9.3.2 等比数列的前n项和-湘教版数学必修4教案
文档属性
| 名称 | 9.3.2 等比数列的前n项和-湘教版数学必修4教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 132.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-29 12:25:08 | ||
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2.5等比数列的前n项和
一、教学目标：
知识与技能目标：理解用错位相减法推导等比数列前项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式.
过程与方法目标: 在推导公式的过程中渗透数学思想、方法，优化学生思维品质．
情感、态度与价值目标：通过学生自主探索公式，激发他们的求知欲，体验错位相减法所折射出的数学方法美.
二、教学重点、难点
重点：等比数列的前n项和公式的推导和公式的简单应用．
难点：错位相减法的生成和等比数列前项和公式的运用
三、教学模式与教法、学法
教学模式 ：本课采用“探究——发现”教学模式．
教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．
“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.
“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.
学法：突出探究、发现与交流．
四、教学过程分析
（一）教学环节
.
下面，我就重点介绍一下我的教学过程
五、教学过程
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
复习旧知识，引入新知
归纳抽象形成概念
比较分析，深化认识
一、温故知新，提出问题
问题1.贷款问题。下面我们先来推导等比数列的前n项和公式。
1、创设学习情境。
2、激发学生学习的兴趣。
由复习引入，通过数学知识的内部发现问题。
二、知识探究：
探究1：如何求和:
公式的推导方法一：
一般地，设等比数列
它的前n项和是
由
得
∴当时， ① 或 ②
当q=1时，
公式的推导方法二：
有等比数列的定义，
根据等比的性质，有
即（结论同上）
围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．
公式的推导方法三：
＝
＝＝
（结论同上）
等比数列的前n项和公式：
当时， ①
或 ②
当q=1时，
思考：什么时候用公式（1）、什么时候用公式（2）？
（当已知a1, q, n 时用公式①；当已知a1, q, an时，用公式②.）
解决问题；有了等比数列的前n项和公式，就可以解决刚才的问题。
引导学生回忆：等差数列求和的重要方法是倒序相加法，剖析倒序相加法的本质即整体设元，构造等式，利用方程的思想化繁为简，把不易求和的问题转化为易于求和的问题．从而得出求和的实质是减少了项.同时又引导学生思考现在用这种方法还行吗？若不行，那该怎样简化运算？能否类比倒序相加的本质，根据等比数列项之间的特点，也构造一个式子，通过两式运算来解决问题？ 从而引发学生的思考、讨论.这就是学生在讨论这个问题的一个片段。
设计的意图：等比数列前n项和的公式推导关键是变“加”为“减”，在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿下功夫，让学生经过思考讨论、教师引导类比倒序相加求和，运用数学中重要的转化思想，通过构造法发现上述解法.
在探究一的基础上，我再顺势引导学生将问题一般化，类比联想解决问题.
教师和学生一起分析式子的结构特征并强调该求和公式中有5个量，知3求2的方程思想.
设计的意图是：营造一个让学生主动观察、思考、讨论的氛围.在教师的指导下，一方面让学生经历从特殊到一般，从已知到未知，步步深入的过程，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感．另一方面学生的错误教师不忙指出，让学生体验：自己推导出公式（不完整）──公式应用──得出矛盾──完整公式这个过程，让学生在矛盾中感悟，在参与和笑声中牢牢地记住了公式，从而掌握公式的本质.
在推出公式后，我又抛出了一个问题.
培养学生分析，抽象能力、感受等比数列发现和推导过程。
培养学生善于联想，体会知识间的内在联系，从而加深对等差数列及其性质的理解。
四、性质应用、讲练结合
例1：求下列等比数列前8项的和．
（1），，，…
（2）
解：由a1=，得
例2：某商场第一年销售计算机5000台，如果平均每年的售价比上一年增加10％，那么从第一年起，约几年内可使总销售量达到30000台（保留到个位）？
解：根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同，所以从第一年起，每年的销售量组成一个等比数列{an},其中
a1=5000, 于是得到
整理得两边取对数,得
用计算器算得(年).
答:约5年内可以使总销售量达到30000台.
引导学生共同分析解决问题，熟悉并强化公式的理解和应用。
使同学能够熟练灵活的运用公式，能运用公式。
设计目的在于深化学生对公式的再认识和理解，通过直接套用公式、变式运用公式、进一步渗透求和公式中五个量知三求二的方程思想，促进学生新的数学认知结构的形成，而一题多解，培养学生的发散性思维．通过以上形式，让全体学生都参与教学，使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动求索，从而有利于提高思维的灵活性和梯度以此培养学生的参与意识和竞争意识．
课堂练习
1.
2.
引导学生通过自主分析思考、合作交流解决问题，培养良好的学习习惯和能力。
五、课堂小结：
1.等比数列求和公式：
当q=1时，；当时，
当时，
2.思想方法；分类讨论、方程、转化与化归等.错位相减法 引导学生学会自己总结，让学生进一步体会知识的形成、发展、完善的过程.
课后作业
1.课本P61习题2.5
A 组 第1、2题
2. 配套练习 学生课后完成.
进一步对所学知识巩固深化。
板书设 计 等比数列前n项和公式的推导与应用
等比数列的前n项和公式?
