10.2一元二次不等式_教案-湘教版数学必修4

一元二次不等式
【教学目标】
知识目标：熟练掌握一元二次不等式的解法；
理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数之间的关系。
能力目标：培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力。
情感目标：在自主探究与讨论交流过程中，培养学生的合作意识和创新精神。
【教学重点】
一元二次不等式的解法。
【教学难点】
一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。
【教学分析】
在学习一元二次不等式之前，学生已经学过不等关系、不等式和不等式的解法等知识，接下来的任务是继续学习不等式的解法——一元二次不等式的解法。此节是对于后面的线性规划的学习有重要影响，是理解一元二次方程的根和一元二次不等式解集关系的基础。是培养同学函数与方程思想的重要组成，是数形结合思想的深入学习。学习此节后可以掌握一元二次不等式的解法、
教学内容简析
（1）一元一次方程根与一元一次不等式解集的关系。
（2）一元二次方程根与一元二次不等式解集的关系。
（3）一元二次不等式的解法以及步骤。
【教学过程】
（一）引入新课。
问题1：画出一次函数y=2x-7的图像，填空：2x-7=0的解是。不等式2x-7>0的解集是。不等式2x-7<0的解集是。
请同学们注意，一元一次方程、一元一次不等式和一元一次函数有什么关系？（“三个一次”关系）。
从上面的特殊情形引导学生发现一般的结论。
2905125112395一般地，设直线y=ax+b与x轴的交点是（x0，0），就有如下结果。
一元一次方程ax+b=0的解集是{x|x=x0}
一元一次不等式ax+b>0（<0）解集
（1）当a>0时，一元一次不等式ax+b>0的解集是{x|x>x0}；
一元一次不等式ax+b<0解集是{x|x （2）当a<0时，一元一次不等式ax+b>0解集是{x|x 一元一次不等式ax+b<0解集是{x|x>x0}。
问题2：二次函数y=ax2+bx+c（x∈R）的部分对应值如下表：
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
6
0
-4
-6
-6
-4
0
6
则ax2+bx+c>0解集是。
引导学生运用解决问题1的方法，画出二次函数y=ax2+bx+c的图象求解。并请学生说出不等式ax2+bx+c<0的解集和方程ax2+bx+c=0的解集，同时注意一元二次方程、一元二次不等式和二次函数有什么关系？（“三个二次”关系）。
（二）讲授新课。
1．问题2的解决表明，一元二次不等式的解集可以画出对应二次函数的图象写出。
请同学们解下面两组题：
题组1
（1）解不等式2x2-3x-2>0
（2）解不等式-3x2+6x>2
学生根据问题2的方法画图求解，巡回指导，提醒学生注意掌握画二次函数图象的要领和方法。
题组2
（1）解不等式4x2-4x+1>0
（2）解不等式-x2+2x-2>0
学生不难想到，这两题的方法和上面完全相同，教师在巡回指导中及时提醒学生注意和上面两题的不同，由图像写出解集是难点，必要时教师在黑板上画出图像给予一定的提示或讲解。
2．至此我们掌握了用图像法来解一元二次不等式。当然我们可以仿照前面探讨“三个一次”关系的做法来探讨这里“三个二次”的关系。
引导学生分三种情况（△＞0，△＜0，△＝0）讨论一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）与ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集。
-113030189865三个二次
三个二次
-44450-3810687070-4445△
△
△>0
-68580389890x1= x2
x1= x2
△=0
△<0
y=ax2+bx+c（a>0）
图像
-6985077470x1
x2
x1
x2
17145182245
ax2+bx+c=0（a>0）根
x=x1或x=x2
x1=x2=
无解
ax2+bx+c>0（a>0）
解集
{x|xx2}
{x|x≠}
R
ax2+bx+c<0（a>0）
解集
{x|x1φ
φ
思考：若a＜0，则一元二次不等式ax2+bx+c＞0与ax2+bx+c＜0的解集又将如何？课后仿上表给出。
3．由上面的例题和总结我们发现，一元二次不等式的解集其实就和二次项系数、二次方程的根以及不等号有关，进一步引导学生总结解一元二次不等式的一般步骤：先把二次项系数化成正数，再解对应二次方程，最后根据方程的根的情况，结合不等号的方向写出解集（可称为“三步曲”法）。
【作业布置】
1．“三个二次”关系。
2．一元二次不等式的两种解法----图像法和“三步曲”法。
【教学反思】
课堂中学生可能提出的意外问题设想：
1．学生可能提出的问题：不等式（x+2）（x-3）＜0能不能转化为不等式组{或{求解？
2．学生在解题中可能出现的问题：把不等式（x-1）（x+2）＞1转化为{去解。
【教学设计】
本节课的所有内容以题组的形式展现给学生，学生始终在解题中探究，在解题中发现，学生参与教学的全过程，成为课堂教学的主体和学习的主人，而教师时刻关注学生的活动过程，不时给予引导，及时纠偏。
复习引入的问题1是学生已经熟知的一元一次不等式、一元一次方程及一次函数既“三个一次”的关系问题，旨在为后面探讨“三个二次”的关系提供方法和思路。问题2是课本中的材料，以高考题的形式出现可以引起学生更大的关注和兴趣。教材中的四个例题让学生完全按照解决问题2的方法自己去解，教师只在必要的时候提醒学生应该注意的问题，或学生遇到困难时给予引导。完成四道例题后，学生对一般一元二次不等式的解法和“三个二次”的关系已经有一定的理解，然后由特殊到一般，引导学生总结规律，形成一般结论。最后学生再利用自己的总结去完成课堂练习，刚刚形成的方法与结论可以进一步巩固和深化。例题、练习和作业的设置由浅入深，并且补充部分题目照顾各个层次的学生。
一元二次不等式的求解过程，也是函数与方程、数形结合、分类讨论及类比等数学思想方法的综合应用过程，在教学中提醒学生注意深刻体会，也在补充题目中逐步加以渗透。