2021-2022学年北师大版八年级数学上册1.3勾股定理的应用同步课时训练（辽宁地区专用，Word版，附答案解析）

同步课时训练-2021-2022学年八年级数学北师大版上册 (辽宁地区专用)
1.3勾股定理的应用
一、单选题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．本题共8个小题）
1．从电线杆离地面8米处拉一根长为10m的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有( )m．
A．2 B．4 C．6 D．8
2．将根24cm的筷子置于底面直径为15cm，高为8cm的图柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能判断
4．如图，在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1false，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5false，由此可计算出学校旗杆的高度是（ ）
A．8m B．10m C．12m D．15m

4题图 6题图 7题图
5．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木头柱子，在柱子的上端系有绳索，绳索从柱子上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距柱子根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为（　　）
A．x2﹣8＝（x﹣3）2 B．x2+82＝（x﹣3）2 C．x2﹣82＝（x﹣3）2 D．x2+8＝（x﹣3）2
6．如图，带阴影的长方形面积是（　　）
A．9 cm2 B．24 cm2 C．45 cm2 D．51 cm2
7．如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm. 若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一周到达Q点，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A．11 cm B．12 cm C．13cm D．15 cm
8．如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的高度是（ ）
A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺
8题图 9题图 10题图 11题图
二、填空题
9．一个底面周长为false，高为false的圆柱，有一只小虫从底部点false处爬到上底false处，则小虫所爬的最短路径长是______false．
10．在《九章算术》中有一个问题（如图)：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?它的意思是：一根竹子原高一丈（false尺)，中部一处折断，竹梢触地面处离竹根false尺，试问折断处离地面_____尺．
11．如图，正方形ABCD的面积为100，ΔABP为直角三角形，∠P=90?，且PB=6，则AP的长为________．
12．如图，在一根长90cm的灯管上，缠满了彩色丝带，已知可近似地将灯管看作圆柱体，且底面周长为4cm，彩色丝带均匀地缠绕了30圈，则彩色丝带的总长度为__．
13．如图所示，∠ADC=90°，AD=9，CD=12，AB=20，BC=25，则该图形的面积是________.

13题图 14题图 15题图
14．如图：已知：false，false，垂足分别为false、false，点false是false上使false的值最小的点．若false，false，false，则false________
15．如图，点false，false是false的边false，false上的点，已知false，false，false分别是false，false，false中点，连接BE，FH，若BD=8，CE=6，，∠FGH=90°，则FH长为_______.
5401945-3937016．如图,一圆柱高false,底面圆半径为falsecm,一只蚂蚁从点false爬到点false处吃食，要爬行的最短路程是________________________false．
三、解答题
17．一块木板如图所示,已知AB=4,BC=3,DC=12,AD=13,∠B=90°,木板的面积是多少？

18．（古代数学问题）印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”，该问题是：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；“渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题.
19．如图所示，如果只给你一把带有刻度的直尺，你是否能检验∠MPN是不是直角？简述你的作法，并说明理由.
20．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面．求旗杆的高度．
21．将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为400cm，彩旗完全展开时的尺寸是如图①所示的长方形，其中∠B=90°，AB=90cm，BC=120cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图②所示．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h．
22．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．
（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；
（2）求证：BG2﹣GE2=EA2．
参考答案
1．C
【解析】
【思路点拨】首先根据题意画出图形，得到一个直角三角形．根据勾股定理，即可解答．
【详细解答】解：由题意得，在Rt△ABC中，AC＝8，AB＝10，
所以BC＝false＝6．
故选：C．
【方法总结】能够把实际问题抽象出几何图形，再根据勾股定理进行计算．
2．D
【思路点拨】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．
【详细解答】解：如图，
当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
∴h=24-8=16cm；
当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在Rt△ABD中，AD=15，BD=8，
∴false，
∴此时h=24-17=7cm，
所以h的取值范围是7cm≤h≤16cm．
故选：D．
【方法总结】本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意和求出h的值最大值与最小值是解题关键．
3．A
【解析】
试题分析：设原直角三角形的两直角边长为a、b，斜边长为c，由勾股定理可得a2+b2=c2，求出扩大n倍后的各边的边长，看是否满足勾股定理，若满足，则根据勾股定理的逆定理可得，该三角形是直角三角形．
设原直角三角形的两直角边长为a、b，斜边长为c，
则，直角三角形的各边扩大n倍后直角三角形的两直角边长为na、nb，斜边长为nc．
在原直角三角形中，由勾股定理得：
a2+b2=c2，
即n2a2+n2b2=n2（a2+b2）=n2c2，
根据勾股定理的逆定理可得：
扩大后的三角形是直角三角形，
所以，得到的三角形一定是直角三角形．
考点：本题主要考查了直角三角形的性质
点评：解答本题的关键在于灵活运用勾股定理及勾股定理的逆定理．
4．C
【思路点拨】由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．
【详细解答】解：设旗杆的长度为xm，则绳子的长度为：（x+1）m，如图，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+52=（x+1）2，
解得：x=12，
∴旗杆的高度为12m．
故选：C．
【方法总结】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键．
5．C
【思路点拨】根据题意设绳索长为x尺，列出方程即可；
【详细解答】解：设绳索长为x尺，可列方程为x2﹣82＝（x﹣3）2，
故选：C．
【方法总结】本题主要考查了根据勾股定理列方程，准确分析列式是解题的关键．
6．C
【解析】
试题解析：由图可知，△ABC是直角三角形，
∵AC=8cm，BC=12cm，
∴AB=false=15cm，
∴S阴影=15×3=45cm2．
故选C．
7．C
【解析】
【思路点拨】如图，将长方体的侧面展开，连接PQ，根据两点之间线段最短可知线段PQ的长即为所求的最短距离，再由勾股定理求PQ的长即可.