情境问题的推导 一般情形的推导? 例1
练习：(学生板演) 例2
练习：(学生板演)
.
一、教学目标：
知识与技能目标：理解用错位相减法推导等比数列前项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式.
过程与方法目标: 在推导公式的过程中渗透数学思想、方法，优化学生思维品质．
情感、态度与价值目标：通过学生自主探索公式，激发他们的求知欲，体验错位相减法所折射出的数学方法美.
二、教学重点、难点
重点：等比数列的前n项和公式的推导和公式的简单应用．
难点：错位相减法的生成和等比数列前项和公式的运用
三、教学模式与教法、学法
教学模式 ：本课采用“探究——发现”教学模式．
教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．
“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.
“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.
学法：突出探究、发现与交流．
四、教学过程分析
（一）教学环节
.
下面，我就重点介绍一下我的教学过程
五、教学过程
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
复习旧知识，引入新知
归纳抽象形成概念
比较分析，深化认识
一、温故知新，提出问题
问题1.贷款问题。下面我们先来推导等比数列的前n项和公式。
1、创设学习情境。
2、激发学生学习的兴趣。
由复习引入，通过数学知识的内部发现问题。
二、知识探究：
探究1：如何求和:
公式的推导方法一：
一般地，设等比数列
它的前n项和是
由
得
∴当时， ① 或 ②
当q=1时，
公式的推导方法二：
有等比数列的定义，
根据等比的性质，有
即（结论同上）
围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．
公式的推导方法三：
＝
＝＝
（结论同上）
等比数列的前n项和公式：
当时， ①
或 ②
当q=1时，
思考：什么时候用公式（1）、什么时候用公式（2）？
（当已知a1, q, n 时用公式①；当已知a1, q, an时，用公式②.）
解决问题；有了等比数列的前n项和公式，就可以解决刚才的问题。
引导学生回忆：等差数列求和的重要方法是倒序相加法，剖析倒序相加法的本质即整体设元，构造等式，利用方程的思想化繁为简，把不易求和的问题转化为易于求和的问题．从而得出求和的实质是减少了项.同时又引导学生思考现在用这种方法还行吗？若不行，那该怎样简化运算？能否类比倒序相加的本质，根据等比数列项之间的特点，也构造一个式子，通过两式运算来解决问题？ 从而引发学生的思考、讨论.这就是学生在讨论这个问题的一个片段。
设计的意图：等比数列前n项和的公式推导关键是变“加”为“减”，在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿下功夫，让学生经过思考讨论、教师引导类比倒序相加求和，运用数学中重要的转化思想，通过构造法发现上述解法.
在探究一的基础上，我再顺势引导学生将问题一般化，类比联想解决问题.
教师和学生一起分析式子的结构特征并强调该求和公式中有5个量，知3求2的方程思想.
设计的意图是：营造一个让学生主动观察、思考、讨论的氛围.在教师的指导下，一方面让学生经历从特殊到一般，从已知到未知，步步深入的过程，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感．另一方面学生的错误教师不忙指出，让学生体验：自己推导出公式（不完整）──公式应用──得出矛盾──完整公式这个过程，让学生在矛盾中感悟，在参与和笑声中牢牢地记住了公式，从而掌握公式的本质.
在推出公式后，我又抛出了一个问题.
培养学生分析，抽象能力、感受等比数列发现和推导过程。
培养学生善于联想，体会知识间的内在联系，从而加深对等差数列及其性质的理解。
四、性质应用、讲练结合
例1：求下列等比数列前8项的和．
（1），，，…
（2）
解：由a1=，得
例2：某商场第一年销售计算机5000台，如果平均每年的售价比上一年增加10％，那么从第一年起，约几年内可使总销售量达到30000台（保留到个位）？
解：根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同，所以从第一年起，每年的销售量组成一个等比数列{an},其中
a1=5000, 于是得到
整理得两边取对数,得
用计算器算得(年).
答:约5年内可以使总销售量达到30000台.
引导学生共同分析解决问题，熟悉并强化公式的理解和应用。
使同学能够熟练灵活的运用公式，能运用公式。
设计目的在于深化学生对公式的再认识和理解，通过直接套用公式、变式运用公式、进一步渗透求和公式中五个量知三求二的方程思想，促进学生新的数学认知结构的形成，而一题多解，培养学生的发散性思维．通过以上形式，让全体学生都参与教学，使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动求索，从而有利于提高思维的灵活性和梯度以此培养学生的参与意识和竞争意识．
课堂练习
1.
2.
引导学生通过自主分析思考、合作交流解决问题，培养良好的学习习惯和能力。
五、课堂小结：
1.等比数列求和公式：
当q=1时，；当时，
当时，
2.思想方法；分类讨论、方程、转化与化归等.错位相减法 引导学生学会自己总结，让学生进一步体会知识的形成、发展、完善的过程.
课后作业
1.课本P61习题2.5
A 组 第1、2题
2. 配套练习 学生课后完成.
进一步对所学知识巩固深化。
板书设 计 等比数列前n项和公式的推导与应用
等比数列的前n项和公式?
情境问题的推导 一般情形的推导? 例1
练习：(学生板演) 例2
练习：(学生板演)
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