(共25张PPT)
1.4.1
有理数的乘法
第一章
有理数
第2课时
有理数乘法的运算律及运用
1.4
有理数的乘除法
一、教学目标
1．运用乘法运算律进行有理数的乘法运算．
2．能自主探究乘法交换律、结合律、分配律在有理数运算中的应用．
3．通过观察、思考找到合理解决问题的能力．
重点
难点
有理数的乘法运算律及其应用．
逆用分配律来简化计算．
二、教学重难点
问题引入
1.有理数的乘法法则是什么？
3.小学时候大家学过乘法的哪些运算律？
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.
任何数和零相乘，都得0
乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律
2.如何进行多个有理数的乘法运算？
（1）定号（奇负偶正）
（2）算值（积的绝对值）
第一组：
(2)
(3×4)×0.25＝
3×(4×0.25)＝
(3)
2×(3＋4)＝
2×3＋2×4＝
(1)
2×3＝
3×2＝
思考:上面每小组运算分别体现了什么运算律？
2×3
3×2
(3×4)×0.25
3×(4×0.25)
2×(3＋4)
2×3＋2×4
6
6
3
3
14
14
＝
＝
有理数乘法的运算律
一
合作探究
(3)
5×[3＋(－7
)]＝
5×3＋5×(－7
)＝
5×(－4)
＝
15－35＝
第二组：
(2)
[3×(－4)]×(－
5)＝
3×[(－4)×(－5)]＝
(1)
5×(－6)
＝
(－6
)×5＝
－30
－30
60
60
－20
－20
5×
(－6)
(－6)
×5
[3×(－4)]×(－
5)
3×[(－4)×(－5)]
5×[3＋(－7
)]
5×3＋5×(－7
)
＝
＝
＝
(－12)×(－5)
＝
3×20＝
结论：
(1)第一组式子中数的范围是
________;
(2)第二组式子中数的范围是
________;
(3)比较第一组和第二组中的算式,可以发现
________________________________.
正数
有理数
各运算律在有理数范围内仍然适用
两个数相乘,交换两个因数的位置,积相等.
ab＝ba
三个数相乘,先把前两个数相乘,或先把后两个数相乘,积相等.
(ab)c
＝
a(bc)
1.乘法交换律:
2.乘法结合律:
数的范围已扩充到有理数.
注意:用字母表示乘数时,“×”号可以写成“·”或省略,
如a×b可以写成a·b或ab.
归纳总结
一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加.
3.乘法分配律：
a(b＋c)
ab＋ac
＝
根据乘法交换律和结合律可以推出：
三个以上有理数相乘,可以任意交换因数的位置,也可先把其中的几个数相乘.
根据分配律可以推出：
一个数同几个数的和相乘,等于把这个数分别同这几个数相乘,再把积相加.
a(b＋c＋d
)＝ab＋ac＋ad
典例精析
例1
计算：（－85）×（－25）×（－4）
解：原式＝（－85）×［（－25）×（－4）］
＝（－85）×100
＝－8500
计算：
(－8)×(－12)×(－0.125)×(－
)×(－0.1)
1
3
解：原式=－8×(－0.125)
×(－12)
×(－
)
×(－0.1)
=[－8×(－0.125)]
×[(－12)
×(－
)]
×(－0.1)
=1×4×(－0.1)
=－0.4
针对训练
拓展提升
(
＋
－
)×12
例2 用两种方法计算
1
2
1
6
1
4
解法1:
(
＋
－
)×12
3
12
2
12
6
12
原式＝
1
12
＝－
×12
＝－1
解法2:
原式＝
×12
＋
×12－
×12
1
4
1
6
1
2
＝3＋2－6
＝－1
提示：把
拆分成
.
解：原式=
=
=
=
（1）如何计算
71
×(–9)？
拓展提升
1．(2021·西工大附中月考)几个不等于零的有理数相乘，它们的积的符号( )
A．由因数的个数决定
B．由正因数的个数决定
C．由负因数的个数决定
D．由负因数的大小决定
C
课堂练习
C
2.
D
4.在－3，－4，－8，1这四个数中，任取三个数相乘，其中最大的积是( )
A．96
B．32
C．24
D．－96
【点拨】要想积最大，积一定是正数，则负数应取2个．取绝对值较大的两个负数相乘，再与1相乘即可，即(－4)×(－8)×1＝32.
B
5.已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则必有( )
A．abc＞0
B．a(b－c)＞0
C．(a＋b)c＞0
D．(a－c)b＞0
【点拨】由数轴得a＜－1，0＜b＜1，c＞1，
所以b－c＜0，a＋b＜0，a－c＜0.