【详细解答】将长方体的侧面展开，如图，连接PQ，则PQ的长即所求的最短距离，
由题意可知，PA=2×4+2=12（cm），QA=5cm.
在RtΔPAQ中，由勾股定理得，
PQ2=PA2+QA2=122+52=132，
∴PQ=13cm.
故选C.
【方法总结】本题考查了勾股定理的应用，把立体图形转化成平面图形，根据两点之间线段最短确定线段PQ的长即为最短距离是解决问题的关键．
8．D
【思路点拨】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．
【详细解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得：false，
解得：x=12，
所以芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺），
故选：D．
【方法总结】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
9．13
【思路点拨】先将圆柱的侧面展开得到一个长方形，则根据两点之间线段最短可得出最短路径．而长方形的长就是底面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理可得出结果．
【详细解答】解：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知AB最短．由题意，得
BC=12cm，AC=10÷2=5(cm)，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB=false(cm).
故答案为：13．
【方法总结】本题考查了圆柱的侧面展开图，两点之间线段最短以及勾股定理等知识．在解答时将圆柱的侧面展开是关键．
10．4.55
【思路点拨】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．
【详细解答】解：设折断处离地面x尺，根据题意可得：
false，
解得：x=4.55，
答：折断处离地面4.55尺．
故答案为：4.55．
【方法总结】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
11．8
【思路点拨】先根据正方形面积求出边长，然后根据勾股定理求出AP的长度．
【详细解答】解：∵正方形ABCD的面积为100，
∴AB=10，
∵△ABP为直角三角形，∠P=90°，且PB=6，
∴AP=false，
故答案为：8．
【方法总结】本题主要考查了勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握正方形的面积公式以及勾股定理的知识，此题难度不大．
12．150cm
【解析】
试题解析：如图，彩色丝带的总长度为false=150cm.
13．204
【解析】
【思路点拨】连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出ΔABC为直角三角形，分别求出△ABC和△ADC的面积，即可得出答案．
【详细解答】连接AC，
在RtΔACD中，AC2=AD2+CD2=92+122=225，所以AC=15.
在ΔABC中，因为AC2+AB2=152+202=225+400=625=252=BC2，
所以ΔABC为直角三角形，且∠BAC=90°.
所以该图形的面积为SΔABC+SΔADC=12AC?AB+12AD?CD=12×15×20+12×9×12=204.
【方法总结】此题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，解题关键在于求出AC.
14．false
【解析】
【思路点拨】以MN为对称轴作A点对称点A′，连接A′B交MN于C，则A′B就是AC+BC最小值，延长BN使ND=A′M，连接A′D；
根据矩形的判定得到四边形A′DNM是矩形，由矩形的性质得ND，A′D的长，在Rt△A′BD中运用勾股定理求得A′B的长，即可求得AC+BC的最小值．
【详细解答】解：
作A点关于直线MN的对称点A′，连接A′B交MN于C，
则AC+BC=A′C+BC=A′B，
A′B就是AC+BC的最小值；
延长BN使ND=A′M，连接A′D，
∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴AA′∥BD.
∵ND=A′M，
∴四边形A′DNM是平行四边形，
∵AM⊥MN，
∴∠AMC=90°，
∴∠A′MC=90°，
∴四边形A′DNM是矩形，
∴ND=AM=3，A′D=MN=15，
∴BD=BN+ND=5+3=8，
∴A′B=false ，
∴AC+BC=17．
故答案为：17.
【方法总结】本题考查用轴对称求最短路线问题，勾股定理，涉及到的知识点有：轴对称的性质、矩形的判定和性质，勾股定理等.
15．false
【思路点拨】利用三角形中位线求得线段FG、GH；再利用勾股定理即可求出FH的长.
