8=0相切，则圆心C到此直线的距离为：
，所以，解得a=1或a=-4(舍去)，
所以圆心C为，，
故圆C的标准方程为：；
(2)由(1)，，
因为直线交圆C于点A，B，
所以
()k的取值范围是；
(ii)证明：设，
由韦达定理，得，
又
，
所以直线OA与直线OB的斜率之和为定值1.
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