北京市101中学2011-2012学年高二下学期期中考试数学试卷（文科）

北京市101中学2011-2012学年下学期高二年级期中考试数学试卷（文科）
考试时间：100分钟 试卷满分：120分
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知全集，，，则集合（ ）
A. B. C. D.
2. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知幂函数的图象过点，则（ ）
A. B. C. D.
4. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 函数在一点的导数值为是函数在这点取极值的（ ）
A. 充分条件 B. 必要非充分条件 C. 充分非必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 函数的递增区间是（ ）
A. B. C. D.
8. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（ ）
A. 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B. 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C. 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D. 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
9. 函数的图象大致为（ ）
10. 设，用二分法求方程内近似解的过程中得则方程的根落在区间（ ）
A. ， B. ， C. ， D. 不能确定
11. 设函数，则关于的方程恰有三个不同实数解的充要条件是（ ）
A. B. C. D.
12. 定义在上的函数满足，且，则（ ）
A. B. C. D. 1
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
13. 已知函数，若为奇函数，则=__________。
14. 曲线y=x3过点（1,1）的切线方程为 或 。
15. 命题“对任意的”的否定是 。
16. 函数的单调递减区间是 。
17. 是R上的偶函数，，在，则 。
18. 已知函数若，则实数的取值范围是 。
三、解答题：本大题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19. 已知二次函数经过点。
（1）求的解析式；
（2）当时，求的最小值。
20. 已知函数。
（Ⅰ）求函数的单调区间与极值；
（Ⅱ）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围。
21. 水库的蓄水量随时间而变化，现用表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于的近似函数关系式为
（Ⅰ）该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期。以表示第月份（），同一年内哪几个月份是枯水期？
（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取计算）。
22. 已知函数，，的最小值恰好是方程的三个根，其中。
（1）求证：；
（2）设，是函数的两个极值点。若，求函数的解析式。
【试题答案】
一、选择题
1-5 CCBBC 6-10 DACAA 11-12 CA
二、填空题
13. 14. 15. 存在
16. 17. 1 18.
三、简答题
19.
20. 解：（Ⅰ）由，
可得。
令，解得。
因为当或时，；当时，，
所以的单调递增区间是和，
单调递减区间是。
又，，
所以当时，函数有极大值；
当时，函数有极小值。
（Ⅱ）。
由已知对于任意恒成立，
所以对于任意恒成立，
即 对于任意恒成立。
因为，所以（当且仅当时取“=”号）。
所以的最小值为2。
由，得，
所以恒成立时，实数的取值范围是。
21. 解：（Ⅰ）①当时，，化简得,
解得，或，又，故。
②当时，，化简得,
解得，又,故。
综合得,或；
故知枯水期为1月，2月，3月，4月，11月，12月共6个月。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：的最大值只能在（4，10）内达到。
由
令，解得（舍去）。
当变化时，与的变化情况如下表：
（4,8） 8 （8,10）
＋ 0 －
↗ 极大值 ↘
由上表，在t＝8时取得最大值（亿立方米）。
故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米
22. 解：（1）三个函数的最小值依次为，，，由，得
∴
，
故方程的两根是，。
故，。
，即 ∴。
（2）①依题意是方程的根，故有，，
且△，得。
由
；得，，。
由（1）知，故，
∴ ， ∴。