【详细解答】解：∵false，false，false分别是false，false，false中点
∴false false
∵∠FGH=90°
∴false为直角三角形
根据勾股定理得：false
故答案为：5
【方法总结】本题考查了三角形中位线定理以及勾股定理，熟练掌握三角形中位线定理是解答本题的关键.
16．10
【思路点拨】根据两点之间线段最短的知识将圆柱的侧面展开并连接AB即可得解.
【详细解答】如下图所示：将圆柱的侧面展开，连接AB即可得到爬行的最短路程.
底面圆周长为false，底面半圆弧长为false，根据题意，展开得false，根据勾股定理得false，
故答案为：10．
【方法总结】本题主要考查了立体图形的展开和两点之间线段最短，解题的关键是根据题意画出展开图，画曲面问题为平面问题．
17．24
【思路点拨】连接AC，利用勾股定理解出直角三角形ABC的斜边，通过三角形ACD的三边关系可确定它为直角三角形，木板面积为这两三角形面积之差．
【详细解答】连接AC，
∵在△ABC中，AB=4，BC=3，∠B=90°，
∴AC=5，
∵在△ACD中，AC=5，DC=12，AD=13，
∴DC2+AC2=122+52=169，AD2=132=169，
∴DC2+AC2=AD2，△ACD为直角三角形，AD为斜边，
∴木板的面积为：S△ACD-S△ABC=false×5×12-false×3×4=24．
【方法总结】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息画图是解题的关键．
18．水深3.75尺．
【思路点拨】先根据题意构造出直角三角形（即荷花的折断与不断时恰好构成直角三角形），再根据已知条件求解．
【详细解答】解：设水深x尺，则荷花茎的长度为x+0.5，
根据勾股定理得：（x+0.5）2=x2+4
解得：x=3.75．
答：湖水深3.75尺．
【方法总结】本题的关键是读懂题意，找出题中各个量之间的关系，建立等式进行求解．
19．能检查，理由见解析.
【详细解答】试题分析：能检查，（1）在射线PM上量取PA=3cm，确定A点，在射线PN上量取PB=4cm，确定点B；（2）连接AB得△PAB；（3）用刻度尺量取AB的长度，如果AB恰好等于5cm，则说明∠P是直角，否则∠P就不是直角.
试题解析：
能检查.
作法：如图所示，
（1）在射线PM上量取PA=3cm，确定A点，在射线PN上量取PB=4cm，确定点B；
（2）连接AB得△PAB；
（3）用刻度尺量取AB的长度，如果AB恰好等于5cm，则说明∠P是直角，否则∠P就不是直角.
理由：∵PA=3cm，PB=4cm，
若AB=5cm，则PA2+PB2=AB2，
根据勾股定理的逆定理可得△PAB是直角三角形，即∠P是直角.
点睛：本题关键利用勾股定理逆定理解题.
20．12米
【思路点拨】设旗杆的高度为x米，则绳长为（x+1）米，根据勾股定理即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详细解答】设旗杆的高度为x米，则绳长为（x+1）米，
根据题意得：（x+1）2=x2+52，即2x-24=0，
解得：x=12．
答：旗杆的高度是12米．
【方法总结】此题考查勾股定理的应用，解一元一次方程，根据勾股定理列出关于x的一元一次方程是解题的关键．
21．彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h为250cm．
【思路点拨】根据勾股定理就可求出彩旗的对角线的长，继而求出h的值．
【详细解答】彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h也就是旗杆的高度减去彩旗的对角线的长，
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=90cm，BC=120cm，
∴ACfalse150(cm)，
∴h=400﹣150=250cm．
彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h为250cm．
【方法总结】本题考查勾股定理的实际运用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
22．（1）线段BH与AC相等．证明见解析；（2）见解析
【思路点拨】(1)、根据三角形的内角和定理求出∠BCD=∠ABC，∠ABE=∠DCA，推出DB=CD，根据ASA证出△DBH≌△DCA即可；(2)、根据DB=DC和F为BC中点，得出DF垂直平分BC，推出BG=CG，根据BE⊥AC和∠ABE=∠CBE得出AE=CE，在Rt△CGE中，由勾股定理即可推出答案．
【详细解答】解：(1)、BH=AC，理由如下：
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BCD=180°﹣90°﹣45°=45°=∠ABC
∴DB=DC，
∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠HBD=90°，
∴∠HBD=∠ACD
∵在△DBH和△DCA中
false，
∴△DBH≌△DCA（ASA），
∴BH=AC．
(2)、连接CG，
由(1)知，DB=CD，
∵F为BC的中点，∴DF垂直平分BC，
∴BG=CG，
∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，
∴EC=EA，
在Rt△CGE中，
由勾股定理得：CG2﹣GE2=CE2，
∵CE=AE，BG=CG，
∴BG2﹣GE2=EA2．
考点：(1)、全等三角形的判定与性质；(2)、线段垂直平分线的性质；(3)、勾股定理．