所以abc＜0，a(b－c)＞0，(a＋b)c＜0，(a－c)b＜0.
B
6.
若2
020×24=m,则2
020×25的结果可表示为( )
A.m+1
B.m+24
C.m+2
020
D.m+25
3【解析】 2
020×25=2
020×(24+1)
=2
020×24+2
020×1
=2
020×24+2
020,
因为2
020×24=m,
所以2
020×25=
m+2
020.故选C.
C
8.
已知x,y为有理数,规定一种新的运算※,x※y=xy+1.
(1)求2※4的值.
(2)求(1※4)※0的值.
(3)任意选取两个有理数(至少有一个为负数)分别填入□※○与○※□的□与○内,并比较两个运算结果,你能发现什么规律?
(4)设a,b,c为有理数,讨论a※(b+c)与a※b+a※c的关系,并用式子把它表示出来.
【解析】 (1)2※4=2×4+1=9.
(2)1※4=1×4+1=5,
(1※4)※0=5※0=5×0+1=1.
(3)如:选5和-1.(答案不唯一)
-1※5=-1×5+1=-4,
5※(-1)=5×(-1)+1=-4,
发现运算结果相等,即□※○=○※□.
(4)a※(b+c)=a(b+c)+1=ab+ac+1,
a※b+a※c=ab+1+ac+1=ab+ac+2.
所以a※(b+c)+1=a※b+a※c.
乘法
运算律
乘法
交换律
两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变.
ab=ba
乘法
结合律
三个数相乘,先把前两个数相乘,或先把后两个数相乘,积不变.
(ab)c
=
a(bc)
乘法
分配律
一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加.
a(b＋c)=ab+ac
课堂小结(共36张PPT)
1.4
有理数的乘除法
第一章
有理数
第1课时
有理数的乘法法则
1.4.1
有理数的乘法
一、教学目标
1．理解有理数乘法的意义，掌握有理数乘法法则．
2．能准确地进行有理数的乘法运算，培养探索能力．
3．传授知识的同时，注意培养勇于探索新知的精神．
重点
难点
有理数的乘法法则．多个有理数相乘，积的符号的确定．
有理数乘法中的符号法则．多个有理数的乘法．
二、教学重难点
情境引入
甲水库的水位每天升高3厘米，乙水库的水位每天下降3厘米，4天后甲、乙水库的水位的总变化量各是多少？
甲水库
第一天
乙水库
第二天
第三天
第四天
第一天
第二天
第三天
第四天
如图,一只蜗牛沿直线
l爬行，它现在的位置在l上的点Ｏ．
l
Ｏ
1.如果一只蜗牛向右爬行2cm记为+2cm，那么向左爬行2cm应该记为
.
2.如果3分钟以后记为+3分钟，那么3分钟以前应该记为
.
-2cm
-3分钟
有理数的乘法运算
一
合作探究
1.如果蜗牛一直以每分钟2cm的速度向右爬行，3分钟后它在什么位置？
2.如果蜗牛一直以每分钟2cm的速度向左爬行，3分钟后它在什么位置？
3.如果蜗牛一直以每分钟2cm的速度向右爬行，3分钟前它在什么位置？
4.如果蜗牛一直以每分钟2cm的速度向左爬行，3分钟前它在什么位置？
5.原地不动或运动了零次，结果是什么？
规定：向左为负，向右为正．
现在以前为负，现在以后为正．
为了区分方向与时间，
【思考】
探究1
2
0
2
6
4
l
结果：3分钟后在l上点Ｏ
边
cm处
表示：
.
右
6
（+2）×（+3）=
6
（1）
（1）如果蜗牛一直以每分钟２
cm的速度向右爬行，３分钟后它在什么位置？
（２）如果蜗牛一直以每分钟２
cm的速度向左爬行，３分钟后它在什么位置？
探究2
-6
-4
0
-2
2
l
结果：3分钟后在l上点Ｏ
边
cm处
左
6
表示：
.
（-2）×（+3）＝
（2）
－６
（３）如果蜗牛一直以每分钟２
cm的速度向右爬行，３分钟前它在什么位置？
探究3
2
-6
-4
0
-2
2
l
结果：3分钟前在l上点Ｏ
边
cm处
表示：
.
（+2）×（-3）＝
－６
左
6
（３）
（４）如果蜗牛一直以每分钟２
cm的速度向左爬行，３分钟前它在什么位置？
探究4
2
0
2
6
4
-2
l
结果：3钟分前在l上点Ｏ
边
cm处
右
6
表示：
.
