1.3.2函数的极值与导数 课件（共19张ppt）-2021-2022学年高二数学人教A版选修2-2第一章

(共19张PPT)
观察图象中，点a和点b处的函数值与它们附近点的函数值有什么的大小关系？
一
极值的定义
点a叫做函数y=f(x)的极小值点，函数值f（a）称为函数y=f(x)的极小值，
点b叫做函数y=f(x)的极大值点，函数值f（b）称为函数y=f(x)的极大值
。
极大值点极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值
注：极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值。
观察函数y=f(x)的图像
探究
1、图中有哪些极值点？极值点唯一吗？
2、极大值一定比极小值大么？
C
函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。
结论:极值点处导数值为0
C
探究3：函数y=f(x)在极值点的导数值为多少?在极值点两侧的导数符号有什么规律？
演示
探究:极值点两侧导数符号有何规律?
f
?(x)<0
y
x
O
x1
a
b
y=f(x)
极大值点两侧
极小值点两侧
f
?(x)<0
f
?(x)>0
f
?(x)>0
x2
f
?(x)<0
y
x
O
x1
a
b
y=f(x)
极大值点两侧
极小值点两侧
f
?(x)<0
f
?(x)>0
f
?(x)>0
探究:极值点两侧导数正负符号有何规律?
x2
x
Xx2
X>x2
f?(x)
f(x)
x
Xx1
X>x1
f?(x)
f(x)
增
f?(x)
>0
f?(x)
=0
f?(x)
<0
极大值
减
f?(x)
<0
f?(x)
=0
增
减
极小值
f?(x)
>0
注意:(1)
f?(x0)
=0，
x0不一定是极值点
(2)只有f?(x0)
=0且x0两侧单调性不同
，
x0才是极值点.
(3)求极值点，可以先求f?(x0)
=0的点，再列表判断单调性
结论：极值点处，f?(x)
=0
练习：
下图是导函数
的图象,
试找出函数
的极值点,
并指出哪些是极大值点,
哪些是极小值点.
a
b
x
y
x1
O
x2
x3
x4
x5
x6
探究4:导数值为0的点一定是函数的极值点吗？
思考
(1)导数为0的点一定是
函数的极值点吗？
例如：f(x)=x3
f
’(x)=3x2≥0
f
’(0)=3×02=0
x
x<0
X=0
X>0
f
’(x)
+
0
+
f(x)
o
x
y
Y=x3
+
+
若f(x0)
是极值，则f
’(x0)=0。
反之，
f
’(x0)=0，f(x0)不一定是极值
y=f(x)在一点的导数为0是函数y=f(x)在这点取得极值的
必要条件。
因为
所以
例1
求函数
的极值.
解:
令
解得
或
当
,
即
,
或
;
当
,
即
.
当
x
变化时,
f
(x)
的变化情况如下表:
x
(–∞,
–2)
–2
(–2,
2)
2
(
2,
+∞)
0
0
f
(x)
–
+
+
单调递增
单调递减
单调递增
所以,
当
x
=
–2
时,
f
(x)有极大值
28
/
3
;
当
x
=
2
时,
f
(x)有极小值
–
4
/
3
.
例题4图像
-2
o
x
y
2
+
-
-
+
28/3
-4/3
f(x)=1/3
x3-4x+4
(1)确定函数的定义域，求导数
(2)求方程
的根
(3)用方程
的根，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.
(4)检查
在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值。
f
?(x)
f
?(x)=0
f
?(x)=0
f
?(x)
求解函数极值的一般步骤
练习2
求下列函数的极值:
解:
令
解得
列表:
x
0
f
(x)
+
单调递增
单调递减
–
所以,
当
时,
f
(x)有极小值
思考：已知函数
在
处取得极值。
（1）求函数
的解析式
（2）求函数
的单调区间
(3)求函数
f(x)
的最值
直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是________．
解析：令f′(x)＝3x2－3＝0，
得x＝±1，
可求得f(x)的极大值为f(－1)＝2，
极小值为f(1)＝－2，
如图所示，－2答案：(－2,2
)
归纳小结
1、极值的定义。
2、判定极值的方法。
３、求极值的步骤。
思想方法总结：
观察、转化、数形结合。