（-2）×（-3）＝
（4）
＋６
答：结果都是仍在原处，即结果都是
，
若用式子表达：
探究5
（5）原地不动或运动了零次，结果是什么？
0×3=0；0×(－3)=0；
2×0=0；(－2)×0=0．
0
Ｏ
4.零与任何数相乘或任何数与零相乘结果是
.
1.正数乘正数积为＿＿数;负数乘负数积为＿＿数;
2.负数乘正数积为＿＿数;正数乘负数积为＿＿数;
3.乘积的绝对值等于各乘数绝对值的＿＿.
正
正
负
负
积
(同号得正)
(异号得负)
零
根据上面结果可知：
（＋２）×（＋３）＝＋６ （－２）×（－３）＝＋６
（－２）×（＋３）＝－６ （＋２）×（－３）＝－６
2×0＝0
(－2)×0＝0
6.
有理数相乘，当因数中有带分数时，应先把带分数化为假分数再相乘；当因数中既有分数又有小数时，统一化为小数或分数，再相乘.
7.任何数同1相乘都等于它本身，
任何数同-1相乘都等于它的相反数.
有理数乘法法则
1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.
2.任何数同0相乘，都得0.
讨论:
(1)若a＜0,b＞0,则ab
0
;
(2)若a＜0,b＜0,则ab
0
;
(3)若ab＞0,则a、b应满足什么条件？
(4)若ab＜0,则a、b应满足什么条件？
＜
＞
a、b同号
a、b异号
=
?(5×4)
=
+（5×4）
例1
计算：
（1）8×6
；
（2）(?8)×6
；
（2）5
×(–4)；
（4）(–5)×(–4).
解：（1）8×6
（2）
(?8)×6
=
+(8×6)
=
?(8×6)
=
48；
=
?
48；
=
20；
有理数乘法的求解步骤:
先确定积的符号
再确定积的绝对值
=
?20；
典例精析
（3）5×（–4）
（4）(–5)×(–4)
两个数相乘的乘法法则的应用
判断下列各式的积是正的还是负的？
3×4×5×（-6）
3×4×（-5）×（-6）
3×(-4)×(-5)×(-6)
(-3)×(-4)×(-5)×(-6)
7.8×(-8.1)×0×(-19.6)
负
正
负
正
零
思考：几个有理数相乘，因数都不为
0
时，积的符号怎样确定？
有一因数为
0
时，积是多少？
议一议
多个数相乘的符号法则
几个不等于零的数相乘，积的符号由_____________决定.
当负因数有_____个时，积为负；
当负因数有_____个时，积为正.
要点归纳：
几个数相乘,如果其中有因数为0，_________
负因数的个数
奇数
偶数
积等于0
｝
奇负偶正
例2
计算：
解：(1)原式
(2)原式
先确定积的符号
再确定积的绝对值
计算并观察结果有何特点？
（1）
×2； （2）(-0.25)×(-4)
要点:有理数中，乘积是1的两个数互为倒数.
思考：数a(a≠0)的倒数是什么?
(a≠0时,a的倒数是
)
倒数
二
注意：倒数是两个数之间的一种关系，其中一个数叫做另一个数的倒数，单独一个数不能称其为倒数.
表示方法
符号
性质
特殊数0
倒数
相反数
互为倒数与互为相反数的区别
相同
积为1
没有倒数
a
+(–a)=0
相异
和为0
相反数是自己
求一个数的倒数的方法
1.求非零整数α的倒数，是用这个数作分母，1作分子的分数，例如，3的倒数是：
；
2.求分数
（
）的倒数，就是把这个分数的分子和分母交换位置，例如，
3.求带分数的倒数，先把带分数化成假分数，在交换分子和分母的位置，例如，
所以
4.求小数的倒数，先把小数化成分数，在求其倒数。
例如，
小结
1.根据有理数乘法法则中“同号得正”可知互为倒数的两个数的符号相同，即正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数.
2.倒数等于它本身的数是±1.
说出下列各数的倒数.
1，
–1，
，
，
5，
–5，
0.75，
.
1，
–1，
3，
–3，
.
练一练
例3
抽查10袋盐的质量,每袋盐的标准质量都是400
g,超出部分记为正,不足部分记为负,统计结果如下表:
?
问:这10袋盐的总质量是多少?
【解析】 2×1+3×(-0.5)+3×0+1×1.5+1×(-1)=2-1.5+0+1.5-1=1(g),
400×10+1=4
001(g).
答:这10袋盐的总质量是4
001
g.
盐的袋数
2
3
3
1
1
每袋质量与标准质量的差/g
+1
-0.5
0
+1.5
-1
三
有理数的乘法的应用
【教材P26习题T9变式】刘亮的妈妈每天早上要送新鲜蔬菜到市场去卖，下表是一周送出的20筐新鲜蔬菜的质量记录(每筐以25
kg为标准质量，单位：kg)：
求一周送出的20筐新鲜蔬菜的总质量．
筐数
2
5
3
4
2
4
与标准质量相比
－0.8
＋0.6
－0.5
＋0.4
＋0.5
－0.3
练一练
解：20×25＋2×(－0.8)＋5×0.6＋3×(－0.5)＋4×0.4＋2×0.5＋4×(－0.3)＝500－1.6＋3－1.5＋1.6＋1－1.2＝501.3(kg)．
答：一周送出的20筐新鲜蔬菜的总质量是501.3
kg.
1.
[2020贵州贵阳中考]计算(-3)×2的结果是
( )
A.-6
B.-1
C.1
D.6
【解析】 (-3)×2=-(3×2)=-6.故选A.
2.
[2021北京海淀区期中]如果两个数的积为负数,和也为负数,那么这两个数
( )
A.都是负数
B.都是正数
C.一正一负,且负数的绝对值大
D.一正一负,且正数的绝对值大
【解析】 因为两个数的积为负数,所以这两个数异号,即一个是正数,一个是负数,又这两个数的和为负数,所以这两个数中负数的绝对值较大.故选C.
A
C
当堂练习
3.
[2021江苏南京建邺区期中]规定:水位上升为正,水位下降为负;几天后为正,几天前为负.若水位每天下降4
cm,今天的水位记为0
cm,则3天前的水位用算式表示正确的是
( )
A.(+4)×(+3)
B.(+4)×(-3)
C.(-4)×(+3)
D.(-4)×(-3)
8.D
D
4.四个有理数相乘，积的符号是负号，则这四个有理数中，正数的个数是( )
A．1个或3个
B．1个或2个
C．2个或4个
D．3个或4个
A
6．(2020·枣庄)有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是( )
A．|a|＜1
B．ab＞0
C．a＋b＞0
D．1－a＞1
【点拨】A.|a|＞1，故本选项错误；B.因为a＜0，b＞0，所以ab＜0，故本选项错误；C.a＋b＜0，故本选项错误；D.因为a＜0，所以1－a＞1，故本选项正确．【答案】D
D
7.下列说法中，正确的是( )
①两个正数中倒数大的反而小；
②两个负数中倒数大的反而小；
③两个有理数中倒数大的反而小；
④两个符号相同的有理数中倒数大的反而小．
A．①②④
B．①
C．①②③
D．①④
错解：C,诊断：只要两个数同号，那么倒数大的反而小，未限定符号时，不能说哪个大．正解：A
A
8.
如图,按以下规律,在第4个正方形内填入的数是 .?
5.21【解析】 观察题图,可知正方形内的数是它的四个角上的数的乘积,
则第4个正方形内填入的数是(-1)×(-5)×(-6)×(-7)=210.
210
－162
5.21【解析】 第一输入（-2）×（-3）=6绝对值小于100不成立重新输入。
第二次6×（-3）=-18绝对值小于100不成立重新输入。
第三次输入（-18）×（-3）=54绝对值小于100
不成立重新输入。
第四次输入54×（-3）=-162绝对值大于100成立。
-162
10．计算：
(1)(－4)×(－8)－(－5)×|－7|；
解：原式＝(－4)×(－8)－(－5)×7＝32＋35＝67；
12．我们定义a△b＝4ab－(a＋b)，其中符号“△”是我们规定的一种运算符号．例如：6△2＝4×6×2－(6＋2)＝48－8＝40.计算下列各式：
(1)(－4)△(－2)；
(2)(－1)△2.
解：(－4)△(－2)＝4×(－4)×(－2)－(－4－2)＝32＋6＝38；
(－1)△2＝4×(－1)×2－(－1＋2)＝－8－1＝－9.
1.有理数乘法法则:
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0.
2.几个不是零的数相乘，负因数的个数为
奇数时积为负数
偶数时积为正数
课堂小结
3.几个数相乘若有因数为零则积为零.
4.有理数乘法的求解步骤：
有理数相乘，先确定积的符号，再确定积的绝对值.
5.乘积是1的两个数互为倒数.
